2018-2019学年湖南省浏阳、株洲等湘东六校高二下学期期末联考数学（理）试题（解析版） 17页

机密 ★ 启用前 湖南省湘东六校2019年上学期高二期末联考 理科数学试题 分值：150分 时量：120分钟 考试时间：2019年7月2日 由醴陵市一中·浏阳市一中·株洲市二中·株洲市八中·株洲市四中·攸县一中 联合命题 姓名：___________________ 考号：____________________‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，将本试题卷和答题卷一并上交。‎ 一、选择题（每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的）‎ ‎1．已知集合，则 A． B． C． D．‎ ‎2．为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数 A．-1 B．0 C．1 D．0或1‎ ‎3．“m＞2”是“表示双曲线”的 A．充要条件 ‎ B．充分不必要条件 ‎ C．必要不充分条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎4．电脑芯片的生产工艺复杂，在某次生产试验中，得到组数据，，，，，.根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则 A． B． C． D．‎ ‎5．已知向量=（4,2），-=（1,-2），则在方向上的投影为 A．2 B．3 C．4 D．5 ‎ ‎6．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将到这个整数中能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为 A．58 B．59 C．60 D．61‎ ‎7．已知f(x)=2x-sinx， ，若，则m的值为 A． B．-2 C．1 D．-2或1‎ ‎8．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：‎ ‎①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β； ②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；‎ ‎③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； ④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.‎ 其中正确命题的个数有 A．1 B． 2 C．3 D．4‎ ‎9．小球在右图所示的通道由上到下随机地滑动，最后在下底面的某个出口落出，则一次投放小球，从“出口3”落出的概率为 A． B． C． D． ‎ ‎10．已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则实数的取值是 A． 0 B．4 C．0或-4 D．0或4‎ ‎11．设F2是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F2的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若|MF2|＝3|PF2|，且 ‎∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为 A．3 B．2 C． D．‎ ‎12．已知函数，，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：共4小题，每题5分，共20分 ‎13．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为________．‎ ‎14．已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，点在所给平面区域内，则的最大值为_____.‎ ‎15．三棱锥P-ABC中，AB⊥AC,PA⊥平面ABC，PA=3，AB=4，AC=5，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为 .‎ ‎16．已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则__________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（本题满分10分 ）在中，、、分别是角、、的对边，且.‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围.‎ ‎18．（本题满分12分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，为中点.‎ ‎ （1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎19．（本题满分12分）已知数列的前项和为，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎20．（本题满分12分）已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点的直线交抛物线于两点，当时，求直线的方程.‎ ‎21．（本题满分12分）在中国移动的赞助下，某大学就业部从该大学2018年已就业的A、B两个专业的大学本科毕业生中随机抽取了200人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现，他们的月薪收入在3000元到9000元之间，具体统计数据如下表：‎ 月薪（百元）‎ ‎[30,40)‎ ‎[40,50)‎ ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ 人数 ‎20‎ ‎36‎ ‎44‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎10‎ 将月薪不低于7000元的毕业生视为“高薪收入群体”，并将样本的频率视为总体的概率，巳知该校2018届大学本科毕业生李阳参与了本次调查问卷，其月薪为3500元．‎ ‎（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关?‎ 非高薪收入群体 高薪收入群体 合计 A专业 B专业 ‎20‎ ‎110‎ 合计 ‎ （2）经统计发现，该大学2018届的大学本科毕业生月薪X(单位：百元)近似地服从正态分布N(，196)，其中近似为样本平均数 (每组数据取区间的中点值)．