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- 2021-06-22 发布
2017-2018学年河南省周口市高二（上）第一次月考数学试卷
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=4，A=60°，B=45°，则边b的值为（ ）
A．2 B．2+2 C． D．2+1
2．（5分）已知一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（ ）
A．它的首项是﹣2，公差是3 B．它的首项是2，公差是﹣3
C．它的首项是﹣3，公差是2 D．它的首项是3，公差是﹣2
3．（5分）已知△ABC三内角A、B、C满足sinA：sinB：sinC=4：5：6，且三角形的周长是7.5，则三边的长是（ ）
A．a=4，b=5，c=6 B．a=1，b=1.5，c=5
C．a=2，b=3，c=2.5 D．a=2，b=2.5，c=3
4．（5分）数列﹣1，，﹣，，…的一个通项公式an是（ ）
A． B．
C． D．
5．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边a，b，c满足b2+c2=a2+bc，且bc=8，则△ABC的面积等于（ ）
A． B．4 C． D．8
6．（5分）在等比数列{an}中，已知a1=3，an=48，Sn=93，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a＞b，则正确的是（ ）
A．sinA＞sinB且cosA＞cosB B．sinA＜sinB且cosA＜cosB
C．sinA＞sinB且cosA＜cosB D．sinA＜sinB且cosA＞cosB
8．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A．24里 B．12里 C．6里 D．3里
9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）已知{an}为公比q＞1的等比数列，若a2005和a2006是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2007+a2008的值是（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
11．（5分）等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且，则=（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知数列{an}和{bn}满足：a1=1，a2=2，an＞0，bn=，且{bn}是以为公比的等比数列，若cn=a2n﹣1+2a2n，则数列{cn}的前n项和为（ ）
A．5×2n﹣5 B．3×2n﹣3 C．2n+1﹣2 D．2n﹣1
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°，则△ABC的面积等于 ．
14．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6= ．
15．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于 ．
16．（5分）△
ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，D是BC的中点，若a=4，AD=c﹣b，则△ABC的面积的最大值为 ．
三．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若，求sinC的值．
18．（12分）设{an}是公比为正数的等比数列，a1=2，a3=a2+4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．
19．（12分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
（1）求渔船甲的速度；
（2）求sinα的值．
20．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，{bn}为等差数列，且a1=b1，a2（b2﹣b1）=a1．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{cn}的前n项和Tn．
21．（12分）在锐角△ABC中，A、B、C三内角所对的边分别为a、b、c．设
，
（Ⅰ）若b=3，求△ABC的面积；
（Ⅱ）求b+c的最大值．
22．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=，an+2SnSn﹣1=0（n≥2）．
（1）判断是否为等差数列？并证明你的结论；
（2）求Sn和an；
（3）求证：．
2017-2018学年河南省周口市高二（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=4，A=60°，B=45°，则边b的值为（ ）
A．2 B．2+2 C． D．2+1
【分析】利用正弦定理即可得出．
【解答】解：由正弦定理可得：=，解得b=．
故选：C．
【点评】本题考查了正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（5分）已知一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（ ）
A．它的首项是﹣2，公差是3 B．它的首项是2，公差是﹣3
C．它的首项是﹣3，公差是2 D．它的首项是3，公差是﹣2
【分析】设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意可建立关于a1和d的方程组，解之即可．
【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差为d，
由等差数列的求和公式可得，
