- 473.02 KB
- 2021-06-23 发布
专题五 函数与函数方程
得分点1
函数的零点
【背一背基础知识】
1．定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
2．函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与______有交点⇔函数y＝f(x)有______．
3．函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
【答案】1．f(x)＝0.2.x轴 零点.3．f(a)·f(b)<0 (a，b) f(c)＝0.
【讲一讲基本技能】
1.必备技能：
1.确定函数零点的常用方法:
(1)解方程判定法,方程易求解时用此法;
(2)函数零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质、导数等知识;
(3)数形结合法,如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
2. 判断函数零点所在区间的方法
方法
解读
适合题型
定理法
利用函数零点的存在性定理进行判断
能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负
图象法
画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
容易画出函数的图象
2.典型例题：
例1【2018届广东省汕头市高三上学期期末】设，则是（ ）
A. 奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数
C. 有零点，且在上是减函数 D. 没有零点，且是奇函数
【答案】A
例2【2018届浙江省嘉兴市高三上学期期末】若
在内有两个不同的零点，则和（ ）
A. 都大于1 B. 都小于1
C. 至少有一个大于1 D. 至少有一个小于1
【答案】D
【解析】+ =，因为在内有两个不同的零点，所以 + <,即和 至少有一个小于1，选D
【练一练趁热打铁】
1.【2018届山东省枣庄市第八中学东校区高三1月】函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数在x＞0时是连续函数，f（1）=e-4＜0，f（2）=e2-2＞0，由函数零点的存在性定理，函数的零点所在的区间为（1，2）．
故选C．
2.【2018届百校联盟TOP20一月联考】命题，命题函数在上有零点，则是的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
得分点2
函数零点个数的判断
【背一背基础知识】
二次函数的零点：
（1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，
二次函数有两个零点；
（2）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；
（3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.
【讲一讲基本技能】
1.必备技能：判断函数y＝f(x)零点个数的常用方法
(1)直接法．令f(x)＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数．
(2)零点存在的判定方法．判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数．
(3)数形结合法．转化为两个函数的图象的交点个数问题(画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数).
2.典型例题：
例1.函数f(x)＝的零点个数是________．
【答案】2.
【解析】
(1)当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln2<0，f(3)＝ln3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.
例2.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．
当x>0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0.
则ex＝－x＋3.
分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．
又根据对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点．
综上所述，f(x)的零点个数为3.故选C.
【练一练趁热打铁】
1.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
故选B.
2.函数f(x)＝cosx－log8x的零点个数为________．
【答案】3.
【解析】由f(x)＝0得cosx＝log8x，设y＝cosx，y＝log8x，作出函数y＝cosx，y＝log8x的图象，由图象可知，函数f(x)的零点个数为3.
得分点3
函数方程的应用
【背一背基础知识】
1.①如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且函数在区间上是一个单调函数，那么当·时，函数在区间内有唯一的零点，即存在唯一的，使.
②如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有·，那么，函数在区间内不一定没有零点．
③如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，那么当函数在区间内有零点时不一定有·，也可能有·.
2．有关函数零点的重要结论
(1)若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点．
(2)连续不断的函数相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．
【讲一讲基本技能】
1.必备技能：
1．解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.
2．应用函数零点的存在情况求参数的值或取值范围常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．
3．与方程根有关的计算和大小比较问题的解法
数形结合法:根据两函数图象的交点的对称性等进行计算与比较大小.
4．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数，，即把方程写成的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系．
2.典型例题
例1【2017山东，理10】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
例2若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】由函数有两个零点，可得有两个不等的根，从而可得函数函数的图象有两个交点，结合函数的图象可得，，故答案为：.
【练一练趁热打铁】
1.【2018届河北省唐山市高三上学期期末】已知，函数，若存在使得有三个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】作出和的图象，它们在第一象限交点为，考虑到的定义， 有三个零点，说明的图象与直线有三个交点，因此，故选C．
2.【2016高考天津理数】已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
（A）（0，] （B）[，] （C）[，]{}（D）[，）{}
【答案】C
【解析】
由在上递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又∵时，抛物线
与直线相切，也符合题意，∴实数的去范围是，故选C.