若X落在区间()的左侧，则可认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供更好的指导。‎ ‎①试判断李阳是否属于“就业不理想”的学生；‎ ‎②中国移动为这次参与调查的大学本科毕业生制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月薪低于的获赠两次随机话费，月薪不低于的获赠一次随机话费，每次赠送的话费Z及对应的概率分别为：‎ 则李阳预期获得的话费为多少元?‎ 附：，其中，．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎22．（本题满分12分 ）已知函数 (e为自然对数的底数)．‎ ‎（1）求函数的值域；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围；‎ 湖南省湘东六校2019年上学期高二期末联考 理科数学试卷 分值：150 时量：120分钟 考试时间2019年7月2日 由醴陵一中．浏阳市一中．株洲市二中．株洲市八中．株洲市四中．攸县一中联合命题 姓名： 考号： . ‎ 一、选择题（每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的）‎ ‎1、已知集合，则( )‎ A． B． C． D．‎ 解析：由且，∴,故选B.‎ ‎2、为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（ ）‎ A． B．0 C．1 D．0或1‎ 解析：是纯虚数，∴，即，故选C．‎ ‎3、“m＞2”是“表示双曲线”的（ ）‎ A．充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析：方程表示双曲线时，m＞2或m＜0,所以“m＞2”是“表示双曲线”的充分不必要条件。故选B ‎4.电脑芯片的生产工艺复杂，在某次生产试验中，得到组数据，，，，，.根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：由 ，且可知 所以 所以选D ‎5、已知向量=（4,2），-=（1,-2），则在方向上的投影为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 解析：=-（-）=（3,4），在方向上的投影为，故选C ‎6．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将到这个整数中能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 解析：由数能被除余且被除余的数就是能被除余的数，‎ 故由 得故此数列的项数为：．故选：‎ ‎7、已知f(x)=2x-sinx， ，若，则m的值为( )‎ A． B．-2 C．1 D．-2或1‎ 解析：f(x)在定义域上为奇函数且为增函数，，即，即，解得，当m=-2，1-m,故选C ‎8．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：‎ ‎①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；‎ ‎②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；‎ ‎③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；‎ ‎④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.‎ 其中正确命题的个数有(　　)‎ A．1 B． 2 C．3 D．4‎ 解析：选B.两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故③正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故④不正确．‎ ‎9．小球在右图所示的通道由上到下随机地滑动，最后在下底面的某个出口落出，则一次投放小球，从“出口”落出的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 解析：D从A到出口3有六条路径，每条路径概率为，所以从“出口”落出的概率为。‎ ‎10．已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则实数的取值是（ ）‎ A. 0 B.4 C. 0或-4 D. 0或4‎ 解析：设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，，即方程有两个相等的解，则有或.故答案为:C.‎ ‎11、设F2是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F2的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若|MF2|＝3|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A．3 B．2 C． D．‎ 解析：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线的对称性可知四边形MF2PF1为平行四边形．‎ ‎∴|MF1|＝|PF2|，MF1∥PN．设|PF2|＝m，则|MF2|＝3m，‎ ‎∴2a＝|MF2|﹣|MF1|＝2m，即|MF1|＝a，|MF2|＝3a．‎ ‎∵∠MF2N＝60°，∴∠F1MF2＝60°，又|F1F2|＝2c，‎ 在△MF1F2中，由余弦定理可得：4c2＝a2+9a2﹣2•a•3a•cos60°，‎ 即4c2＝7a2，∴＝，∴双曲线的离心率e＝＝．故选：C．‎ ‎12．已知函数，，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 解析：由题意，当时，，当且仅当时取“=”，‎ 当时，函数，则，‎ 当X∈(0,1),，当时，，‎ 所以函数在区间（0，1）单调递减，在区间上单调增，‎ 所以，综上可得，‎ 因为存在实数，使得成立，则，‎ 即，即，解得或，‎ 故实数的取值范围为，故选D.‎ 二、填空题：共4小题，每题5分，共20分 ‎13．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为________．‎ 解析：令x=1，则 所以 因此常数项为 ‎14．已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，点在所给平面区域内，则的最大值为_____.