突破17 竖直面内的圆周运动-2019高三物理一轮微专题系列之热点专题突破 9页

突破 17 竖直面内的圆周运动 一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型 1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可 对小球产生拉力也可对小球产生支持力。 2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运 动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。 物理情景 最高点无支撑 最高点有支撑 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道 的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 异 同 点 受力 特征 除重力外，物体受到的弹力方 向：向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力方向：向 下、等于零或向上 受力 示意 图 力学 方程 mg＋FN＝m v2 R mg±FN＝m v2 R 临界 特征 FN＝0 mg＝m 2 minmin 即 vmin＝ v＝0 即 F 向＝0 FN＝mg 过最高点的条 件 在最高点的速度 v≥ v≥0 【典例 1】如图甲所示，轻杆一端固定在 O 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平 面内做半径为 R 的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为 F，小球在最高 点的速度大小为 v，其 F－v2 图象如图乙所示，则( ) A．小球的质量为 aRb B．当地的重力加速度大小为 Rb C．v2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上 D．v2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD 【典例 2】用长 L ＝ 0.6 m 的绳系着装有 m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周 运动，成为“水流星”。G ＝10 m/s2。求： (1) 最高点水不流出的最小速度为多少？ (2) 若过最高点时速度为 3 m/s，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上 【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的 向心力。这是最小速度即是过最高点的临界速度 v0。 以水为研究对象， mg＝m0 解得 v0＝＝ m/s ≈ 2.45 m/s (2) 因为 v ＝ 3 m/s>v0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充， 此时所需向心力由以上两力的合力提供。 V ＝ 3 m/s>v0，水不会流出。 设桶底对水的压力为 F，则由牛顿第二定律有：mg＋F＝m v2L 解得 F＝m v2L －mg＝0.5×( 320.6－10)N＝2.5N 根据牛顿第三定律 F′＝－F 所以水对桶底的压力 F′＝2.5N，方向竖直向上。 【跟踪短训】 1. 如图所示，一内壁光滑、质量为 m、半径为 r 的环形细圆管，用硬杆竖直固定在天 花板上．有一质量为 m 的小球(可看做质点)在圆管中运动．小球以速率 v0 经过圆管最低点 时，杆对圆管的作用力大小为( ) A．m0 B．mg＋m0 C．2mg＋m0 D．2mg－m0 【答案】C 2. (多选)如图所示，半径为 R 的光滑圆形轨道竖直固定放置，小球 m 在圆形轨道内侧做 圆周运动．对于半径 R 不同的圆形轨道，小球 m 通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相 互作用力．下列说法中正确的有( )． A．半径 R 越大，小球通过轨道最高点时的速度越大 B．半径 R 越大，小球通过轨道最高点时的速度越小 C．半径 R 越大，小球通过轨道最低点时的角速度越大 D．半径 R 越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小 【答案】 AD 【解析】 在最高点时，由 mg＝m v2R 可得 v＝，所以半径 R 越大，小球通过轨道最高点 时的速度越大，A 正确；由机械能守恒可知 12mv2＋mg×2R＝ 12mv 20，所以 v0＝，由ω＝ vR＝ 5gR ， 故半径 R 越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小，D 正确． 3．(多选)如图所示，长为 L 的轻杆一端固定质量为 m 的小球，另一端固定转轴 O，现 使小球在竖直平面内做圆周运动．P 为圆周轨道的最高点．