- 2.51 MB
- 2021-06-22 发布
泉港一中2016-2017学年下学期期中考
高二理科数学
一、选择题（每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在的展开式中，各项系数之和为,各项二项式系数之和为,且,则展开式中常数项的值为 （ ）
A、6 B、9 C、12 D、18
3．我们知道，“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在中选一个数，甲选的数记为，乙选的数记为，若，则称甲乙两人“心有灵犀”，由此可得甲乙两人“心有灵犀”的概率是（ ）
A. B. C. D.
4．收集一只棉铃虫的产卵数y与温度x的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合y与x之间的关系，算出了对应的相关指数R2的值如下表：
拟合曲线
直 线
指数曲线
抛物线
二次曲线
回归方程
相关指数R2
0.746
0.996
0.902
0.002
则这组数据的回归方程的最佳选择应是
A. B. C. D.
5．已知随机变量ξ服从正态分布．若，则（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
6．（其中n∈N且n≥6）的展开式中与的系数相等，则n=（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
X
1
2
3
4
P
m
7．设随机变量的概率分布列如右表，则（ ）
A. B. C. D.
8．考察正方体个面的中心，甲从这个点中任意选两个点连成直线，乙也从这个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）
A. B. C. D.
9．反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于60°，反设正确的是（ ）
A.假设三内角都不大于60° B.假设三内角都小于60°
C.假设三内角至多有一个大于60° D.假设三内角至多有两个小于60°
10．某单位拟安排6位员工在今年5月28日至30日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值28日，乙不值30日，则不同的安排方法共有( )
A.30种 B.36种 C.42种 D.48种
11．将数字“123367”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ）
A．72 B．120 C．192 D．240
12．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0．9，0．9，0．8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（ ）
A．0．998 B．0．046 C．0．002 D．0．954
二、填空题（每小题5分，共20分。答案请写在答题卡上）
13．复数（为虚数单位）为纯虚数,则复数的模为 .
14．在的展开式中含项的系数是______（用数字作答）．
15．如图所示，在边长为1的正方形内任取一点，用表示事件“点恰好取自由曲线与直线及
轴所围成的曲边梯形内”， 表示事件“点恰好取自阴影部分内”，则=_____
16．有6名选手参加学校唱歌比赛，学生甲猜测：4号或5号选手得第一名；学生乙猜测：3号选手不可能得第一名；学生丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；学生丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名。
比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，则获得第一名的选手号数是______．
三、解答题（6大题，共70分。解答时应按要求写出证明过程或演算步骤）
17．（本题10分）.已知盒子中有4个红球，2个白球，从中一次抓三个球，
（1）求没有抓到白球的概率；
（2）记抓到球中的红球数为，求的分布列和数学期望.
18．（本题12分）如图，四棱锥的底面是正方形，
侧棱⊥底面，，是的中点．
(1)证明：∥平面；
(2)求二面角的余弦值．
19．（本题12分）某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：
员工编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年薪（万元）
4
4.5
6
5
6.5
7.5
8
8.5
9
51
（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；
（2）从该单位中任取2人，其中年薪收入高于7万的人数记为，求的分布列和期望；
（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，5.5万元，6万元，8.5万元，预测该员工第五年的年薪为多少？
附：线性回归方程中系数计算公式分别为：
， ，其中为样本均值.
20．（本题12分）2016世界特色魅力城市强新鲜出炉，包括泉州市在内的个中国城市入选。美丽的泉州风景和人文景观迎来众多宾客。现在很多人喜欢自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在泉州旅游节期间，随机抽取了人，得如下所示的列联表：
赞成“自助游”
不赞成“自助游”
合计
男性
女性
合计
（1）若在这人中，按性别分层抽取一个容量为的样本，女性应抽人，请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料能否在犯错误的概率不超过前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？
（2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取人赠送精美纪念品，记这人中赞成“自助游”人数为，求的分布列和数学期望.
附:
21．（本题12分）已知函数
（Ⅰ）若求在处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间上的最小值；
（Ⅲ）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
22．（本题12分）巳知椭圆的长轴长为，且与椭圆有相同的离心率.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与有两个交点、，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.
2016-2017学年下学期期中考
高二理科数学 参考答案
一、选择题（共12题，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
B
D
A
B
D
B
C
B
D
二、填空题（共4题，共20分）
13． 14．-10 15． 16．3
三、解答题（共6题，共70分）
17．【解析】
（1）没有抓到白球，即取到的全是红球，∴没有抓到白球的概率是；…3分
（2）X的所有可能取值为1，2，3………………………………………………………4分
= ， ，………7分
∴X的分布列为………………………………………………………8分
X
1
2
3
P
。………………………………………………………10分
18．【解析】(1)连接AC交BD于点O，连接OE；
在△CPA中，E，O分别是边CP，CA的中点，∴OE∥PA，
而OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE. ……………………4分
(2)如图建立空间直角坐标系，设PD＝DC＝2.
则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0),
∴ ＝(0,1,1)，＝(2,2,0)，……………………5分
设n＝(x，y，z)是平面BDE的一个法向量，
则由 得取y＝－1，得n＝(1，－1,1)，
又＝(2,0,0)是平面DEC的一个法向量．……………………9分
∴cos〈n，〉＝＝.……………………11分
故结合图形知二面角B-DE-C的余弦值为……………………12分
19．【解析】（1）平均值为11万元，中位数为7万元. ……………………2分
（2）年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；取值为0，1，2.
， ， ，………6分
∴的分布列为
1
1
2
P
数学期望为.……………………8分
（3）设分别表示工作年限及相应年薪，则，
，
得线性回归方程： .………………………………11分
可预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元. …………………12分
20．【解析】 (1)
赞成“自助游”
不赞成“自助游”
合计
男性
女性
合计
将列联表中的数据代入计算，得的观测值：
，
在犯错误概率不超过前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系.………6分
(2) 的所有可能取值为0,1,2,3,
依题意，
∴的分布列为：
. ………………………………………………………………………12分
21．（Ⅰ）当
在处的切线方程为，即……………4分
（Ⅱ）由
由及定义域为，令
①若在上，，在上单调递增，
因此，在区间的最小值为．
②若在上，，单调递减;在上，，单调递增，因此在区间上的最小值为
③若在上，，在上单调递减，
因此，在区间上的最小值为．
综上， ………………………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当或时，在上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．
当时，要使在区间上恰有两个零点，则
∴ 即，此时，．所以，的取值范围为 …12分
22．【解析】
(I )椭圆的长轴长为，故，
又与椭圆有相同的离心率,故
所以椭圆M的方程为 ………………………………………………4分
(II)若的斜率存在，设因与C相切，
故， 即. ①……………………………………5分
又将直线方程代入椭圆M的方程得…………6分
设由韦达定理得+=，
由得到+++=0
化简得，② ……………………………………………………8分
联立①②得。 综上所述，存在圆.…………………9分
由得
=
当时，,；………………………………11分
又当k不存在时，,故为所求. …………………12分