北京市第四中学2019届高三高考调研卷（二）文科数学试题 11页

www.ks5u.com 北京市第四中学2019年高考调研卷文科数学试题（二）教师版 页数：4页 题数：20题 满分：150分 时间：120分钟 ‎ 出卷人：高三数学教研室老师 高级教师 李玉坤 审核人：高三数学教研室主任 特级教师 杨二环 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集，，，那么等于 C A. B.‎ C. C.‎ ‎2. 在复平面内，复数对应的点位于 D A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3. 已知曲线，，则下面结论正确的是 C A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向 左平移个单位长度，得到曲线 ‎4. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：）绘制了如右茎叶图：则下列结论中表述不正确的是 D A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟 ‎ B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高 C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80 ‎ D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.‎ ‎5．一个棱长为的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为 A A. B. C. D. ‎ ‎6.若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是 D A．若，则； B．若，则；‎ C．若，则； D．若，则 ‎7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 C A．； B．； C．； D．‎ ‎8. 若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：‎ 的最大值为0，则称为“柯西函数”， 则下列函数：①； ②； ③；    ④．‎ 其中为“柯西函数”的个数为 B A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ 二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分．‎ ‎9．曲线在点处的切线方程为 ．‎ ‎10．若变量满足则目标函数则目标函数的最大值为 28 ．‎ ‎11．将数列3，6，9，……按照如下规律排列，‎ 记第行的第个数为，如，若，则 44 ．‎ ‎12. 已知函数，实数满足，且，若在区 ‎ 间上的最大值是，则的值为 .‎ ‎13．设为所在平面内一点，，若，则__－3__．‎ ‎14．若圆与圆相切，则的值为 . ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.若数列的前项和为，且，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，令，求数列的前项和．‎ 解：（1）或；（2）．‎ 解析：（1）当时，，则 ‎ ‎ 当时，，‎ 即或 或 ‎ ‎（2）由，，‎ ‎ ‎ ‎16.设函数的图象的一个对称中心为，且图象上最高点与相邻最低点的距离为.‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎16.解：（1）解：(1)由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为 得 函数的图象的一个对称中心为 ‎ ‎ ‎(2) 由（1）知：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17. 某商场营销人员进行某商品市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品当天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：‎ 反馈点数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销量（百件）/天 ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎1‎ ‎1.4‎ ‎1.7‎ ‎（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量（百件）与该天返还点数x之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测若返回6个点时该商品当天销量；‎ ‎（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：‎ 返还点数预期值区间（百分比）‎ ‎[1,3)‎ ‎[3,5)‎ ‎[5,7)‎ ‎[7,9)‎ ‎[9,11)‎ ‎[11,13]‎ 频数 ‎20‎ ‎60‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ 将对返点点数的心理预期值在[1,3)和[11,13‎ ‎]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率. ‎ ‎(参考公式及数据：①回归方程，其中；②.)‎ ‎ 17.（1）易知， ， ， ‎ ‎ 则关于的线性回归方程为，‎ ‎ 当时，，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件. ‎ （2） 设从“欲望膨胀型”消费者中抽取人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取人，‎ ‎ 由分层抽样的定义可知，解得 ‎ 在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为 ‎，则所有的抽样情况如下：‎ 共20种,其中至少有1‎ 名“欲望膨胀型”消费者的情况由16种记事件A为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，则 ‎ ‎18．如图，四棱锥中，为正三角形．且.‎ ‎(1)证明：平面平面；‎ ‎(2)若点到底面的距离为2，是线段上一点，且平面，求四面体的体积．‎ ‎(1)证明：∵，∴，‎ 又为正三角形，所以，‎ 又∵，所以，‎ 又∵，∴，‎ 所以平面，又因为平面，‎ 所以平面平面.6分 ‎(2)‎ 如图，连接交于点，因为，‎ 且，所以，连接，‎ 因为平面，所以，则，‎ 由(1)点到平面的距离为2，‎ 所以点到平面的距离为，‎ 所以，‎ 即四面体的体积为.12分 ‎19.在平面直角坐标系中，椭圆过点，焦点，圆的直径为．‎ ‎（1）求椭圆及圆的方程；‎ ‎（2）设直线与圆相切于第一象限内的点．‎ ‎①若直线与椭圆有且只有一个公共点，求点的坐标；‎ ‎②直线与椭圆交于两点．若的面积为，求直线的方程．‎ ‎（1）因为椭圆的焦点为，可设椭圆的方程为．又点在椭圆上，所以，解得，因此，椭圆的方程为．因为圆的直径为，所以其方程为．‎ ‎（2）①设直线与圆相切于，则，所以直线 的方程为，即．由，消去，得 ‎．（*）‎ 因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以．‎ 因为，所以．因此，点的坐标为．‎ ‎②‎ 因为三角形的面积为，所以，从而．‎ 设，由（*）得，‎ 所以．因为，‎ 所以，即，解得，则，因此的坐标为．综上，直线的方程为．‎ ‎20．已知函数.‎ ‎(1)若在区间上不是单调函数，求实数的范围；‎ ‎(2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎(3)当时，设对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以(为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．‎ ‎(1)由，‎ 得，因在区间上不是单调函数，‎ 所以在上最大值大于0，最小值小于0，‎ ‎，‎ ‎∴，∴.‎ ‎(2)由，得，‎ ‎∵，∴，且等号不能同时取，∴，即，‎ ‎∴恒成立，即，‎ 令，求导得，‎ 当时，，，，从而，‎ ‎∴在上是增函数，∴，∴.‎ ‎(3)由条件，‎ 假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧，‎ 不妨设，则，且，‎ ‎∵是以为直角顶点的直角三角形，∴，∴　　(*)‎ 是否存在等价于方程(*)在且是否有解，‎ ‎①当时，方程(*)为 ‎∴，化简，此方程无解；‎ ‎②当时，方程(*)为，即，‎ 设，则，‎ 显然，当时，，即在上为增函数，‎ ‎∴的值域为，即，∴当时，方程总有解，‎ ‎∴对任意给定的正实数，曲线上存在两点，使得是以(为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在轴上.‎