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- 2021-06-22 发布
第2节 数列的通项公式与求和
题型74 数列通项公式的求解
1. (2013安徽文19）设数列满足，且对任意，函数满足.
（1）求数列的通项公式；；
（2）若，求数列的前项和.
1. 分析 （1）求导，代入，并对所得式子进行变形，从而证明数列是等差数列，
再由题目条件求基本量，得通项公式.（2）将代入化简，利用分组求和法，结合等差、等
比数列的前项和公式计算.
解析 （1）由题设可得.
对任意，，即，故为等差数列.由，，可得数列的公差，所以.
（2）由知，
.
2.（2013广东文19）设各项均为正数的数列的前项和为，满足，,且构成等比数列．
(1) 证明：；
(2) 求数列的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数，有
2.分析 （1）把代入递推式，可以得到和的关系式，变形可
得.（2）鉴于递推式含有的特点，常用公式
进行化异为同，得到和的递推式，构造等差数列，进而求出
数列的通项.（3）要证的不等式的左边是一个新数列的前项和，因此要求和、
化简，因为是一个分式，常常通过裂项相消法逐项相消，然后再通过放缩，得出结
论.
解析 （1）证明：由，得，即，所以.
因为，所以.
（2）因为 ①
所以当时， ②
由①-②得，
即.
因为，所以，即.
因为成等比数列，所以，即，解得.
又由（1）知，所以，所以.
综上知，所以数列是首项为，公差为的等差数列.
所以.
所以数列的通项公式为.
（3）证明：由（2）知，
所以
.
3. （2013江西文16）正项数列满足：.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 令，数列的前项和为．
3.分析 （1）根据已知的和的关系式进行因式分解，通过得到数列的通项公式；
（2）把数列的通项公式代入的表达式，利用裂项法求出数列的前项和.
解析 （1）由，得.由于是正项数列，所以.
（2）由，则，
.
4. (2013重庆文16）设数列满足：.
（1）求的通项公式及前项和；
（2）已知是等差数列，为其前项和，且，求.
4.分析 根据等比、等差数列的通项公式及前项和公式直接运算求解.
解析 （1）由题设知是首项为，公比为的等比数列，所以
.
（2），所以公差，
故.
5. (2013湖南文19）设为数列的前项和，已知，2，.
（1）求，，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
5.分析 根据消去得到关于的关系式，求其通项；利用错位相
减法求前项和.
解析 （1）令，得，即.因为，所以.
令，得，解得.当时，由，即.于是数列是首项为.公比为的等比数列.因此，.
所以的通项公式为.
（2）由（1）知，.记数列的前项和为，
于是，
.
，得.
从而.
6.（2014陕西文4）根据如图所示框图，对大于的整数，输出的数列的通项公式是（ ）.
A. B. C. D.
7.（2014新课标Ⅱ文16）数列满足，，则
.
8.（2014江西文17）（本小题满分12分）
已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：对任意，都有，使得成等比数列.
9.（2014大纲文17）（本小题满分10分）
数列满足.
（1）设，证明是等差数列；
（2）求的通项公式.
10.（2014广东文19）（本小题满分14分）
设各项均为正数的数列的前项和为，且满足.
(1) 求的值；
(2) 求数列的通项公式；
(3) 求证：对一切正整数，有.
11.（2014湖南文16）（本小题满分12分）
已知数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
12.（2015陕西文16）观察下列等式：
……
据此规律，第个等式可为______________________.
12.解析 观察等式知，第个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为，分母是到的连续正整数，等式的右边是.
故答案为.
13.（2015江苏卷11）设数列满足，且，则数列前项的和为 ．
13.解析 解法一：可以考虑算出前项，但运算化简较繁琐．
解法二：由题意得，，…，
故累加得，从而，
当时，满足通项．故，
则有．
14.（2015安徽理18）已知数列是递增的等比数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，，求数列的前项和.
14.解析 （1）因为是等比数列，且，所以.
联立，又为递增的等比数列，即.
解得或（舍），可得，得.
所以.
（2）由（1）可知，
所以，
所以.
故.
15.（2015北京文16）已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，；问：与数列的第几项相等？
15.解析（1）依题意，设等差数列的公差为，
①
②
得，.
数列的通项公式为.
（2）等比数列中，，设等比数列的公比为，
.，得，
则与数列的第项相等.
