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- 2021-06-22 发布
排列与组合
【考点梳理】
1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
(2)C＝＝
＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1
性质
(1)0！＝1；A＝n！.
(2)C＝C；C＝C＋C
【考点突破】
考点一、排列问题
【例1】(1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A.192种 B.216种
C.240种 D.288种
(2)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.
[答案] (1)B (2)36
[解析] (1)第一类：甲在最左端，
有A＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；
第二类：乙在最左端，
有4A＝4×4×3×2×1＝96(种)方法.
所以共有120＋96＝216(种)方法.
(2)记其余两种产品为D，E，A，B相邻视为一个元素，先与D，E排列，有AA种方法；再将C插入，仅有3个空位可选，共有AAC＝2×6×3＝36种不同的摆法.
【类题通法】
1. 第(1)题求解的关键是按特殊元素甲、乙的位置进行分类.注意特殊元素(位置)的优先原则，即先排有限制条件的元素或有限制条件的位置.对于分类过多的问题，可利用间接法.
2．对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法等常用的解题方法.
【对点训练】
1．7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为( )
A.120 B.240 C.360 D.480
[答案] C
[解析] 第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3×4×5×6＝360种方法.
2．某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有( )
A.30 B.600 C.720 D.840
[答案] C
[解析]若只有甲乙其中一人参加，有CCA＝480种方法；若甲乙两人都参加，有CCA＝240种方法，则共有480＋240＝720种方法，故选C.
考点二、组合问题
【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
[解析] (1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561种，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984种.
∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2 100种.
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.
(4)选取2种假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555种.
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.
(5)选取3件的总数为C，因此共有选取方式
C－C＝6 545－455＝6 090种.
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.
【类题通法】
组合问题常有以下两类题型变化：
1. “含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
2．“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
【对点训练】
1．
现有6个不同的白球，4个不同的黑球，任取4个球，则至少有两个黑球的取法种数是( )
A.90 B.115 C.210 D.385
[答案] B
[解析] 分三类，取2个黑球有CC＝90种，取3个黑球有CC＝24种，取4个黑球有C＝1种，故共有90＋24＋1＝115种取法，选B.
2．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A.60种 B.63种 C.65种 D.66种
[答案] D
[解析]共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴共有不同的取法有C＋C＋CC＝66(种).
考点三、排列、组合的综合应用
【例3】4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.
(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？
(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？
[解析] (1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有CCC×A＝144(种).
(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.
(3)确定2个空盒有C种方法.
4个球放进2个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有·A种方法.故共有C(CCA＋·A)＝84(种).
【类题通法】
1. 解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.
2．不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异.其次对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.
【对点训练】
1．某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名 生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为( )
A.AC B.AC
C.AA D.2A
[答案] B
[解析] 法一 将4人平均分成两组有C种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A(种).
所以不同的安排方法有CA(种).
法二 先从6个班级中选2个班级有C种不同方法，然后安排 生有CC种，故有CCC＝AC(种).
2．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).
[答案] 60
[解析] 把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4人有CA种分法，所以不同获奖情况种数为A＋CA＝24＋36＝60.