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- 2021-06-22 发布
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.在复平面内，复数（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
3.甲、乙两棉农，统计连续五年的面积产量（千克/亩）如下表：
棉农甲
68
72
70
69
71
棉农乙
69
71
68
68
69
则平均产量较高与产量较稳定的分别是（ ）
A．棉农甲，棉农甲 B．棉农甲，棉农乙 C．棉农乙，棉农甲 D．棉农乙，棉农乙
4.已知等差数列满足，则有（ ）
A． B． C． D．
5.已知函数则（ ）
A．32 B．16 C． D．
6.有一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7.直线截圆：的弦长为4，则（ ）
A． B． C． D．
8.如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
9.下列四个命题正确的是（ ）
①设集合，，则“”是“”的充分不必要条件；
②命题“若，则”的逆否命题是“若，则”；
③若是假命题，则，都是假命题；
④命题：“，”的否定为：“，”．
A．①②③④ B．①③④ C．②④ D．②③④
10.已知在三棱锥中，，，，平面平面，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11.已知椭圆：，点，，分别为椭圆的左顶点、上顶点、左焦点，若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
12.设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C．D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，满足，，且（），则 ．
14.设，满足约束条件则的取值范围为 ．
15.已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是 ．
16.某中学为了解学生的数学学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图，根据频率分布直方图，推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
在中，角，，的对边分别为，，，已知，，且
．
（1）求角的大小；
（2）求的面积．
18. （本小题满分12分）
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明理由；
（2）从甲已抽取的8次预赛中随机抽取两次成绩，求这两次成绩中至少有一次高于90的概率．
19. （本小题满分12分）
已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点．
（1）证明：；
（2）若，求点到平面的距离．
20. （本小题满分12分）
如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点为，且离心率等于，过点的直线与椭圆相交于不同两点，，点在线段上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，若直线与轴不重合，试求的取值范围．
21. （本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）在区间内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的直角坐标方程；
（2）已知直线与轴的交点为，与曲线的交点为，，若的中点为，求的长．
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对恒成立，求的取值范围．
遵义市南白中学2016-2017高三第四次联考试卷文科数学答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13.2 14.3 15.2 16.600
三、解答题
17.解：（1）∵，由，得，
∴，
整理得，
解得，
∴．
18.解：（1）甲参加比较合适，理由如下：
，
，
，
，
∵，，
∴甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．
（2）抽取2次成绩可能结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
，，，，，，共有28种．
两次成绩中至少有一次高于90的有：，，，，，，，，，，，，共有13种．
则这两次成绩中至少有一次高于90的概率为．
19.（1）证明：连接，则，，
又，∴，∴，
又平面，∴，又，
∴平面，
又平面，
∴．
（2）解：，
∵，
∴，
解得，
即点到平面的距离为．
20.解：（1）设椭圆的标准方程是，
由于椭圆的一个顶点是，故，根据离心率是，得，解得，
所以椭圆的标准方程是．
（2）设，，，
设直线的方程为，与椭圆方程联立消去得，
根据韦达定理得，，
由，得，整理得，把上面的等式代入得，
又点在直线上，所以，于是有，
，由，得，所以．
综上所述，．
21.解：（1）当时，，
当，得或，
所以函数在与上为增函数．
（2）（），
当，即时，，在上为增函数，
故，所以，，这与矛盾；
当，即时，
若，；若，，
所以时，取最小值，
因此有，即，
解得，这与矛盾；
当，即时，，在上为减函数，所以，
所以，解得，这符合．
综上所述，的取值范围为．
22.解：（1）曲线的直角坐标方程为．
（2）的坐标为，将的参数方程代入曲线的直角坐标方程得：，
设点，，对应的参数分别为，，，则，，
，
∴的长为．
23.解：（1）等价于或或
解得或．
故不等式的解集为或．
（2）因为（当时等号成立），
所以，
由题意得，解得或．