16.（2015福建文17）在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的值．
16.分析（1）利用基本量法可求得，，进而求的通项公式；（2）求数列前项和，
首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题，
故可采取分组求和法求其前项和．
解析 （1）设等差数列的公差为．
由已知得，解得．
所以．
（2）由（1）可得，
所以
.
17.（2015广东文19）设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．
（1）求的值；
（2）求证：为等比数列；
（3）求数列的通项公式．
17.解析（1）当时，，
即，解得.
（2）因为（），
所以（），
即（），亦即，
则.
当时，，满足上式.
故数列是以为首项，公比为的等比数列.
（3）由（2）可得，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，即，
所以数列的通项公式是.
18.（2015湖北文19）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，.
(1)求数列，的通项公式;
(2)当时，记，求数列的前项和.
18.解析 (1)由题意有，，即.
解得，或.故或.
(2)由，知，，故，
于是， ①
. ②
式①式②可得.故.
19.（2015山东文19）已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项
和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19.解析（1）设数列的公差为，
令，得，即.
令，得，即.
联立，解得，.所以.
（2）由（1）知，
得到，
从而，
得
，
所以.
19.（2015四川文16）设数列（）的前项和满足，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求.
19.解析（1）由已知，可得，
即.则，.
又因为，，成等差数列，即.
所以，解得.
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.
故.
（2）由（1）可得，所以.
20.（2015天津文18）已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设,求数列的前项和.
20.分析（1）列出关于与的方程组，通过解方程组求出，即可确定通项；（2）用错位相减法求和.
解析 （1）设的公比为，的公差为，由题意，由已知，有，
消去得，解得，所以的通项公式为，
的通项公式为.
（2）由（1）有，设的前项和为，
则，
，
两式相减得，
所以.
21.（2015浙江文17）已知数列和满足，
.
(1)求与;
(2)记数列的前项和为，求.
21.解析 (1)由题意知是等比数列，，，所以.
当时，，所以，
所以，所以，又，所以.
（或采用累乘法）
(2)，所以，
所以，
所以.
22.（2015重庆文16）已知等差数列满足，前3项和.
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，求前项和.
22.解析（1）设的公差为，则由已知条件得，，
化简得，，解得，，
故通项公式，．
（2）由（1）得，.
设的公比为，则，从而，
故的前项和.
23.（2016浙江文17）设数列的前项和为.已知，，.
（1）求通项公式；
（2）求数列的前项和.
23.解析 （1）由题意得，则.
因为，，
所以，得.
又知，所以数列的通项公式为，.
（2）对于，，，当时，有.
设，，，，当时，有.
设数列的前项和为，则，.
当时，，时也满足此式，
所以.
24.（2017全国3文17）设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
24.解析 （1）令 ，则有 ，即.
当时， ①
②
得，即，得.
当时，也符合，所以.
（2）令，
所以
.
评注 本题具有一定的难度，第一问要求学生具备一定的转化与化归的思想，将不熟悉的表达形式转化为常规数列求通项问题才能迎刃而解.第二问属于常规裂项相消问题，没有难度，如果学生第一问求解时出现困难的话，可以用找规律的方法求出其通项，这样可以拿到第二问的分数，不失为一种灵活变通的处理方法.
25.（2017山东文19）已知是各项均为正数的等比数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）为各项非零的等差数列，其前项和，已知，求数列的前项和.
25.解析 （1）设数列的公比为，由题意知，，.
又，解得，，所以.
（2）由题意知，.
又，，所以.
令，则，
因此，
又，
两式相减得，所以.
题型75 数列的求和
1.（2015湖南文5）执行如图所示的程序框图，如果输入，
则输出的（ ）.
A. B. C. D.
1.解析 由题意，输出的为数列的前项和，
即.故选B.
2.（2015安徽理18）已知数列是递增的等比数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，，求数列的前项和.
2.解析 （1）因为是等比数列，且，所以.
联立，又为递增的等比数列，即.
解得或（舍），可得，得.
所以.
（2）由（1）可知，
所以，
所以.
故.
3. （2014安徽文18）（本小题满分12分）
数列满足，，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
3. 解析 （I）由已知可得，即.所以是以为首项，1为公差的等差数列.
（II）由（I）得，所以.从而.
，①
.②
得.
