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- 2021-06-23 发布
巴彦淖尔市第一中学2017-2018学年第一学期12月月考试卷
高三理科数学
试卷类型 A 出题人 高玉收
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题（每小题只有一个正确答案。每小题5分，12小题共60分）
1．若集合， ，则等于（ ）
A. B. C. D.
2．设是虚数单位，若，则复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3．已知数列满足，，则( )
A. 121 B. 136 C. 144 D. 169
4．下列命题中真命题为（ ）
A．，使 B．，
C． D．，
5．在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（ ）
A． B． C． D．
6．平面向量满足，在上的投影为，则的模为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
7．已知，且，求的最小值是
A. 4 B. 6 C. 7 D. 9
8．四棱锥的底面是一个正方形，平面是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 （ ）
A. B. C. D.
9．定义为个正数的“均倒数”，已知数列的前项的“均倒数”为，又，则为（ ）
A. B. C. D.
10．函数（其中）的部分图象如图所示，将函数的图象（ ）可得的图象．
A. 向右平移个长度单位
B. 向左平移个长度单位
C. 向左平移个长度单位
D. 向右平移个长度单位
11．若实数满足不等式组，且的最大值为 ，则等于（ ）
A. B. C. D. 1
12．设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时， .且.则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题5分，4小题共20分）
13．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为
14．若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积为
15．若，则=
16．下面有关函数的结论中，
正确的序号是
①的周期为
②在上是减函数
③的一个对称中心是
④将的图象向右平移个单位得到函数的图象.
三、解答题（12分+12分+12分+12分+12分+10分）
17.（本题12分）已知分别为三个内角的对边，
（Ⅰ）求角;
（Ⅱ）若,的面积为，求两边.
18．（本题12分）在四棱锥中，底面，底面是直角梯形,，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
19．（本题12分）已知单调递增的等比数列满足，且是,的等差中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，
求数列的通项公式；
20．（本题12分）已知数列满足，，其中.
（Ⅰ）设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.
21．（本题12分）已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为，对于任意的,函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围；
（Ⅲ）求证：.
二选一
22．（本题10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若不等式有解，求实数的取值范围.
23．（本题10分）选修45：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）当时，证明： ．
巴彦淖尔市第一中学2017-2018学年第一学期12月月考试卷
高三理科数学参考答案
一、选择题 ADCBB BDBCD AA
二、填空题 13．； 14． ； 15．； 16．①②③
三、解答题
17．（1）;（2）.
解：（1）由及正弦定理得，…………………2分
因为，所以，
由于，所以,………………………4分
又，故.………………………………………6分
（2）的面积，故， ………8分
而，故.解得.……12分
18．解：（1） , …………………………2分
， …………………4分
…………………………………………6分
（2）在直角梯形中，，，
∴， ………………………………………………7分
，在中，由勾股定理的逆定理知，
是直角三角形，且， …………… 9分
又底面，,∴， ……………11分
∵，∴平面．……………………………………12分
19．（Ⅰ）;（Ⅱ）.
解：（Ⅰ）设此等比数列为， ， ， ，…，其中， .
由题意知： ，①
.②
②①得，
即，解得或.………………………4分
∵等比数列单调递增，∴， ，∴；……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知（），
由（），
得（），…………8分
故，即（），………10分
当时， ， ，∴ ……12分
20．(1) ;(2) 的最小值为3.
解：（1） ，
所以数列是等差数列，………………………………2分
，因此，…………4分
由. ……………………………6分
（2）由，………………7分
所以，
所以，……………………………………8分
因为，所以恒成立，……………………………………10分
依题意要使对于，恒成立，
只需，且 解得，
的最小值为.……………………………………12分
21．（1）当时，单调增区间为，减区间为，当时，单调增区间为，减区间为，当时，不是单调函数；（2）；（3）证明见解析.
解：（1）由 ，……………1分
①当时，显然 时，；
当时，，所以此时的单调增区间为减区间为；
②同理当时，的单调增区间为 ，减区间为；
③当 时， 不是单调函数．……………………4分
（2）由题知，得，
∴，……………………………5分
∴.…7分
因为,所以一定有两个不等的实根,又因为.
不妨设 , 由已知时时，即在上递减， 在上递增， 依题意知，
于是只需得.……………9分
（3）由（1）知当时， 在上递增，
所以 .………10分
在上式中分别令得
，
以上不等式相乘得，
两边同除以得，即证．……12分
22．（1）（2）
解：（1），
则当时，不成立；当时， ，解得；
当时， 成立，
故原不等式的解集为.………………5分
（2）由即有解，
转化为求函数的最小值，
恒成立.
当且仅当即或时，上式取等号，故的最小值为，
，即，
即或， 或，
故实数的取值范围是.……………10分
23．（1）；（2）见解析．
解：（1）解：（1）由，得，即，
解得，所以；…………………5分
（2）法一：
因为，故， ， ， ，
故，
又显然，故．……………………10分
法二：因为，故， ，
而
，
即，故