高考数学模拟试题(文史类) 10页

高考数学模拟试题(文史类) 一、选择题 1、已知圆 与抛物线 y2=40x 的准线相切,若直线 与圆 C 有公共点,且 公共点都为整点(整点是指横坐标、纵坐标都是整数的点),那么直线 l 共有( ) A.60 条 B.66 条 C.72 条 D.78 条 2、 某校高三 680 名学生(其中男生 360 名、女生 320 名)在学术报告厅听了应考心理讲座,为了解有关 情况,学校用分层抽样的方法抽取了一个样本,已知该样本中的女生人数为 16 名,那么该样本中的男生人数 为( ) A.18 B.17 C.16 D.15 3、 函数 的反函数是( ) A. B. C. D. 4、 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2,a4 是方程 x2-x-2=0 的两个实数根,则 S5 的值为 ( ) A.5 B. C.-5 D. 5、 如图,在正方形 ABCD 中,点 E 是 CD 的中点,点 F 满足 BC=3BF,那么 ( ) A. B. C. D. 6、 下列命题正确的是( ) 2 2 2: ( 0)C x y r r+ = > : 1x yl a b + = 2 1log ( 0)y xx = > 1( ) ( )2 xy x= ∈ R 1( ) ( 0)2 xy x= > 1( ) ( )4 xy x= ∈ R 1( ) ( 0)4 xy x= > 2 5 2 5− EF = 1 1 2 3AB AD−  1 1 4 2AB AD+  1 2 2 3AB AD−  1 1 3 2AB DA+  F E CD A B A.函数 在区间 内单调递增 B.函数 的最小正周期为 C.函数 的图像关于直线 成轴对称 D.函数 的图像关于点 成中心对称 7、设 F1 和 F2 为双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a＞0,b＞0)的两个焦点,若 F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则 双曲线的离心率为( ) A.3 2 B.2 C.5 2 D.3 8、下列命题正确的是( ) A.“直线 a∥直线 b”的充分条件是“直线 a 平行于直线 b 所在的平面” B.“直线 l 平面 ”的充要条件是“直线 l 垂直于平面 内的无数条直线” C.“直线 a、b 不相交”的必要不充分条件是“直线 a、b 为异面直线” D.“平面 ∥平面 ”的必要不充分条件是“平面 内存在不共线三点到平面 的距离相等” 9、一化工厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐 4 吨,硝酸盐 18 吨; 生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1 吨,硝酸盐 15 吨.现库存磷酸盐 10 吨,硝酸盐 66 吨.已知生 产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 1 万元,生产 1 车皮乙种肥料,产生的利润为 0.5 万元.若产生最大利润,则 需生产甲、乙两种肥料的车皮数分别是( ) A.生产甲种肥料 3 车皮、乙种肥料 1 车皮 B.生产甲种肥料 1 车皮、乙种肥料 3 车皮 C.生产甲种肥料 2 车皮、乙种肥料 2 车皮 D.生产甲种肥料 2 车皮、乙种肥料 1 车皮 10、已知全集 , , ,则集合 ( ) A. B. C. D. 11、用一个边长为 的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢.现将半径为 1 的 球体放置于蛋巢上,则球体球心与蛋巢底面的距离为( ) )32sin( π+= xy )6,3( ππ− xxy 44 sincos −= π2 )3cos( π+= xy 6 π=x tan( )3y x π= + )0,6( π ⊥ α α α β α β {1,2,3,4,5,6}U = {2,3,5}M = {4,5}N = {1,6} = M N M N ( )U M N ( )U M N 2 1B 1C A B C 1A A. B. C. D. 12、设 是奇函数,则使不等式 成立的 x 的取值范围是( ) A. B. C. D. . 二、填空题 13、二项式 展开式中的常数项是 . 14、若函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x-2)=f(x),且 时,f(x)=1-|x|,函数 ,则方 程 f(x)-g(x)=0 在区间[-5,6]内的解的个数为_______. 