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- 2021-06-21 发布
数学（文）试题（12.9）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2.设复数，则复数的共轭复数的模为（ ）
A． B．1 C．2 D．
3.“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4.若点在直线上，则（ ）
A． B． C.-2 D．
5.已知平面向量，，且，则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C.4 D．-4
6.已知正数组成的等比数列，若，那么的最小值为（ ）
A．20 B．25 C. 50 D．不存在
7.定义在上的函数，则（ ）
A．1 B．2 C.-2 D．-3
8.若正数满足，则的最小值为（ ）
A．16 B．25 C. 36 D．49
9.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的最大值为（ ）
A．0 B． C. D．3
10.在矩形中，，，沿将矩形折叠，其正视图和俯视图如图所示，此时连结顶点形成三棱锥，则其侧视图的面积为（ ）
A． B． C. D．
11.设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
12.设的定义域为，若满足下面两个条件，则称为闭函数.①在内是单调函数；②存在，使在上的值域为.如果为闭函数，那么的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若曲线与直线有两个交点时，则实数的取值范围是 ．
14.在如图所示的程序框图中，若，则输出的是 ．
15.如图，半径为2的半球内有一内接正三棱锥，则此正三棱锥的侧面积是 ．
16.已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
如图，梯形中，，，.
（Ⅰ）若，求的长；
（Ⅱ）若，求的面积.
18.（本小题满分12分）
某风景区为了做好宣传工作，准备在和两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如图茎叶图（单位：），若身高在以上（包括）定义为“高精灵”，身高在以下（不包括）定义为“帅精灵”
.已知大学志愿者的身高的平均数为，大学志愿者的身高的中位数为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人.求至少有一人为“高精灵”的概率.
19.（本小题满分12分）
如图，四边形是边长为1的正方形，，，且.
（1）以向量方向为俯视方向，俯视图是什么形状？说明理由并画出俯视图；
（2）求证：；
（3）求该几何体的体积.
20. （本小题满分12分）
如图，已知定圆，定直线，过的一条直线与直线相交于，与圆相交于两点，是中点.
（1）当与垂直时，求证：过圆心；
（2）当时，求直线的方程；
（3）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由.
21. （本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，求函数的最值；
（2）求函数的单调区间；
（3）试说明是否存在实数使的图象与无公共点.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线的方程为，点，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.
（1）求曲线的直角坐标方程及点的直角坐标；
（2）设为曲线上一动点，以为对角线的矩形的一边垂直于极轴，求矩形周长的最小值及此时点的直角坐标.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设不等式的解集为.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）比较与的大小.
试卷答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13．( 14． 15.3 16.7
三、解答题
17.【解析】（Ⅰ）因为，所以为钝角，且，，因为，所以.在中，由，解得.
（Ⅱ）因为，所以，故，
.在中，，整理得，解得，所以.
18.【解析】（Ⅰ）由茎叶图得：，，解得，，.
共10种结果.
记从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”为事件，则包括，，
共7种.
因此，如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人，至少有一人为“高精灵的概率为.
19.【解析】（1）因为，，，所以侧视图是正方形及其两条对角线；作图（略）.
（2）是正方形，，；
又，，，，
所以，；
（3）连接，交于点，是正方形，，
又，，，因为矩形的面积，所以四棱锥的体积.
同理四棱锥的体积为，故该几何体的体积为.
20.解：（1）由已知得直线的斜率，，故的斜率，所以直线方程为，将圆心代入方程得，所以过圆心.
（2）当直线与轴垂直时，易知符合题意.当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由于，所以，由，解得，故直线的方程为或.
（3）解法一：当与轴垂直时，易得，，又，则，，故，即.当的斜率存在时，设直线的方程为代入圆的方程得.则，，即，.又由得.则，故，综上的值为定值，且.
解法二：连结，延长交于点，由（1）知，又于，故，于是有，由，，得.故
.
21.【解析】（1）函数的定义域是
当时，，所以在为减函数
在为增函数，所以函数的最小值为.
（2），若时，则，在恒成立，所以的增区间为.
若，则，故当，.
当时，，所以时，的减区间为，的增区间为.
（3）时，由（1）知在的最小值为，令
在上单调递减，所以，则.因此存在实数使的最小值大于，故存在实数使的图象与无公共点.
22.【解析】（1）由，，∴曲线的直角坐标方程为，点的直角坐标为.
（2）曲线的参数方程为（为参数，）∴设，如图，依题意可得：
，，
∴矩形周长，
∴当时，周长的最小值为4，点的坐标为.
23.【解析】（Ⅰ）记，由解得：.即，所以，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，
因为
故，即