数学文卷·2018届广东省东莞市高三上学期第一次调研考试（2018 12页

2018 届东莞市高三第一次调研考试试题 文科数学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 （1）设集合 ， ，则 （A） （B） （C） （D） （2）若复数 满足 ，则 （A） （B） （C） （D） （3）等差数列 的前 项的和等于前 项的和，若 ，则 （A） （B） （C） （D） （4）双曲线 的离心率 ，则它的渐近线方程 （A） （B） （C） （D） （5）已知 ， ， ，则 的大小关系为 （A） （B） （C） （D） （6）已知 ，且 ，则 (Ａ) 　　　 (Ｂ) 　　　　 (Ｃ) 　　 (Ｄ) （7）已知两点 ， ，点 在曲线 上运动，则 AB AC 的最小值为 A．2 B． C． D． 2{ | 4 3 0}A x x x= − + < { | 2 3 0}B x x= − > A B = 3( 3, )2 − − 3( 3, )2 − 3(1, )2 3( ,3)2 z (1 2 ) (1 )i z i+ = − | |z = 2 5 3 5 10 5 10 }{ na 9 4 0,1 41 =+= aaa k =k 3 7 10 4 )0,0(1: 2 2 2 2 >>=− bab y a xC 2 13=e xy 2 3±= xy 3 2±= xy 4 9±= xy 9 4±= 1.22a = 8.02=b 52log 2c = , ,a b c c b a< < c a b< < b a c< < b c a< < tan 2θ = θ ∈ 0, 2 π     cos2θ = 4 5 3 5 3 5 − 4 5 − ( )1,1A − ( )3,5B C 22y x= • 1 2 2− 1 2 − （8）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的 硬币.若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没 有相邻的两个人站起来的概率为 （A） （B） （C） （D） （ 9 ） 已 知 三 棱 锥 的 底 面 是 以 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 , 则三棱锥的外接球的球心到平面 的距离是 （A） （B）1 （C） （D） （10）如图，格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的 体积为 A． B． C． D．16 （11）设关于 的不等式组 表示的平面区域内存在点 满足 ，则 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） （12）已知函数 （ ）的图象在区间 上恰有 3 个最高点， 则 的取值范围为 A． B． C． D． 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13～21 题为必考题，每个考生都必须作答。第 22～23 题为选考题，考生根据要求作答。 1 4 7 16 1 2 9 16 S ABC− AB 2, 2,AB SA SB SC= = = = ABC 3 3 3 3 3 2 8 3 16 3 32 3 yx,    >− <+ >+− 0 0 012 my mx yx ),( 00 yxP 22 00 =− yx m )3 4,( −−∞ )0,3 2(− )3 1,( −−∞ )3 2,( −−∞ ( ) 2sin 4f x x πω = +   0ω > [ ]0,1 ω 19 27,4 4 π π    9 13,2 2 π π    17 25,4 4 π π    [ )4 ,6π π 二、填空题：本小题共 4 题，每小题 5 分。 （13）已知向量 ， ，若 ∥ ，则 . （14）设 中，角 所对的边分别为 ，若 的面积为 ， 则 （15）已知等比数列 的公比为正数，且 ， ,则 ． （16）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》 共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五 五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数 目.3 个 3 个数，剩 2 个；5 个 5 个数，剩 3 个；7 个 7 个数，剩 2 个.问这堆物品共有多少 个？”试计算这堆物品至少有 个． 三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题， 每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 （17）（本小题满分 12 分） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 . （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）若 边上的高等于 ，求 的值. （18）（本小题满分 12 分） 为了解本校学生课外阅读情况，某校随机抽取了 100 名学生对其课外阅读时间进行调查。下 面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图，且将日均 课外阅读时间不低于 60 分钟的学生称为“读书迷”，低于 60 分钟的学生称为“非读书迷”。 }{ na 2 593 2aaa =⋅ 12 =a =1a 非读书迷 读书迷 合计 男 15 女 45 a ( )1,2= b ( ), 1= −x a ( )a b− a b⋅ = ABC∆ , ,A B C , ,a b c ABC∆ 2 2 2 4 3 a b c+ − C = ABC A B C a b c cos sinb C b C a+ = B BC 1 4 a cos A （1）根据已知条件完成下面 2×2 列联表，（须在答题卷上画出 2×2 列联表）并据此判断是 否有 99%的把握认为“读书迷”与性别有关？ （2）利用分层抽样从这 100 名学生的“读书迷”中抽取 8 名进行集训，从中选派 2 名参加 市读书知识比赛，求至少有一名男生参加比赛的概率。 附： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 （19）（本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 中， 平面 ， 为正三角形， ， 为 的中点． （Ⅰ）求证：平面 平面 ； （Ⅱ）求三棱锥 的体积． 合计 ( ) ( )( )( )( ) 2 2 , ,n ad bcK n a b c da b c d a c b d −= = + + ++ + + + ( )2 0P K k≥ 1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC ABC∆ 1 6AA AB= = D AC 1BC D ⊥ 11 AACC 1C BC D− （20）（本小题满分 12 分） 已知函数 ， ． （Ⅰ）讨论函数 的单调性； （Ⅱ）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围． （21）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 ： 的左顶点为 ，右焦点为 ，过点 且斜率为 1 的直线交椭圆 于另一点 ，交 轴于点 ， ． （1）求椭圆 的方程； （2）过点 作直线 与椭圆 交于 两点，连接 （ 为坐标原点）并延长交椭圆 于点 ，求 面积的最大值及取最大值时直线 的方程． ( ) 21 ln 22f x ax x= − − Ra∈ ( )f x ( )f x a E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > A ( )1,0F A E B y C 6AB BC=  E F l E ,M N MO O E Q MNQ∆ l （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 （22）（本小题满分 10 分）[选修 4-4]参数方程与极坐标系 在平面直角坐标系 中，已知曲线 ： ，以平面直角坐标系 的原点 为 极 点 ， 轴 正 半 轴 为 极 轴 ， 取 相 同 的 单 位 长 度 建 立 极 坐 标 系 . 已 知 直 线 ： . (Ⅰ)试写出直线 的直角坐标方程和曲线 的参数方程； (Ⅱ)在曲线 上求一点 ，使点 到直线 的距离最大，并求出此最大值. （23）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f (x)＝|x－a|. （Ⅰ）若不等式 f (x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数 a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若 f (x)＋f (x＋5)≥m 对一切实数 x 恒成立， 求实数 m 的取值范围． xOy 1C 2 2 13 4 x y+ = xOy O x l ( )2cos sin 6ρ θ θ− = l 1C 1C P P l 2018 届东莞市高三第二次调研考试文科数学试题 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C A A C D B A B A C 1. 2.【解析】 ，故选C. （3）解析：因为 ，所以 ，即 ，于是 ，可知答案选 C.另解：由已知直接求出 . 4.【解析】双曲线 的离心率 ，可得 ，可得 ，双曲线的渐近线方程为： ． （6）解析：显然 ， ， ， ，因此 最大， 最小， 故选 A. 9. 【解析】由题意 在平面 内的射影为 的中点 ， 平面 ， ， ，在面 内作 的垂直平分线 ，则 为 的外接球 球心． ， ， ， ，即为 到平面 的距离，故选 A． （11）解析：画出可行域，由题意只需要可行域的顶点 在直线 的下方即 可，得到 ，解得 .故选 D. 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 1 1 3 10| |1 2 5 5 i iz zi − − −= = ⇒ =+ 49 SS = 05 796549 ==+++=− aaaaSS  07 =a 02 7410 ==+ aaa 6 1−=d )0,0(1: 2 2 2 2 >>=− bab y a xC 2 13=e 4 131,4 13 2 2 2 2 =+∴= a b a c 2 3= a b xy 2 3±= 1.22a = 2> 8.02=b 21 << b 14log5 <=c a c S ABC AB H SH∴ ⊥ ABC 3SH = 1CH = SHC SC MO O S ABC− 2SC = 1SM∴ = 30OSM∠ = ° 2 3 3,3 3SO OH∴ = = O ABC ),( mm− 22 =− yx 22 >−− mm 3 