专题11-6 矩阵与变换（测）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版） 8页

‎ ‎ ‎1. 已知矩阵，求矩阵的特征值和特征向量．‎ ‎【答案】属于特征值的一个特征向量属于特征值的一个特征向量 ‎2.已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线，求矩阵.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设直线上任意一点在矩阵的变换作用下，变换为点 ．‎ 由,得 …………5分 又点在上,所以,即 ‎ 依题意,解得， …………10分 ‎3.选修4—2：矩阵与变换 求矩阵的特征值及对应的特征向量．‎ ‎【答案】属于λ1＝2的一个特征向量为，属于λ1＝4的一个特征向量为． ‎ ‎4.（选修4—2：矩阵与变换）‎ 设矩阵的一个特征值为，若曲线在矩阵变换下的方程为，求曲线的方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，矩阵的特征多项式，‎ 因矩阵有一个特征值为2，，所以. …………4分 所以，即，‎ 代入方程，得，即曲线的方程为.…10分 ‎5.选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）‎ 已知二阶矩阵M有特征值=3及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15) ，求矩阵M.‎ ‎【答案】‎ ‎ 6.已知矩阵A＝，其中a∈R，若点P(1,2)在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(6,7)．‎ ‎(1)求实数a的值与矩阵A；‎ ‎(2)求矩阵A的特征值及相应的特征向量．‎ ‎【答案】（1）a＝2，∴A＝.（2）属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值4的一个特征向量为.‎ ‎【解析】解：(1)由题意知，＝＝，‎ ‎∴2＋2a＝6，∴a＝2，∴A＝.‎ ‎(2)由(1)知，A＝，其特征多项式为 f(λ)＝＝(λ－2)(λ－3)－2，‎ 令f(λ)＝0，即λ2－5λ＋4＝0，解得λ1＝1，λ2＝4.‎ 当λ1＝1时，设对应的特征向量为α＝，‎ 则＝，即取n＝1，‎ 则m＝－2，故α＝；‎ 当λ2＝4时，设对应的特征向量为β＝，‎ 则＝4，即取x＝1，‎ 则y＝1，故β＝.‎ ‎∴矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值4的一个特征向量为.‎ ‎7. 设M是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y轴方向伸长为原来5倍的伸缩变换．‎ ‎(1)求直线4x－10y＝1在M作用下的方程；‎ ‎(2)求M的特征值与相应的特征向量．‎ ‎【答案】（1）4x－2y＝1.（2）当λ1＝1时，特征向量α1＝；当λ2＝5时，特征向量α2＝.‎ ‎8.已知矩阵A＝.‎ ‎(1)求矩阵A的特征值及对应的特征向量；‎ ‎(2)计算矩阵An.‎ ‎【答案】（1）当λ1＝8时，A属于λ1的特征向量为α1＝；当λ2＝2时，A属于λ2的特征向量为α2＝.‎ ‎（2） c＝，d＝.‎ 故An＝ ‎9.已知a，b，若=所对应的变换TM 把直线2x - y = 3变换成自身，试求实数a，b．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎10.已知曲线：，若矩阵对应的变换将曲线变为曲线，求曲线的方程.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题解析：设曲线一点对应于曲线上一点，‎ ‎，，，……5分 ‎，，，曲线的方程为. …10分 ‎11.变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是；变换对应用的变换矩阵是 ‎（Ⅰ）求点在作用下的点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求函数的图象依次在，变换的作用下所得曲线的方程。‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎12.已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点变换成, 求矩阵M．.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题解析：设M=，则=8=，故 ‎=，故 联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．………10′‎ ‎13.设矩阵（其中），若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线，求的值．‎ ‎【答案】3．‎ ‎【解析】‎