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- 2021-06-22 发布
1．已知圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线 x＋y＝0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：
(x－1)2＋(y－1)2＝1 的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
答案 B
解析 ∵圆 M：x2＋(y－a)2＝a2，
2．已知点 A(2，3)，B(－3，－2)，若直线 kx－y＋1－k＝0 与线段 AB 相交，则 k 的取值范
围是( )
A．3
4
，2] B．(－∞，3
4]∪2，＋∞)
C．(－∞，1]∪2，＋∞) D．1,2]
答案 B
解析 直线 kx－y＋1－k＝0 恒过点 P(1,1)，
kPA＝3－1
2－1
＝2，kPB＝－2－1
－3－1
＝3
4
；
若直线 kx－y＋1－k＝0 与线段 AB 相交，结合图象(图略)得 k≤3
4
或 k≥2，故选 B.
3．若方程(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝1(0≤θ<2π)的任意一组解(x，y)都满足不等式
y≥ 3
3 x，则θ的取值范围是( )
A．π
6
，7π
6
] B．5π
12
，13π
12
]
C．π
2
，π] D．π
3
，π]
答案 D
解析 根据题意可得，方程(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝1(0≤θ<2π)的任意一组解(x，y)
都满足不等式 y≥ 3
3 x，表示方程(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝1(0≤θ<2π)在 y＝ 3
3 x 的左
上方(包括相切)，
∴
|2sinθ－ 3
3
×2cosθ|
1＋1
3
≥1，
2sinθ> 3
3
×2cosθ，
∴sin
θ－π
6 ≥1
2
，∵0≤θ<2π，∴θ∈π
3
，π]，故选 D.
4．已知点 P(x，y)在直线 x＋2y＝3 上移动，当 2x＋4y 取得最小值时，过点 P 引圆(x－1
2)2＋
(y＋1
4)2＝1
2
的切线，则此切线段的长度为________．
答案 6
2
5 ． 已 知 a∈R ， 方 程 a2x2 ＋ (a ＋ 2)y2 ＋ 4x ＋ 8y ＋ 5a ＝ 0 表 示 圆 ， 则 圆 心 坐 标 是
______________．半径是________．
答案 (－2，－4) 5
解析 由已知方程表示圆，则 a2＝a＋2，
解得 a＝2 或 a＝－1.
当 a＝2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当 a＝－1 时，原方程为 x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，半径为 5 的圆．
6．设直线 y＝x＋2a 与圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 相交于 A，B 两点，若|AB|＝2 3，则圆 C
的面积为________．
答案 4π
解析 圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0，即 C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为 C(0，a)，C 到直线 y
＝x＋2a 的距离为 d＝|0－a＋2a|
2
＝|a|
2
.又由|AB|＝2 3，得
2 3
2 2＋
|a|
2 2＝a2＋2，解得 a2＝2，
所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π.
7．已知以点 C(t，2
t)为圆心的圆与 x 轴交于点 O，A，与 y 轴交于点 O，B，其中 O 为原点．
(1)求证：△OAB 的面积为定值；
(2)设直线 y＝－2x＋4 与圆 C 交于点 M，N，若|OM|＝|ON|，求圆 C 的方程．
(1)证明 由题意知圆 C 过原点 O，且|OC|2＝t2＋4
t2.
则圆 C 的方程为(x－t)2＋(y－2
t)2＝t2＋4
t2
，
令 x＝0，得 y1＝0，y2＝4
t
；
令 y＝0，得 x1＝0，x2＝2t.
故 S△OAB＝1
2|OA|×|OB|＝1
2
×|2t|×|4
t|＝4，
即△OAB 的面积为定值．
(2)解 ∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，
∴OC 垂直平分线段 MN.
线 y＝－2x＋4 不相交，∴t＝－2 不符合题意，应舍去．
综上，圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
易错起源 1、直线的方程及应用
例 1、(1)已知直线 l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0 与 l2：2(k－3)x－2y＋3＝0 平行，则 k 的值是
( )
A．1 或 3 B．1 或 5
C．3 或 5 D．1 或 2
(2)已知两点 A(3,2)和 B(－1,4)到直线 mx＋y＋3＝0 的距离相等，则 m 的值为( )
A．0 或－1
2 B.1
2
或－6
C．－1
2
或1
2 D．0 或1
2
答案 (1)C (2)B
【变式探究】已知直线 l1：ax＋2y＋1＝0 与直线 l2：(3－a)x－y＋a＝0，若 l1⊥l2，则 a 的
值为( )
A．1 B．2
C．6 D．1 或 2
答案 D
解析 由 l1⊥l2，则 a(3－a)－2＝0，
即 a＝1 或 a＝2，选 D.
