数学文卷·2018届辽宁省辽南协作校高三下学期第一次模拟考试（2018 10页

2018 届辽宁省辽南协作校高三下学期第一次模拟考试题 数学（文科） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设复数 ,则 （ ） A．3 B． C． D．5 2.设集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 3.根据如下样本数据得到回归直线方程 ，其中 ，则 时 的估计值 是（ ） 4 2 3 5 49 26 39 54 A．57.5 B．61.5 C．64.5 D．67.5 4. 某几何体的正视图和侧视图如图（1）所示，它的俯视图的直观图是 ，如图（2） 所示，其中 = =2， = ，则该几何体的体积为（ ） 正视图 （1） 俯视图 （2） A． B． C. D． 5.若 是两条不同的直线， 是三个不同的平面， ① ② ， ， 10 23 axby ˆˆˆ += 5.10ˆ =a yˆ CBA ′′′ AO ′′ BO ′′ CO ′′ 3 38 312 318 324 γβα ,, α α α β α⊂ β⊂ ③ ， ④若 ， ，则 则以上说法中正确的有（ ）个 A．1 B．2 C.3 D．4 6.若 且 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C. D． 7.若双曲线 的焦距为 4，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C. D． 8.已知 给出下列四个命题： ； ； 其中真命题的是（ ） A． B． C. D． 9..公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内正接多边形的边数无限增加时，多边形 面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点 后面两位的近似值 3.14,这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则 输出的 值为(参考数据： )（ ） A．3 B．4 C.5 D．6 α β α β γα  γβ  α β 0lglg =+ ba ba ≠ ba 12 + ),22[ +∞ ),22( +∞ ),3()3,22[ +∞ ),3()3,22[ +∞ )(2 2 Rmmmyx ∈=+ xy 5±= xy 3±= xy 15 15±= xy 3 3±= { }1),( ≤+ yxyx ( ) 0,,:1 ≥+∈∃ yxDyxP ( ) 01,,:2 ≤+−∈∀ yxDyxP ( ) 2 1 2,,:3 ≤+∈∀ x yDyxP ( ) 2,,: 22 4 ≥+∈∃ yxDyxP 21, PP 31, PP 43, PP 42 , PP 3 10.函数 的部分图像如图所示，则关于函数 的下列说法正确的是（ ） A．图像关于点 中心对称 B．图像关于直线 对称 C.图像可由 的图像向左平移 个单位长度得到 D．在区间 上单调递减 11.函数 则（ ） A． B． C. D． 12.已知 是定义在 上的偶函数，对任意 ，都有 ，且当 时， ，若 在 上有 5 个根，则 的取值范围 是（ ） A． B． C. D． 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.设向量 ，且 的夹角为钝角，则实数 的取值范围 是 ． ( )0,0)cos()(  ϕπωϕω −+= xAxf )sin()( ϕω −= xAxg      0,3 π 6 π=x xy 2cos2= 6 π     12 5,0 π ( ) ( ) xexxf 7−= ( ) ( ) ( )5.0 7.0 6 66log7.0 fff  ( ) ( ) ( )6log67.0 7.0 5.06 fff  ( ) ( ) ( )5.06 7.0 67.06log fff  ( ) ( ) ( )65.0 7.0 7.066log fff  ( )xf Rx∈ ( ) ( )xfxf −=+2 [ ]1,0∈x ( ) 21 xxf −= ( )[ ] ( ) 032 =+− xbfxfa a b 2+      1,3 2      −− 3 2,1      −− 3 1,1      −− 3 1,3 2 ( ) ( )3,,3,1 mba ==  ba , 14.长方形 为 的中点，在长方形 内随机取一点 ，则点到 的距离大于 2 的概率为 ． 15.设 的内角 所对的边分别为 且 ， 则 的范围是 ． 16.已知过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两点，若 ，且 ，则 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. 已知数列 满足 ，数列 满足 . (1)求数列 ， 的通项公式； (2)设数列 的前 n 项和为 ，求使得 对任意正整数 都成立的实数 的取 值范围. 18.2017 年被称为“新高考元年”，随着上海、浙江两地顺利实施“语数外+3”新高考方案， 新一轮的高考改革还将继续在全国推进。辽宁地区也将于 2020 年开启新高考模式,今年秋季 入学 的高一新生将面临从物理、化学、生物、政治、历史、地理等 6 科中任选三科(共 20 种选法)作为 自己将来高考“语数外+3 ”新高考方案中的“3”。某地区为了顺利迎接新高考 改革，在某学校理科班的 200 名学生中进行了“学生模拟选科数据”调查，每个学生只能从 表格中的 20 种课程 组合选择一种学习。模拟选课数据统计如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 组合学科 物化生 物化政 物化历 物化地 物生政 物生历 物生地 人数 20 人 5 人 10 人 10 人 10 人 15 人 10 人 序号 8 9 10 11 12 13 14 组合学科 物政历 物政地 物历地 化生政 化生历 化生地 化政历 人数 5 人 0 人 5 人 ... 40 人 ... ... 序号 15 16 17 18 19 20 组合学科 化政地 化历地 生政历 生政地 生历地 政历地 总计 人数 ... ... ... ... ... ... 200 人 为了解学生成绩与学生模拟选课情之间的关系，用分层抽样的方法从这 200 名学生中抽取 xy 82 = { }na nn aaa == +11 2,1 { }nb 2 2 1log2 +−= nabn { }na { }nb { }nb nT mnTn +≤ 242 40 人的样本进行分析. (1)样本中选择组合 12 号“化生历”的有多少人？