15、 已知圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形,点 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点,点 C1 是圆柱上底面弧 A1B1 的中点,如图所示,则异面直线 AC1 与 BC 所成的角的正切值= . 2 1 2 + 3 1 2 + 5 1 2 + 5 1 2 − 2( ) lg( )1f x ax = +− ( ) 0f x < ( 0)−∞， ( 1 0)− ， (01)， ( 0) (1 )−∞ + ∞， ， 10 2 2( )x x − [ 1,1]x ∈ − lg( 1) 1 1( ) 0 0 0 1 x x g x xx x − > = − <  ≤ ≤ 16、已知函数 f(x)的定义域为 D,[a,b]为包含于 D 的任意一个区间,若对任意的 x 0∈(a,b), , ,都有 ,则称 f(x)为 函数. 那么下列函数中, 函数有 .(请填上你认为正确命题的所有序号) ① ; ② ; ③ ; ④ , 三、解答题 17、 数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且对任意正整数 n,点(an+1,Sn)在直线 2x+y-2=0 上. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)当 ( ∈R)恒成立时,求 的最小值; (Ⅲ)当 时,求证: . 18、 袋中装着标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个,从袋中任取 3 个小球,每个小球被取出的可能性都相 等.求: (Ⅰ)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率; (Ⅱ)求取出的 3 个小球上的最大数字比最小数字多 3 的概率. 19、(本小题满分 12 分) 已知向量 , ,设函数 . (Ⅰ)当 时,用五点作图法作出函数 f(x)的图象; (Ⅱ)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f(A)=1, ,求△ABC 的面积的最大值. 2 0xam += 2 0 bxn += | ( ) ( ) | | ( ) ( ) |f m f n f a f b− < − δ δ ( ) 2 sin( )4f x x π= + ( ) 2 1xf x = + 3 21( ) 3 23f x x x x= + − + ( ) ln( 1)f x x= + 1 2 32 3 na a a na λ+ + + + < λ λ 1 2 ( 1)( 1) n n n n b a a − + = + + 1 1 1 6 2 n i i b = ≤ <∑ ( 3sin2 2,cos )m x x= + (1,2cos )n x= ( ) 3f x m n= ⋅ −  11 12 12x π π− ≤ ≤ 3a = 20、如图,四棱锥 C-ABDE 中,△ABC 为等腰直角三角形 AC=AB,AE⊥平面 ABC,BD⊥平面 ABC,M 为 DC 上一点,BD=BC=2AE=2. (Ⅰ)求证: ; (Ⅱ)当 时,求二面角 的余弦值. 21、设函数 的导数为 ,若函数 的图象关于直线 对称,且 函数 有最小值 ; (Ⅰ)求函数 y=f(x)在 A(-1,f(-1)),B(2,f(2))两点处的切线的夹角的正切值; (Ⅱ)已知函数 ,若方程 只有一个实数根,求实数 m 的取值范围. 22、 已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1、F2,长轴的一个端点与短轴两个端点组成等 边三角形的三个顶点,直线 l 经过点 F2,倾斜角为 ,与椭圆交于 A、B 两点. (Ⅰ)若 ,求椭圆方程; //AE BCD平面 EM BD⊥ M AB C− − 3 2( ) 2f x x ax bx a= + + + ( )f x′ ( )y f x′= 4 3x = ( )y f x′= 1 3 − 2( ) 14g x x x m= − + ( ) ( ) 0f x g x+ = )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x °45 22|21 =FF｜ 6 π− O 6 π 3 π 2 π 2 3 π 5 6 π π 1 2 y x -1 -2 A M E D BC (Ⅱ)对(Ⅰ)中椭圆,求 的面积; (Ⅲ)M 是椭圆上任意一点,若存在实数 ,使得 ,试确定 的关系式. 