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- 2021-06-23 发布
南昌二中2018—2019学年度上学期期中考试
高二数学(理科)试卷
命题人：唐宇力 审题人：周启新
一、选择题（每小题5分，共60分。）
1. 抛物线y2＝－12x的准线方程是( )
A．x＝－3 B．x＝3 C．y＝3 D．y＝－3
2. 当时，方程所表示的曲线是（ ）
A．焦点在轴的椭圆 B．焦点在轴的双曲线
C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线
3.若以双曲线（）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（ ）
A． B．1 C． D．2
4.抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（ ）
A．（1，1） B． C． D．（2，4）
5.圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则( )
A. B．4 C．2 D．
6.M是椭圆上一动点，F1和F2是左右焦点，由F2向的外角平分线作垂线，垂足为N，则N点的轨迹为( )
A.直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
7.设椭圆（）的离心率为，右焦点F（c，0），方的两个根分别为x1，x2，则点P（x1，x2）在( )
A.圆内 B．圆上
C．圆外 D．以上三种都有可能
8.过抛物线（）的焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若，且，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9.已知圆，是圆上任意一点，过点向轴作垂线，垂足为，点在线段上，且，则点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
10.分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点．若为等边三角形，则的面积为（ ）
A. 8 B. C. D. 16
11.在直角坐标系中,抛物线的焦点为,准线为，点是准线上任一点，直线交抛物线于，两点，若，则的面积( )
A.4 B. C. D.
12.设双曲线（，）的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于，两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若（，），，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分。）
13.点关于直线的对称点是______.
14.已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆 相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为_____.
15.设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则b的值为_____.
16.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线的离心率的取值范围为．则该椭圆的离心率的取值范围是 ．
三、 解答题（共70分）
17. （本小题10分）
已知的三个顶点(4,0），(8,10），(0,6）.
（1）求AC边上的高所在的直线方程；
（2）求过点且与点距离相等的直线方程。
18. （本小题12分）
在极坐标系中，极点为，已知曲线： 与曲线： 交于不同的两点，．
（1）求的值；
（2）求过点且与直线平行的直线的极坐标方程．
17. （本小题12分）
已知动圆与定圆内切，与直线相切.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若是上述轨迹上一点，求到点距离的最小值．
18. （本小题12分）
设直线l：y=2x﹣1与双曲线（，）相交于A、B两个不
同的点，且（O为原点）．
（1）判断是否为定值，并说明理由；
（2）当双曲线离心率时，求双曲线实轴长的取值范围．
17. （本小题12分）
为抛物线的焦点，过点的直线与交于、两点，的准线与轴的交点为，动点满足．
（1）求点的轨迹方程；
（2）当四边形的面积最小时，求直线的方程．
18. （本小题12分）
如图，已知椭圆（）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、．
（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）设直线、的斜率分别为、，证明为定值；
（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．
南昌二中2018—2019学年度上学期期中考试
高二数学(理科)试卷参考答案
1-12 B D B A D B A A C C D A
13.
14.
15．
16． 16.
17.解：（1） .......5分
（2） ..........10分
18.解：
（1）∵，∴，
又∵，可得,∴，
圆心(0,0)到直线的距离为
∴． ........6分
（2）∵曲线的斜率为1，∴过点且与曲线平行的直线的直角坐标方程为，
∴直线的极坐标为，即． ..........12分
19.解：（Ⅰ）设动圆的圆心，
∵动圆与定圆内切，与直线相切，
∴，
化简得． ........5分
（Ⅱ）设，则，
∴． ......8分
当时，时上式取得最小值，即取得最小值；
当时，时上式取得最小值，即取得最小值． .....11分
∴ ........12分
20.【解答】解：（Ⅰ）为定值5．
理由如下：y=2x﹣1与双曲线联立，
可得（b2﹣4a2）x2+4a2x﹣a2﹣a2b2=0，（b≠2a），
即有△=16a4+4（b2﹣4a2）（a2+a2b2）＞0，
化为1+b2﹣4a2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=，x1x2=，由（O为原点），可得
x1x2+y1y2=0，即有x1x2+（2x1﹣1）（2x2﹣1）=5x1x2﹣2（x1+x2）+1=0，
即5•﹣2•+1=0，
化为5a2b2+a2﹣b2=0，即有=5，为定值． ......6分
（Ⅱ）由双曲线离心率时，
即为＜＜，即有2a2＜c2＜3a2，
由c2=a2+b2，可得a2＜b2＜2a2，即＜＜，
由=5，可得＜﹣5＜，化简可得a＜，
则双曲线实轴长的取值范围为（0，）． .......12分
21.解：（I）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），∴E（﹣1，0）．
设直线l的方程为x﹣my﹣1=0．
联立方程组，消元得：y2﹣4my﹣4=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），则y1+y2=4m，x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2．
∴AB的中点坐标为M（2m2+1，2m）．
∵=+=2，∴M为EP的中点．
∴，∴，即y2=4x﹣12．
∴点P的轨迹方程为y2=4x﹣12． ........6分
（II）由（I）得y1+y2=4m，y1y2=﹣4．
∴|AB|===4（m2+1）．
E到直线l：x﹣my﹣1=0的距离d=，
∴S△ABE=•|AB|•d=4，
∵=+，∴四边形EAPB是平行四边形，
∴平行四边形EAPB的面积S=2S△ABE=8．
∴当m=0时，S取得最小值8．
此时直线l的方程为x﹣1=0．.........12分
22.解：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为=，
得，又2a+2c=，
所以可解得，c=2，所以b2=a2﹣c2=4，
所以椭圆的标准方程为；
所以椭圆的焦点坐标为（±2，0），
因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，
所以该双曲线的标准方程为． .......2分
（Ⅱ）设点P（x0，y0），
则k1=，k2=，
∴k1•k2==，
又点P（x0，y0）在双曲线上，
∴，即y02=x02﹣4，
∴k1•k2==1． .........6分
（Ⅲ）假设存在常数λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，
则由（II）知k1•k2=1，
∴设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=（x﹣2），
由方程组消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则由韦达定理得，，
∴AB==，
同理可得CD===，
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ==﹣==，
∴存在常数λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立． ......12分