样本中选择学习物理的有多少人？ (2)从样本选择学习地理且学习物理的学生中随机抽取 3 人，求这 3 人中至少有 1 人还要学 习生物的概率； 19.如图，四棱锥 中，平面 平面 为线段 上一点， ， 为 的中点. (1)证明： 平面 ； (2)求四面体 的体积. 20.已知椭圆 的离心率 ，顶点 到直线 的距 离为 ，椭圆 内接四边形 （点 在椭圆上）的对角线 相交于点 ，且 . (1)求椭圆 的标准方程； (2)求直线 的方程. 21. 函数 . (1)若函数 在点 处的切线与直线 平行，求实数 的值； (2)若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围； (3)在（1）的条件下，求 的最小值. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 2 3=e 1=+ b y a x 5 54       −− 2 21,22P PDBPPCAP 2,2 == ( ) axxxexf x −−= ln ( )xfy = ( )( )1,1 f ( )( )112 −−= xey a ( )xf a ( )xf 22.（满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 直线 的极坐标方程为 ，以极点为坐标原点，极轴为 轴建立极坐标系， 曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）， (1)将曲线 上各点纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到曲线 ，写出 的极坐标方程； (2)射线 与 ， 交点为 ，射线 与 ， 交点为 ，求四边形 的 面积. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . (1)当 时，解不等式 的解集； (2)当 时，有 成立，求 的取值范围. l 244sin =     − πθρ x    = = α α sin2 cos4 y x α 3 πθ = l 3 2πθ = l ( ) 1−++= xaxxf 0=a Rx∈ ( ) 32 ≥+ axf a 2017-2018 学年度下学期高三第一次模拟考试试题 数学（文科）参考答案 一、选择题 1-5:DCCAB 6-10:ADBBD 11、12：DB 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.解：（1）由 ， 所以 为首项是 1，公比为 的等比数列 ∴ ∴ （2） ∴ 任意正整数 都成立 ∵ 当 或 2 时， 的最大值为 4， 所以 . 18.解：(1)化生历有 8 人； π 6 11−       3 34,2 248− 0,2 1,1 1 1 ≠== + n n n aa aa { }na 2 1 1 2 1 −     = n na 222 1log2 2 2 +=    −= nb n n nnTn 32 += nnm 62 2 +−≥ 2 9 2 3262 2 2 +     −=+− nnn nT 4≥m 物理有 18 人 (2)学习地理且学习物理的学生共有 5 人，其中学习生物的有 2 人记为 另外三人记作 . 空间为 共 10 个 这 3 人中至少有 1 人还要学习生物 9 个 这 3 人中至少有 1 人还要学习生物的概率 19.解:(1)因为 取 的中点 ， ，∴ 又 ，∴ ，∴ 为平行四边形 ∴ ， 平面 ， 平面 ∴ 平面 (2)由 可知 ∴ 平面 ， 又 为 中点，所以 到平面 的距离为 计算可得 所以四面体 的体积 20.解：(1)由题意知 ，解得 ， 所以椭圆 的标准方程为 10 9=P 23 2 == ADAM 22 1, == BCTNBCTN ∥ AMTN = BCAD∥ AMTN ∥ AMNT ATMN ∥ ⊂AT PAB ⊄MN PAB ∥MN PAB 4,5,3 === ABPBPA 222 ABPAPB += ⊥PA 2 1 52542 1 =××=∆BCMS 3 54 23 1 =××= ∆− PASV BCMBCMn          += = + = 222 22 5 542 2 3 cba ba ab a c    = = 1 2 b a 14 2 2 =+ yx (2)设点 ，有 ① 因为 ，且 ， 所以点 的坐标为 因为点 在椭圆 上，所以将点 坐标代入 中 得 ② 由①、②得 设点 ，同理可得 因为 ， 都满足方程 所以直线 的方程为 21.解：（1） 所以 （2）需 在 恒成立 即 在 恒成立 令 所以 在 递增 所以 所以 （3）当 时， ( )11, yxA 14 2 1 2 1 =+ yx PCAP 2=       −− 2 21,22P       −− 11 2 2 2 1,2 21 yx 14 2 2 =+ yx 0424224 11 2 1 2 1 =−−−+ yxyx 02 11 =+ yx ),( 22 yxB 02 22 =+ yx ( )11, yxA ),( 22 yxB 02 =+ yx 02 =+ yx )1(212)1( −=−−=′ eaef 01)1()( ≥−−+=′ axexxf x xexa x 1)1( −+≤ xexxg x 1)1()( −+= )(xg 12)1()( min −== egxg 12 −≤ ea ),0(,ln)( +∞∈−−= xxxxexf x ( ) 111)( −−+=′ xexxf x 所以 在 上递增 又 使得 ，此时 时 递减， 时 递增 所以 22.解：（1） 所以极坐标方程为： （2）将 ， 代入直线的极坐标方程得到 ， ， 由 与 得 23.(1)原不等式等价于 解得： (2)由 恒成立 因为 所以 ， 解得 ( ) 012)( 2 xexxf x ++=′′ )(xf ′ 11ln1ln)()( 0 0 00000min 0 0 =−−=−−== xexxxxexxfxf x x 4=ρ 3 πθ = 3 2πθ = 12sin 24 πρ =N 12 5sin 24 πρ =B 60sin2 1 NBOBNS ρρ ××=∆ 60sin442 1 ××=∆OAMS 328=−= ∆∆ OAMOBNABNM SSS aaax −≥−++ 3122 ( ) 1122122 +=−−+≥−++ axaxxax aa −≥+ 31 { }1≥aa