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- 2021-06-23 发布
2017届高三毕业班第一次模拟考试
数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则集合的子集个数为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．4
2.设为虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
3.“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用勾股股勾朱实黄实弦实，化简，得勾股弦．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）
A．866 B．500 C．300 D．134
5.已知圆的一条切线与双曲线：，有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6.函数的图象大致是（ ）
7.已知且，如图所示的程序框图的输出值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8.已知点的坐标满足不等式组为直线上任一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9.如图，已知长方体的体积为6，的正切值为，当的值最小时，长方体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10.已知函数（，）得图象在轴上的截距为1，且关于直线对称，若对于任意的，都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
12.已知是定义在上的函数的导函数，若方程无解，且，，设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知平面向量，，且，则 ．
14.已知，，则 ．
15.已知抛物线：（）的焦点也是椭圆：（）的一个焦点，点，分别为曲线，上的点，则的最小值为 ．
16.如图，在圆内接四边形中，，，，则四边形周长的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设正项等比数列的前项和为，，，数列满足（），且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
18. 如图，已知四边形和均为平行四边形，点在平面内的射影恰好为点，以为直径的圆经过点，，的中点为，的中点为，且．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求几何体的体积．
19. 2016年时红军长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神．首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动，其次在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星，每人获得一个纪念品，其数据表格如下：
公园
甲
乙
丙
丁
获得签名人数
45
60
30
15
（Ⅰ）求此活动中各公园幸运之星的人数；
（Ⅱ）从乙和丙公园的幸运之星中任选两人接受电视台记者的采访，求这两人均来自乙公园的概率；
（Ⅲ）电视台记者对乙公园的签名人进行了是否有兴趣研究“红军长征”历史的问卷调查，统计结果如下（单位：人）：
有兴趣
无兴趣
合计
男
25
5
30
女
15
15
30
合计
40
20
60
据此判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣研究“红军长征”历史与性别有关．
临界值表：
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
参考公式：．
20. 已知椭圆：的上下两个焦点分别为，，过点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，的面积为，椭圆的离心力为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知为坐标原点，直线：与轴交于点，与椭圆交于，两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围．
21. 已知函数与的图象在点处有相同的切线．
（Ⅰ）若函数与的图象有两个交点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个极值点，，且，证明：．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆的直角坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），射线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求圆和直线的极坐标方程；
（Ⅱ）已知射线与圆的交点为，，与直线的交点为，求线段的长．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）若，恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）求函数的图象与直线围成的封闭图形的面积．
2017届高三毕业班第一次模拟考试数学（文科）答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13.5 14.或 15.2 16.
三、解答题
17.解：（Ⅰ）根据题意，设的公比为，所以解得
又，
所以
．
（Ⅱ）因为，
所以．
18.解:（Ⅰ）∵点在平面内的射影恰好为点，∴平面，
又平面，∴平面平面．
又以为直径的圆经过点，，，∴为正方形．
又平面平面，∴平面．
∵平面，，
又，∴，
又的中点为，∴，
∵，∴，
又平面，平面，，∴平面．
又平面，∴平面平面．
（Ⅱ）连接，由（Ⅰ）知，平面，∴．
又，，
∴平面，
又，∴平面．
∴．
∴几何体的体积为4．
19.解：（Ⅰ）甲、乙、丙、丁四个公园中幸运之星的人数为：
，，，．
（Ⅱ）设乙公园的幸运之星为，，，，丙公园的幸运之星为，，则从中任选2人的所有基本结果为，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中这两人均来自乙公园的基本结果为，，，，，
共6种，
所以其概率为．
（Ⅲ）由表中数据得的观测值，
据此判断，能在犯错误的概率不超过的前提下认为有兴趣研究“红军长征”历史与性别有关．
20.解：（Ⅰ）根据已知椭圆的焦距为，当时，，
由题意的面积为，
由已知得，∴，∴，
∴椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）若，则，由椭圆的对称性得，即，
∴能使成立．
若，由，得，
因为，，共线，所以，解得．
设，，由得，
由已知得，即，
且，，
由，得，即，∴，
∴，即．
当时，不成立，∴，
∵，∴，即，
∴，解得或．
综上所述，的取值范围为．
21.解：（Ⅰ）因为，，根据题意，得解得
所以．
设，则，
当时，，当时，，
所以，
又因为→时，→；当→时，→，
故欲使两图象有两个交点，只需，，
所以实数的取值范围为.
（Ⅱ）由题意，函数，其定义域为，
，
令，得，其判别式，
函数有两个极值点，，等价于方程在内有两不等实根，又，故．
所以，且，，
，
令，，
则，
由于，∴，故在上单调递减．
故．
所以，
所以．
22.解：（Ⅰ）∵，，，
圆的普通方程为，
∴，
∴圆的极坐标方程．
（为参数）消去后得，
∴直线的极坐标方程为．
（Ⅱ）当时，，∴点的极坐标为，
，∴点的极坐标为，故线段的长为．
23.解：（Ⅰ）∵，
∴，解得．
（Ⅱ）当时，或．
画出图象可得，围成的封闭图形为等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，所以面积为．