所以.
评注 本题考查等差数列定义的应用，错位相减法求数列的前项和，解题时利用题（I）提示对递推关系进行变形是关键.
4.（2015福建文17）在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的值．
4.分析（1）利用基本量法可求得，，进而求的通项公式；（2）求数列前项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题，
故可采取分组求和法求其前项和．
解析 （1）设等差数列的公差为．
由已知得，解得．
所以．
（2）由（1）可得，
所以
.
5.（2015湖北文19）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，.
(1)求数列，的通项公式
(2)当时，记，求数列的前项和.
5.解析 (1)由题意有，，即.
解得，或.故或.
(2)由，知，，
故，于是，①
. ②
式①式②可得.故.
6.（2015湖南文19）设数列的前项和为，已知，，
且.
（1）证明：；（2）求.
6.解析（1）由条件，对任意，有，
因而对任意，有，
两式相减，得，即，
又，所以，
故对一切，.
（2）由（1）知，，所以，于是数列是首项，公比为的等
比数列，数列是首项，公比为的等比数列，所以，（于是
，
从而，
综上所述，.
7.（2015山东文19）已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
7.解析（1）设数列的公差为，
令，得，即
令，得，即
联立，解得，.所以.
（2）由（1）知，
得到，
从而，
得
，
所以.
8.（2015四川文16）设数列（）的前项和满足，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求.
8.解析（1）由已知，可得，
即.则，.
又因为，，成等差数列，即.
所以，解得.
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.
故.
（2）由（1）可得，所以.
9.（2015天津文18）已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，
，.
（1）求和的通项公式；
（2）设,求数列的前项和.
9.分析（1）列出关于与的方程组，通过解方程组求出，即可确定通项；（2）用错位相减法求和.
解析（1）设的公比为，的公差为，由题意，由已知，有，
消去得，解得，所以的通项公式为，
的通项公式为.
（2）由（1）有，设的前项和为，
则，
，
两式相减得，
所以.
10.（2015浙江文17）已知数列和满足，
.
(1)求与;
(2)记数列的前项和为，求.
10.解析 (1)由题意知是等比数列，，，所以.
当时，，所以，
所以，所以.
又，所以（或采用累乘法）.
(2)，所以，
所以，
所以.
11.（2015重庆文16）已知等差数列满足，前3项和.
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，求前项和.
11.解析 （1）设的公差为，则由已知条件得，，
化简得，，解得，，
故通项公式，．
（2）由（1）得，.
设的公比为，则，从而，
故的前项和.
12.（2016北京文15）已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
（1）求的通项公式；
（2）设 ，求数列的前项和.
12.解析 （1）等比数列的公比，所以，.
设等差数列的公差为.因为，，
所以，即.所以.
（2）由（1）知，，.因此.
从而数列的前项和
.
13.（2016山东文19）已知数列的前项和，是等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令.求数列的前n项和.
13.解析 （1）由题意当时，，
当时，，所以.
设数列的公差为，由，
即，解得，所以.
（2）由（1）知，又，
即，
所以，
以上两式两边相减得.
所以.
14.（2016浙江文17）设数列的前项和为.已知，，.
（1）求通项公式；
（2）求数列的前项和.
14.解析 （1）由题意得：，则.
因为，，
所以，得.
又知，所以数列的通项公式为，.
（2）对于，，，当时，有.
设，，，，当时，有.
设数列的前项和为，则，.
当时，，时也满足此式，
所以.
15.（2017全国3文17）设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
15.解析 （1）令 ，则有 ，即.
当时， ①
②
得，即，得.
当时，也符合，所以.
（2）令，
所以
.
评注 本题具有一定的难度，第一问要求学生具备一定的转化与化归的思想，将不熟悉的表达形式转化为常规数列求通项问题才能迎刃而解.第二问属于常规裂项相消问题，没有难度，如果学生第一问求解时出现困难的话，可以用找规律的方法求出其通项，这样可以拿到第二问的分数，不失为一种灵活变通的处理方法.
16.（2017山东文19）已知是各项均为正数的等比数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）为各项非零的等差数列，其前项和，已知，求数列的前项和.
16.解析 （1）设数列的公比为，由题意知，，.
又，解得，，所以.
（2）由题意知，.
又，，所以.
令，则，
因此，
又，
两式相减得，所以.