测一测，彰显自我
（一） 选择题（12*5=60分）
1.【2018届皖江名校高三12月份大联考】“”是方程有2个实数解得（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
作出函数的图象，可知方程有2个实数解时可得.
所以方程有2个实数解，一定有，反之不成立，如只有一个实数解.
所以“”是方程有2个实数解的必要不充分条件.
故选B.
2. 函数（为自然对数的底数）的零点个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，即，即，在同一直角坐标系中画出函数与函数的图象如下图所示，由图象可知，函数与函数的图象有一个公共点，故函数（为自然对数的底数）的零点个数是，故选B.
3.【2018届云南民族大学附属中学高三上学期期末】已知函数的定义域为，且，若方程有两个不同实根，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】作图，由图知 ， 的取值范围为，选A.
4.【2018届安徽省亳州市高三第一学期期末】已知函数，若存在四个互不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，则，由题意， 有两个不同的解， 有两个不相等的实根，
由图可知， 得或，所以和各有两个解。
当有两个解时，则，
当有两个解时，则或，
综上， 的取值范围是，故选D。
5.【2018届四川省成都实验中学高三上学期1月】已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A. [－1，1) B. [0，2] C. [－2，2) D. [－1，2)
【答案】D
【解析】作y＝x＋2与y＝x2＋5x＋2在同一坐标系中的图象如图，要使g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同零点，即f(x)与y＝2x有三个不同交点，观察可知，需y＝x＋2与y＝2x交于C点；y＝x2＋5x＋2与y＝2x交于A、B点；故令x2＋5x＋2＝2x得x＝－1或x＝－2，令2x＝x＋2得x＝2.∴－1≤a＜2.选D.
6. 函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点可能落在的区间为( )
A. (0,1) B. (2,3)
C. (3,4) D. (4,5)
【答案】C
7.【2018届河南省郑州市高中毕业班第一次质量检测（模拟）】已知函数，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得：
解得
故选.
8．若关于x的不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. (1，＋∞) D. (－∞，－1)
【答案】A
【解析】方法一：由x2＋ax－2>0在x∈[1,5]上有解，令f(x)＝x2＋ax－2，
∵f(0)＝－2<0，f(x)的图象开口向上，
∴只需f(5)>0，即25＋5a－2>0，解得a>－.
方法二：由x2＋ax－2>0在x∈[1,5]上有解，可得在x∈[1,5]上有解．
又f(x)＝在x∈[1,5]上是减函数，∴()min＝－，只需a>－.
故选A.
9.已知函数则的大致图象是 （ ）
【答案】C
【解析】因为，，所以，故选C．
10.【2018届山东省枣庄市第八中学东校区高三1月月考】是定义在上的奇函数，对，均有，已知当时， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于对称 B. 有最大值1
C. 在上有5个零点 D. 当时，
【答案】C
【解析】∵f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R，均有f（x+2）=f（x），故函数的周期为2，则f（x）的图象关于（1，0）点对称，故A错误；f（x）∈（-1，1
），无最大值，故B错误；整数均为函数的零点，故f（x）在[-1，3]上有5个零点，故C正确；当x∈[2，3）时，x-2∈[0，1），则f（x）=f（x-2）=2x-2-1，当x=3时，f（x）=0，故D错误；
故选C.
11.【2018届河北省邯郸市高三1月】已知函数若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由分段函数的解析式可得： ，即： ，
结合函数有最小值可得： ，据此可得： ，
即实数的取值范围为.
本题选择A选项.
12.【2018届河北省定州中学高三（承智班）上学期第三次月考】已知函数，设，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
二、填空题（4*5=20分）
13.已知函数的图象如图所示，则函数的定义域是________．
【答案】
【解析】要使函数有意义，则需，由函数的图象知，即函数的定义域为．
14.【2018届北京市海淀区高三第一学期期末】 函数的最大值为______；若函数的图像与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是_______
【答案】 1
【解析】函数，分段画出图像得到最大值为当
将两个图像画在一个坐标系中，根据图像得到实数k的范围为： .
故答案为：(1). 1 (2). .
15. 已知函数f(x)＝lnx＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝________.
【答案】5
16.【2018届天津河西高三上期中】已知函数，其中，若函数有两个零点，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】若函数有两个零点，
即与交于两点，
因为与在定义域内均为单调递增函数，
当时，当时，所以，
则的取值范围是．