解得，
故选A
【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和运算，属基础题．
3．（5分）已知△ABC三内角A、B、C满足sinA：sinB：sinC=4：5：6，且三角形的周长是7.5，则三边的长是（ ）
A．a=4，b=5，c=6 B．a=1，b=1.5，c=5
C．a=2，b=3，c=2.5 D．a=2，b=2.5，c=3
【分析】先利用正弦定理，将角的关系转化为边的关系，进而三角形的周长是7.5，可求三边的长．
【解答】解：由题意，根据正弦定理得：a：b：c=4：5：6
∵三角形的周长是7.5
∴a=2，b=2.5，c=3
故选D．
【点评】本题以三角形为载体，考查正弦定理的运用，属于基础题．
4．（5分）数列﹣1，，﹣，，…的一个通项公式an是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别考察每一项的符号和绝对值的分子分母，寻找规律即可得出答案．
【解答】解：数列﹣1，，﹣，，…
即数列﹣，，﹣，，…
通过观察可以发现：每一项的符号为（﹣1）n，
其绝对值的分母为奇数数列，2n+1，分子是n（n+2）．
故其一个通项公式为an=．
故选D．
【点评】本题主要考查了数列的函数特性，把每一项的符号和绝对值分别考察是解题的关键．
5．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边a，b，c满足b2+c2=a2+bc，且bc=8，则△ABC的面积等于（ ）
A． B．4 C． D．8
【分析】由已知利用余弦定理可求A，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：∵b2+c2=a2+bc，可得：b2+c2﹣a2=bc，
∴cosA===，
∵A∈（0，π），
∴A=，
∴S△ABC=bcsinA==2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
6．（5分）在等比数列{an}中，已知a1=3，an=48，Sn=93，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】由及通项公式，列出方程组能求出n的值．
【解答】解：∵在等比数列{an}中，a1=3，an=48，Sn=93，
∴由及通项公式，
得，解得q=2，n=5．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列中项数n的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
7．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a＞b，则正确的是（ ）
A．sinA＞sinB且cosA＞cosB B．sinA＜sinB且cosA＜cosB
C．sinA＞sinB且cosA＜cosB D．sinA＜sinB且cosA＞cosB
【分析】利用三角形内角的边角关系，以及余弦函数的单调性，正弦函数的单调性推出结果即可．
【解答】解：在△ABC中，a＞b，∴A＞B，由余弦函数在（0，π）是减函数，∴“cosA＜cosB”，
若A不是钝角，显然有“sinA＞sinB”成立，
若A是钝角，因为A+B＜π，故有B＜π﹣A＜，故有sinB＜sin（π﹣A）=sinA，
∴sinA＞sinB且cosA＜cosB．
故选：C．
【点评】本题考查三角形中的边角关系，正弦函数以及余弦函数的单调性的应用，考查计算能力．
8．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A．24里 B．12里 C．6里 D．3里
【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．
【解答】解：记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比的等比数列，
由S6=378，得，解得：a1=192，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．
9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可
【解答】解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，
∴cosAsinC+sinAsinC=0，
∵sinC≠0，
∴cosA=﹣sinA，
∴tanA=﹣1，
∵0＜A＜π，
∴A=，
由正弦定理可得=，
∴sinC=，
∵a=2，c=，
∴sinC===，
∵a＞c，
∴C=，
故选：B．
【点评】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题
10．（5分）已知{an}为公比q＞1的等比数列，若a2005和a2006是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2007+a2008的值是（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【分析】先利用一元二次方程的根与系数的关系得到以a2005+a2006=﹣=2和a2005•a2006=；再把所得结论用a2005和q表示出来，求出q；最后把所求问题也用a2005和q表示出来即可的出结论．
【解答】解：设等比数列的公比为q．
因为a2005和a2006是方程4x2﹣8x+3=0的两个根
所以a2005+a2006=﹣=2，a2005•a2006=．
∴a2005（1+q）=2 ①
a2005•a2005•q=②
∴==，
又因为q＞1，所以解得q=3．
∴a2007+a2008=a2005•q2+a2005•q3
=a2005•（1+q）•q2=2×32=18．
故选A．
【点评】本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系以及等比数列的性质．在解决本题的过程中用到了整体代入的思想，当然本题也可以求出首项和公比再代入计算．
