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- 2021-06-23 发布
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吉林省长春市十一高中2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题
评卷人
得分
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
的实部为，虚部为，
故选
2．若原命题为：“若为共轭复数，则”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为（ ）
A． 真真真 B． 真真假 C． 假假真 D． 假假假
【答案】C
【解析】设，则，则，所以原命题为真命题，故其逆否命题为真命题
原命题的否命题为“若不互为共轭复数，则”，因为和
不互为共轭复数，但，所以否命题为假命题，故原命题的逆命题为假命题
故选
3．下列命题为特称命题的是 （ ）
A． 任意一个三角形的内角和为 B． 棱锥仅有一个底面
C． 偶函数的图象关于轴垂直 D． 存在大于1的实数，使
【答案】D
【解析】 对于选项A、B、C都为全称命题，选项D中，根据特称命题的概念，可得命题“存在大于的实数，使”中含有存在量词，所以D为特称命题，故选D.
4．“”是“方程表示圆”的（ ）．
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】时，方程等价于无意义，
但若表示圆，则．
∴“”是“”表示圆的必要不充分条件．
故选：B
5．设双曲线的离心率是，则其渐近线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线的离心率是，
可得，即，可得
则其渐近线的方程为
故选
6．已知点，点与点关于平面对称，点与点关于轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意可得：
故选
7．椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2)，
代入椭圆得，
两式相减得，
即，
即，又
即，
即，
∴弦所在的直线的斜率为，
故选：C.
8．若，，，则3个数,,的值( )
A． 至多有一个不大于1 B． 至少有一个不大于1 C． 都大于1 D． 都小于1
【答案】B
【解析】设
则，，
故选
9．点在椭圆上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
点在椭圆上，
，
不妨令，则
原式
则最大值为，
故选
10．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，
函数的定义域是
，，得
函数在区间上单调递减，
，解得
故选
11．在中， ，若一个椭圆经过两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在边上，则这个椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设另一焦点为
中， ，
又，
在中焦距
则
故选
点睛：本题主要考查了椭圆的简单性质。设另一焦点为，则可在中，根据勾股定理求得，进而根据椭圆的定义知，求得的值，再利用求得，最后在中根据勾股定理求得，得到焦距，进一步求得离心率。
12．已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
函数,对任意，恒成立，
∴恒成立，
即>(a−1)x恒成立；
设g(x)=,h(x)=(a−1)x，x∈R；
在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示；
则满足不等式恒成立的是h(x)的图象在g(x)图象下方，
求g(x)的导数g′(x)=−，
且过g(x)图象上点(x0,y0)的切线方程为
，
且该切线方程过原点(0,0)，
则=⋅x0，
即=−⋅x0，
解得x0=−1；
∴切线斜率为k=−=−e，
∴应满足a−1>−e，
即a>1−e；
又a−1⩽0，
∴a⩽1，
∴实数a的取值范围是(1−e,1].
故选：A.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;
（3）若恒成立，可转化为（需在同一点处取到最值）.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是____________.
【答案】
【解析】
，即
则该圆的直角坐标方程为
即：
表示以为圆心半径等于的圆
故可取
该圆的圆心的极坐标为
14．观察下列各式： ， ， ，则的末四位数字为____________.
【答案】
【解析】， ，
观察可以看出这些幂的最后位是以为周期变化的，
的末四位数字与的后四位数相同
故答案为
15．函数在区间上的值域为_________________.
【答案】
【解析】
当时，
是上的增函数
的最大值在处取得，
的最小值在处取得，
函数的值域为
16．设分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线在第一象限上的一点，若，则内切圆的面积为______________________.
【答案】
【解析】
双曲线的
由双曲线的定义可得
，解得
则边上的高为，运用等面积法得
即，故内切圆的面积为
点睛：本题考查了双曲线的简单性质，考查了三角形的内切圆的面积，注意运用等积法，属于中档题。主要考查了学生的方程思想，定义法以及圆锥曲线的定义，性质与方程知识点的掌握。
评卷人
得分
三、解答题
17．已知极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线，直线（为参数）.
（1）求曲线上的点到直线距离的最小值；
（2）若把上各点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线.设，直线与曲线交于两点，求.
【答案】（1）;（2）.
【解析】
试题分析：由极坐标和直角坐标的转化，参数方程和直角坐标的转化关系，可求出结果，然后再根据直线和圆的位置关系，即可求出结果；
伸缩变换为，得到，联立和得.因为，，利用韦达定理即可求出结果。
解析：（1），圆心为，半径为；
圆心到直线距离
所以上的点到的最小距离为.
（2）伸缩变换为，所以
将和联立，得.因为
18．如图，在四棱锥中, 底面为菱形，平面，点在棱上.
（1）求证：直线平面；
（2）是否存在点，使得四面体的体积等于四面体的体积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）证明见解析.（2）存在，.
【解析】
试题分析：（1）推导出PC⊥BD，BD⊥AC，由此能证明BD⊥平面PAC；
（2）在△PAC中过点E作EF∥PC，交AC于点F，由ABCD是菱形可知S△ABD=S△BDC，由此利用，能求出结果．
试题解析：
（Ⅰ）因为平面，所以,
因为底面是菱形，所以，因为，所以平面.
（2）在中过点作∥，交于点，
因为平面，所以平面.
由是菱形可知，
设存在点，使得四面体的体积等于四面体的体积的，即，则，所以在中，，所以.
19．已知.
（1）若，求的单调区间；
（2）当时，若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）
【解析】
试题分析：先求出函数的定义域，再求导，根据得到的单调区间；
根据函数的单调性求出函数的最值，再由在上恒成立，得到的取值范围。
解析：（1）当时，，则，
令，解得，令，解得，
所以增区间为，减区间为.
（2）由，，当时，
故在上为增函数，若，则只需，即：，综上有：
20．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且长轴长是短轴长的倍.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，过椭圆左焦点作斜率直线交于两点，若，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）：
【解析】
试题分析：设椭圆方程，由即可求得的值，进而得到椭圆的标准方程；
设点坐标，三角形面积转化为，联立直线与椭圆方程求得，代入即可解得结果
解析：（1）依题意，,解得，
所以椭圆的标准方程为.
设直线：，代入椭圆消去得：，
设，则
所以：，即：，
即：，解得：，即，所以：
点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，并求出三角形的面积，在求三角形面积的题目里方法较多，如计算底和高或者分割三角形等，本题采用分割三角形计算三角形面积，联立直线与椭圆方程转化根的求解即可。
21．已知抛物线：，过焦点的动直线与抛物线交于两点，线段的中点为.
（1）当直线的倾斜角为时，．求抛物线的方程；
（2）对于（1）问中的抛物线，设定点，求证：为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：求得抛物线的焦点坐标，设直线的方程代入抛物线的方程，设，运用韦达定理，弦长公式，解方程可得，进而得到所求方程；
运用中点坐标公式，求得，由两点的距离公式，可得，进而得到
的定值。
解析：（1）由题意知，设直线的方程为，
由 得：，所以：
又由，所以，所以：抛物线的方程为
（2）由（1）抛物线的方程为，此时设
消去得：，设，
则：
所以：
，即
所以：
22．已知.
（1）若，求的单调区间；
（2）若有三个零点，求的取值范围.
【答案】（1） 上单调递减，上单调递增.（2）
【解析】
试题分析：（1）先求出导函数，再根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调性区间，
（2）=0有3个解，即x3+2x2−4x =-a，有3个非0的解，求函数图象
，求解即可．
试题解析：
， 则，
令，解得，且有时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2），即，令，
则，解得，所以有两个极值，
，所以，即.
又.