2−q ,2=q 2 22 1 == q aa 非读书迷 读书迷 合计 男 40 15 55 女 20 25 45 合计 60 40 100 5 2 − 3 π cos sinb C b C a+ = sin sin sin a b c A B C = = sin cos sin sinB C B C+ sin A= A B C π+ + = sin cos sin sinB C B C+ ( )sin B C= + sin cos sin sinB C B C+ sin cos cos sinB C B C= + sin 0C ≠ sin cosB B= cos 0B ≠ tan 1B = ( )0,B π∈ 4B π= BC AD 1 4AD a= 4B π= 1 4BD AD a= = 3 4CD a= 2 2AC AD DC= + 10 4 a= 2 4AB a= 2 2 2 cos 2 AB AC BCA AB AC + −= ⋅ 5 5 = − cos A 5 5 − 19．解：（Ⅰ）证明：因为 底面 ，所以 ……………2 分 因为底面 正三角形， 是 的中点,所以 ……………4 分 因为 ，所以 平面 ………………5 分 因为平面 平面 ,所以平面 平面 …………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 中， ， 所以 ………………………………9 分 所以 ………………………12 分 21. 解：（Ⅰ） ……………1 分 当 上单调递减； 当 .………… 3 分 .…………4 分 1AA ⊥ ABC 1AA BD⊥ ABC D AC BD AC⊥ AACAA =∩1 BD ⊥ 1 1ACC A BD ⊂ 1BC D 1BC D ⊥ 1 1ACC A ABC∆ BD AC⊥ sin 60 3 3BD BC= ° = 1 9 33 3 32 2BCDS∆ = × × = 1 1 1 9 3 6 9 33 2C BC D C C BDV V− −= = × × = 011)( 2 >−=−=′ xx ax xaxxf ， )0()(,0)(0 ∞+<′≤ ，在时， xfxfa a axxfa ==′> 解得时，令 ,0)(0 0)()(0)()0( >′∞+∈<′∈ xfa axxfa ax 时，，；当时，，当 …………5 分 综上：当 上单调递减； 当 a>0 时， …………6 分 （Ⅱ）当 由（Ⅰ）得 上单调递减，函数 不可能有两个 零点；………7 分 当 a>0 时，由（Ⅰ）得， 且 当 x 趋近于 0 和正无穷大时， 都趋近于正无穷大，………8 分 故若要使函数 有两个零点，则 的极小值 ，………………10 分 即 ，解得 , 综上所述， 的取值范围是 …………………12 分 （21） 解：（Ⅰ）由题知 ，故 ，……………1 分 代入椭圆 的方程得 ，……………2 分 又 ，……………3 分 故 ，……………4 分 椭圆 ；……………5 分 （Ⅱ）由题知，直线 不与 轴重合，故可设 ， 由 得 ，……………8 分 设 ，则 ，由 与 关于原点对 称知， 内单调递增，内单调递减；在，在函数 )()0()( ∞+∴ a a a axf )()( ∞+≤ ，在时， 00 xfa 内单调递增，内单调递减；在，在函数 )()0()( ∞+∴ a a a axf 0时，a ≤ ( )在（0，+ )f x ¥ )(xf ( ) (0 ) ( )a af x a a + ∞函数 在 ， 内单调递减，在 ， 内单调递增， )(xf )(xf )(xf ( ) 0af a < 1 1 l n - 2 02 2 a+ < 30 ea << a )0( 3e， ),0(),0,( aCaA − )7 6,7( aaB − E 149 36 49 1 2 2 =+ b a 122 =− ba 3,4 22 == ba 134: 22 =+ yxE l x 1: += myxl    =+ += 134 1 22 yx myx 096)43( 22 =−++ myym ),(),,( 2211 yxNyxM 43 9,43 6 221221 + −=+ −=+ myym myy Q M ，……………10 分 ， ，即 ，当且仅当 时等号成立， 面积的最大值为 3，此时直线 的方程为 ……………12 分 ……………2 分 ……………5 分 ……………8 分 ……………10 分 23. （本小题满分 10 分） 解：（Ⅰ）由 f(x)≤3，得|x－a|≤3.解得 a－3≤x≤a＋3. 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤5}． 所以Error!解得 a＝2. ………………………………4 分 （Ⅱ）当 a＝2 时，f(x)＝|x－2|. 设 g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|. 由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2 时等号成立)， ∴g(x)的最小值为 5. 因此，若 g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m 对 x∈R 恒成立， 知实数 m 的取值范围是(－∞，5]． …………………………………10 分 43 1124)(||2 2 2 21 2 2121 + +=−+=−== ∆∆ m myyyyyySS MONMNQ 1 113 12 2 2 + ++ = m m 2 1 1m + ≥ 2 2 13 1 4 1 m m ∴ + + + ≥ 3MNQS∆ ≤ 0=m MNQ∆∴ l 1=x