‎ 解析：画出可行域如图阴影所示：可知a>0‎ 表示的平面区域为△OBC,，解得（舍负），化为斜截式,当直线过B时z最大，B的坐标为(2,2),此时，‎ 故答案为6.‎ ‎15、三棱锥P-ABC中，AB⊥AC,PA⊥平面ABC，PA=3,AB=4,AC=5,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为 。‎ 解析：把三棱锥放在长、宽、高为3、4、5的长方体中，三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的体对角线就是外接球的直径，2R=，R=,S=‎ ‎16．已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则__________．‎ 解析：由题意，又，∴，又， ， ，当时， ，由于函数在上单调，所以， ， ，所以，即 第II卷（非选择题)‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．本题满分10分 在中，、、分别是角、、的对边，且.‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围.‎ 解析：（1）由题意知，∴，‎ 由余弦定理可知，，‎ 又∵，∴………5分 ‎（2）由正弦定理可知，，即 ‎∴‎ ‎，‎ 又∵为锐角三角形，∴，即，‎ 则，所以，‎ 综上的取值范围为. ………10分 ‎18．本题满分12分 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，为中点.‎ ‎ （1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ 解析：（1）证明：∵底面为正方形，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴.‎ 同理，‎ ‎∴平面 . ………5分 ‎（2）建立如图的空间直角坐标系，‎ 则，‎ 设为平面的一个法向量，‎ 又，‎ ‎∴‎ 令，‎ 得. ………7分 同理是平面的一个法向量， ………9分 则. ………11分 ‎∴二面角的正弦值为. ………12分 ‎19、本题满分12分 已知数列的前项和为，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ 解析：（Ⅰ）由可得，‎ 上述两式相减可得，即， ‎ 因为，所以，所以，所以， ‎ 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以． ………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，………7分 所以， ………9分 所以．………12分 ‎20．本题满分12分 已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点的直线交抛物线于两点，当时，求直线的方程.‎ 解析： （1）设，则，.‎ ‎，‎ 即，即，‎ 所以动点的轨迹的方程. ………4分 ‎（2）易知直线斜率必存在，设， ， ， ‎ ‎①， ………6分 ‎ 联立得即， ‎ 由得，且②， ③， ………8分 ‎ 由①②③得，即直线. ………12分 ‎21、本题满分12分 在中国移动的赞助下，某大学就业部从该大学2018年已就业的A、B两个专业的大学本科毕业生中随机抽取了200人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现，他们的月薪收入在3000元到9000元之间，具体统计数据如下表：‎ 将月薪不低于7000元的毕业生视为“高薪收入群体”，并将样本的频率视为总体的概率，巳知该校2018届大学本科毕业生李阳参与了本次调查问卷，其月薪为3500元．‎ ‎(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关?‎ 非高薪收入群体 高薪收入群体 合计 A专业 B专业 ‎20‎ ‎110‎ 合计 ‎ (2)经统计发现，该大学2018届的大学本科毕业生月薪X(单位：百元)近似地服从正态分布N(，196)，其中近似为样本平均数 (每组数据取区间的中点值)．若X落在区间()的左侧，则可认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供更好的指导。‎ ‎①试判断李阳是否属于“就业不理想”的学生；‎ ‎②中国移动为这次参与调查的大学本科毕业生制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月薪低于的获赠两次随机话费，月薪不低于的获赠一次随机话费，每次赠送的话费Z及对应的概率分别为：‎ 则李阳预期获得的话费为多少元?‎ 附：，其中，．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 解析：（1）‎ 非高薪收入群体 高薪收入群体 合计 A专业 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ B专业 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ K2≈6.061＞5.024，在犯错误的概率不超过0.025的前提下能够判断“高薪收入群体”与所学专业有关 ………3分 ‎（2）①该大学2018届的大学本科毕业生平均工资 =35×0.1+45×0.18+55×0.22+65×0.25+75×0.2+85×0.05=59.2，月薪X服从正态分布N(，196)， =14，=31.2,3500＞3120，故李阳不属于“就业不理想”的学生。 ………6分 ‎②李阳工资3500元低于5920元，获赠两次随机话费，Z的取值分别为：120,180,240,300,360，‎ P(Z=120)==, P(Z=180)==, p（Z=240）==‎ P(Z=300)== P(Z=360)==‎ E（Z）=元 ………12分 ‎22、本题满分12分 已知函数 (e为自然对数的底数)．‎ ‎(1)求函数的值域；‎ ‎(2)若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围；‎ 解析：（1）‎ ‎，，所以，故函数在上单调递减，故函数的最大值为；的最小值为，所以函数的值域为.………5分 ‎(2)原不等式可化为.........................(*)，‎ 因为恒成立，故（*）式可化为.‎ ‎ 令，则 ………6分 当时，，所以函数在上单调递增，故，所以； ………8分 当时，令，得，且当时，；当时，.‎ 所以当即时，函数，成立； ………10分 当即时，函数在上单调递减，‎ ‎，解得 综上，. ………………12分