11．（5分）等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且，则=（ ）
A． B． C． D．
【分析】
根据等差数列的性质知，求两个数列的第五项之比，可以先写出两个数列的前9项之和之比，代入数据做出比值．
【解答】解：∵等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，
，
====
故选D．
【点评】本题考查等差数列的性质，是一个基础题，题目只要看出数列的基本量的运算，这种题目一般是一个送分题目．
12．（5分）已知数列{an}和{bn}满足：a1=1，a2=2，an＞0，bn=，且{bn}是以为公比的等比数列，若cn=a2n﹣1+2a2n，则数列{cn}的前n项和为（ ）
A．5×2n﹣5 B．3×2n﹣3 C．2n+1﹣2 D．2n﹣1
【分析】由已知条件推导出{cn}是等比数列，公比q=2，c1=a1+2a2=5，由此能求出数列{cn}的前n项和．
【解答】解：b1==，
b2=b1=，a3==2，
bn=b1（）n﹣1=，
bn+2=b1qn=，
anan+1=2（）n﹣1，
an+2an+1=2（）n+1，
=，
an+2=2an，
cn=a2n﹣1+2a2n，
a2n+2=2a2n，
a2n+1=a2n﹣1+2=2a2n﹣1，
=
==2，
∴{cn}是等比数列，公比q=2，
c1=a1+2a2=5，
∴数列{cn}的前n项和为：
Sn==5•2n﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°，则△ABC的面积等于 ．
【分析】通过余弦定理求出AB的长，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：设AB=c，在△ABC中，由余弦定理知AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，
即7=c2+4﹣2×2×c×cos60°，c2﹣2c﹣3=0，又c＞0，∴c=3．
S△ABC=AB•BCsinB=BC•h
可知S△ABC==．
故答案为：
【点评】本题考查三角形的面积求法，余弦定理的应用，考查计算能力．
14．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6= 63 ．
【分析】直接利用等比数列的性质，求解即可．
【解答】解：等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，
所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4，也是等比数列，（S4﹣S2）2=S2•（S6﹣S4），
即122=3•（S6﹣15），
解得S6=63
故答案为：63．
【点评】本题考查等比数列的基本性质的应用，考查计算能力．
15．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于 9 ．
【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．
【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，
∵p＞0，q＞0，
可得a＞0，b＞0，
又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，
可得①或②．
解①得：；解②得：．
∴p=a+b=5，q=1×4=4，
则p+q=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．
16．（5分）△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，D是BC的中点，若a=4，AD=c﹣b，则△ABC的面积的最大值为 ．
【分析】在△ABD和△ACD中分别使用余弦定理得出bc的关系，求出cosA，sinA，代入面积公式求出最大值．
【解答】解：在△ABC中，∵角A、B、C的对边长分别为a、b、c，D是BC的中点，
若a=4，AD=c﹣b，
则，
∵∠ADB=π﹣∠ADC，
∴b2+c2=8+2（c﹣b）2，即b2+c2﹣4bc+8=0，
故cosA==，
故sinA==，
∴△ABC的面积S=bcsinA=≤，
即△ABC的面积的最大值为，
故答案为：
【点评】本题考查了余弦定理得应用，根据余弦定理得出bc的关系是解题关键．
三．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若，求sinC的值．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简，即可求B；
（Ⅱ）利用三角形内角和定理以及和与差公式即可求出sinC的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵．
由正弦定理，可得sinAsin2B=sinBsinA
∵0＜A＜π，0＜B＜π，
∴sinB≠0，sinA≠0
∴2cosB=
即cosB=．
∴B=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）B=，，
∴sinB=，sinA=
那么：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+=．
【点评】本题考查了正弦定理化简能力和三角形内角和定理以及和与差公式计算．属于基础题．
18．（12分）设{an}是公比为正数的等比数列，a1=2，a3=a2+4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．
【分析】（1）设q为等比数列{an}的公比，由已知可得关于q的一元二次方程，求解可得q值，则数列{an}的通项可求；
（2）由已知可得bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1，然后分组，再由等差数列与等比数列的前n项和公式求解．