【名师点睛】
(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；
(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．
【锦囊妙计，战胜自我】
1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 存在，则 l1∥l2
⇔
k1＝k2，l1⊥l2
⇔
k1k2＝－1.若给出
的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
2．求直线方程
要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x 轴垂直．而截
距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
3．两个距离公式
(1)两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，
l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d＝|C1－C2|
A2＋B2
.
(2)点(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离公式 d＝|Ax0＋By0＋C|
A2＋B2 .
易错起源 2、圆的方程及应用
例 2、(1)若圆 C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与 y 轴相切，则圆 C 的方程为( )
A．(x－2)2＋(y±2)2＝3 B．(x－2)2＋(y± 3)2＝3
C．(x－2)2＋(y±2)2＝4 D．(x－2)2＋(y± 3)2＝4
(2)已知圆 M 的圆心在 x 轴上，且圆心在直线 l1：x＝－2 的右侧，若圆 M 截直线 l1 所得的弦
长为 2 3，且与直线 l2：2x－ 5y－4＝0 相切，则圆 M 的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4
C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4
答案 (1)D (2)B
解得满足条件的一组解为 a＝－1，
r＝2，
所以圆 M 的方程为(x＋1)2＋y2＝4.故选 B.
【变式探究】(1)一个圆经过椭圆x2
16
＋y2
4
＝1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆
的标准方程为________________．
(2)两条互相垂直的直线 2x＋y＋2＝0 和 ax＋4y－2＝0 的交点为 P，若圆 C 过点 P 和点 M(－
3,2)，且圆心在直线 y＝1
2x 上，则圆 C 的标准方程为______________．
答案 (1) x－3
2 2＋y2＝25
4
(2)(x＋6)2＋(y＋3)2＝34
【名师点睛】
解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆
的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，
再由条件求得各系数．
【锦囊妙计，战胜自我】
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为 r 时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点
时，方程为 x2＋y2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中 D2＋E2－4F>0，表示以(－D
2
，－E
2)为圆心， D2＋E2－4F
2
为
半径的圆．
易错起源 3、直线与圆、圆与圆的位置关系
例 3、(1)已知直线 2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)恒过定点 P，若点 P 平分圆 x2＋y2－2x－4y－4
＝0 的弦 MN，则弦 MN 所在直线的方程是( )
A．x＋y－5＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0
(2)已知 P(x，y)是直线 kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB 是圆 C：x2＋y2－2y＝0 的两条
切线，A，B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为( )
A．3 B. 21
2
C．2 2 D．2
答案 (1)A (2)D
解析 (1)对于直线方程 2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)，取 y＝3，则必有 x＝2，所以该直线恒
过定点 P(2,3)．
设圆心是 C，则易知 C(1,2)，
所以 kCP＝3－2
2－1
＝1，
由垂径定理知 CP⊥MN，所以 kMN＝－1.
又弦 MN 过点 P(2,3)，
故弦 MN 所在直线的方程为 y－3＝－(x－2)，
【变式探究】(1)若直线 3x＋4y＝b 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相切，则 b 的值是( )
A．－2 或 12 B．2 或－12
C．－2 或－12 D．2 或 12
(2)已知在平面直角坐标系中，点 A(2 2，0)，B(0,1)到直线 l 的距离分别为 1,2，则这样的直
线 l 共有________条．
答案 (1)D (2)3
【名师点睛】
(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解
题途径，减少运算量．
(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直
线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的
距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．
【锦囊妙计，战胜自我】
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．
(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r，则 dr
⇔
直线与圆相离．
(2)判别式法：设圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线 l：Ax＋By＋C＝0，方程组
Ax＋By＋C＝0，
x－a 2＋ y－b 2＝r2
消去 y，得关于 x 的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离
⇔
Δ<0，直线与圆相切
⇔
Δ＝0，直线与圆相交
⇔
Δ>0.
2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．
设圆 C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21，圆 C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22，两圆心之间的距离为 d，
则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：
(1)d>r1＋r2
⇔
两圆外离；
(2)d＝r1＋r2
⇔
两圆外切；
(3)|r1－r2|