若小球通过圆周轨道最低点时的 速度大小为 9gL，则以下判断正确的是( )． A．小球不能到达 P 点 B．小球到达 P 点时的速度小于 C．小球能到达 P 点，但在 P 点不会受到轻杆的弹力 D．小球能到达 P 点，且在 P 点受到轻杆向上的弹力 【答案】 BD 4. 如图所示，轻杆长为 3L，在杆两端分别固定质量均为 m 的球 A 和 B，光滑水平转轴 穿过杆上距球 A 为 L 处的 O 点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球 B 运动到最高点时，杆对球 B 恰好无作用力。忽略空气阻力。则球 B 在最高点时( ) A．球 B 的速度为零 B．球 A 的速度大小为 C．水平转轴对杆的作用力为 1.5mg D．水平转轴对杆的作用力为 2.5mg 【答案】 C 【解析】 球 B 运动到最高点时，杆对球 B 恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有 mg＝m vB22L ，解得 vB＝，故 A 错误；由于球 A、B 的角速度相等，则球 A 的速度大小 vA＝ 12， 故 B 错误；球 B 在最高点时，对杆无作用力，此时球 A 所受重力和杆的作用力的合力提供 向心力，有 F－mg＝m vA2L ，解得：F＝1.5mg，则水平转轴对杆的作用力为 1.5mg，故 C 正 确，D 错误。 二、竖直面内圆周运动与平抛运动组合 物体有时先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动；有时先做平抛运动，后做竖直 面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以计算题形式考查。 解题技巧 (1)竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，然后分析物体能够到 达圆周最高点的临界条件。 (2)速度是联系前后两个过程的关键物理量。 【典例 1】 如图所示，一条不可伸长的轻绳上端悬挂于 O 点，下端系一质量 m＝1.0 kg 的小球。现将小球拉到 A 点(保持轻绳绷直)由静止释放，当它经过 B 点时轻绳恰好被拉断， 小球平抛后落在水平地面上的 C 点，地面上的 D 点与 OB 在同一竖直线上，已知轻绳长 L ＝1.0 m，B 点离地高度 H＝1.0 m，A、B 两点的高度差 h＝0.5 m，重力加速度 g 取 10 m/s2， 不计空气阻力，求： (1)地面上 D、C 两点间的距离 s； (2)轻绳所受的最大拉力大小。 【答案】 (1)1.41 m (2)20 N 解得 F＝20 N 由牛顿第三定律得 F′＝F＝20 N 即轻绳所受的最大拉力大小为 20 N。 【典例 2】 为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方 向夹角为θ＝60°，长为 L1＝2 m 的倾斜轨道 AB，通过微小圆弧与长为 L2＝3 2 m 的水平轨道 BC 相连，然后在 C 处设计一个竖直完整的光滑圆轨道，出口为水平轨道 D，如图所示。现 将一个小球从距 A 点高为 h ＝0.9 m 的水平台面上以一定的初速度 v0 水平弹出，到 A 点 时速度方向恰沿 AB 方向，并沿倾斜轨道滑下。已知小球与 AB 和 BC 间的动摩擦因数均为μ ＝3 3。g 取 10 m/s2，求： (1) 小球初速度 v0 的大小； (2) 小球滑过 C 点时的速率 vC； (3) 要使小球不离开轨道，则竖直圆弧轨道的半径 R 应该满足什么条件。 【答案】 (1) m/s (2)3 m/s (3)0＜R≤1.08 m 【解析】(1) 小球做平抛运动到达 A 点，由平抛运动规律知竖直方向有：v 2 y＝2gh，即： vy＝3 m/s 因为在 A 点的速度恰好沿 AB 方向，所以小球初速度：v0＝vytan 30°＝ m/s (2)从水平抛出到 C 点的过程中，由动能定理得：mg(h＋L1sin θ)－μmgL1cos θ－μmgL2＝ 1 2mv 2 C－1 2mv 2 0 当圆轨道与 AB 相切时：R3＝L2tan 60°＝1.5 m，即圆轨道的半径不能超过 1.5 m 综上所述，要使小球不离开轨道，R 应该满足的条件是：0＜R≤1.08 m。 【典例 3】如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略 小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从 B 点脱离后做平抛运动，经过 0.3 s 后 又恰好垂直与倾角为 45° 的斜面相撞．已知半圆形管道的半径为 R＝1 m，小球可看作质点 且其质量为 m＝1 kg，g 取 10 m/s2.则( ) A．小球在斜面上的相碰点 C 与 B 点的水平距离是 0.9 m B．小球在斜面上的相碰点 C 与 B 点的水平距离是 1.9 m C．小球经过管道的 B 点时，受到管道的作用力 FNB 的大小是 1 N D．小球经过管道的 B 点时，受到管道的作用力 FNB 的大小是 2 N 【答案】AC