【解答】解：（1）设q为等比数列{an}的公比，
则由a1=2，a3=a2+4得2q2=2q+4，
即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），
因此q=2，
∴{an}的通项为；
（2）由已知可得bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
∴an+bn=2n+（2n﹣1），
∴Sn=+=2n+1+n2﹣2．
【点评】
本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列与等比数列前n项和的求法，是中档题．
19．（12分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
（1）求渔船甲的速度；
（2）求sinα的值．
【分析】（1）由题意推出∠BAC=120°，利用余弦定理求出BC=28，然后推出渔船甲的速度；
（2）方法一：在△ABC中，直接利用正弦定理求出sinα．
方法二：在△ABC中，利用余弦定理求出cosα，然后转化为sinα．
【解答】解：（1）依题意，∠BAC=120°，AB=12，AC=10×2=20，∠BCA=α．（2分）
在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠BAC（4分）
=122+202﹣2×12×20×cos120°=784．
解得BC=28．（6分）
所以渔船甲的速度为海里/小时．
答：渔船甲的速度为14海里/小时．（7分）
（2）方法1：在△ABC中，因为AB=12，∠BAC=120°，BC=28，∠BCA=α，
由正弦定理，得．（9分）
即．
答：sinα的值为．（12分）
方法2：在△ABC中，因为AB=12，AC=20，BC=28，∠BCA=α，
由余弦定理，得．（9分）
即．
因为α为锐角，所以=．
答：sinα的值为．（12分）
【点评】本题是中档题，考查三角函数在实际问题中的应用，正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力．
20．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，{bn}为等差数列，且a1=b1，a2（b2﹣b1）=a1．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{cn}的前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）由可求数列{an}的通项公式，进而可求数列{bn}通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，故可用错位相减法来求数列的前n项和．
【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（）﹣（ ）=，
经验证当n=1时，此式也成立，所以，从而b1=a1=1，，
又因为{bn}为等差数列，所以公差d=2，∴bn=1+（n﹣1）•2=2n﹣1，
故数列{an}和{bn}通项公式分别为：，bn=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
所以+（2n﹣1）•2n﹣1①
①×2得+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n②
①﹣②得：﹣（2n﹣1）•2n
==1+2n+1﹣4﹣（2n﹣1）•2n=﹣3﹣（2n﹣3）•2n．
∴数列{cn}的前n项和．
【点评】本题为数列的求通项和求和的综合应用，涉及等差等比数列以及错位相减法求和，属中档题．
21．（12分）在锐角△ABC中，A、B、C三内角所对的边分别为a、b、c．设，
（Ⅰ）若b=3，求△ABC的面积；
（Ⅱ）求b+c的最大值．
【分析】（Ⅰ）先利用二倍角公式求得结合余弦定理得出c=2即可求得△ABC的面积．
（II）利用余弦定理得出b2+c2﹣bc=7结合基本不等式即可求得b+c的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）
即，∵0＜2A＜π∴，
由a2=b2+c2﹣2bccosA
得c2﹣3c+2=0∴c=1或2∵c=1时，cosB＜0，∴c=1舍去，
∴c=2∴．
（Ⅱ）a2=b2+c2﹣2bccosA∴b2+c2﹣bc=7
当且仅当时b=c取等号∴．
【点评】本题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力，解答关键是在求最值的问题上，常用基本不等法来求．
22．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=，an+2SnSn﹣1=0（n≥2）．
（1）判断是否为等差数列？并证明你的结论；
（2）求Sn和an；
（3）求证：．
【分析】（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣2SnSn﹣1，两边同除以SnSn﹣1，可得，从而可得为等差数列；
（2）由（1）知是以首项为2，公差为2的等差数列，从而可得Sn，利用an+2SnSn﹣1=0（n≥2），可求an；
（3）利用，表示S12+S22+…+Sn2，利用放缩法变为，从而利用裂项法求和，即可证得．
【解答】解：（1）S1=a1=，∴
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣2SnSn﹣1，∴
∴为等差数列，首项为2，公差为2…（4分）
（2）由（1）知=2+（n﹣1）×2=2n，∴…（6分）
当n≥2时，
∴an=…（9分）
（3）==…（13分）
【点评】本题的考点是数列与不等式的综合，主要考查数列的通项的求解，关键是利用当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，巧妙构建新数列，同时考查放缩法，考查裂项法求和，有一定的综合性．