以下是答案 一、选择题 1、A 2、A 3、A 4、B 5、C 6、D 7、B 8、D 9、C 10、D 11、B 12、B 二、填空题 13、180 14、 9 15、 1ABF∆ µλ , OBOAOM µλ += µλ , 2 16、②④ 三、解答题 17、(Ⅰ)由题意可得: …… ① 时, ……② ①─②得 , , 是首项为 ,公比为 的等比数列, (Ⅱ) , (Ⅲ) , . 又函数 在 上为增函数, , , .022 1 =−++ nn Sa 2≥n .022 1 =−+ −nn Sa ( )22 1022 1 1 ≥=⇒=+− + + na aaaa n n nnn 2 122,1 2121 =⇒=+= aaaa ∴ { }na 1 2 1 11( )2 n na −= 11( )2 n nna n −= 0 1 2 11 1 1 11 ( ) 2( ) 3( ) ( )2 2 2 2 n nB n −∴ = ⋅ + + + ⋅⋅⋅+ 1 2 31 1 1 1 11 ( ) 2( ) 3( ) ( )2 2 2 2 2 n nB n∴ = ⋅ + + + ⋅⋅⋅+ 0 1 2 1 11 ( )1 1 1 1 1 1 22( ) 2( ) 3( ) ( ) ( ) 212 2 2 2 2 2 2 2 21 2 n n n n n n n n nB n− − ∴ = + + + ⋅⋅⋅+ − = − = − − − 1 24 42n n nB − +∴ = − < 4, 4nin λ λ∴ ≥ ∴ = =++ + )1)(1( 1 1kk aa (2 1 )12 1)(12 1( 1 1 k kk = ++− − +12 1 1 k ) 12 1 1 1 +−k 1 11 1 2 1 1( )1 1( 1)( 1) 1 12 2 kn n k kk k k k a a − = =+ − ∴ = −+ + + + ∑ ∑ 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2n n− = − + − + − + + −++ + + + + + + 1 1 1 212n = − + =+= 12 2 x x y 12 1 1 + x ),1[ ∞+∈x 112 2 12 2 1 1 <+≤+∴ k k 2 112 1 12 2 2 1 3 2 −<−+≤−∴ k k 2 1 )1)(1( 2 6 1 1 1 <++≤ ∑ = + −n k kk k aa 18、 (Ⅰ) “一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A, 则 . (Ⅱ)记 3 个小球上的最大数字是 4,最小数字是 1 事件记为 B,记 3 个小球上的最大数字是 5,最小数字是 2 事件记为 C.记 3 个小球上的最大数字比最小数字多 3 的事件记为 D, 19、 (Ⅰ) , 图略 (Ⅱ)由 得　 , , 当△ABC 是等边三角形时, 20、依题意建立如图所示空间直角坐标系, 则 , , , (Ⅰ)∵ . ,∴ ,∴ // . 而 平面 , 平面 ,∴ ∥平面 3 1 1 1 5 2 2 2 3 10 2( ) 3 C C C CP A C = = ( ) ( ) 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 4 3 10 1 6 C C C C C C CP B P C C + +∴ = = = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 6 6 3P D P B P C= + = + = )cos2,1(),cos,22sin3( xnxxm =+= 2( ) 3sin2 2cos 1f x m n x∴ = ⋅ = + −  2sin(2 )6x π= + ( ) 1f A = 2sin(2 ) 16A π+ = 0 , .3A A ππ< < ∴ = 2 2 2 2 cos ,a b c bc A= + − 2 23 2 , 3b c bc bc bc bc bc∴ = + − ≥ − = ∴ ≤ 1 3 3 3sin2 4 4ABCs bc A bc∆∴ = = ≤ ∴ max 3 3( ) 4ABCS∆ = (0,0,0)A (0, 2,0)B ( 2,0,0)C (0, 2,2)D (0,0,1)E (0,0,1)AE = (0,0,2)BD = 2BD AE=  AE BD AE ⊄ BCD BD ⊂ BCD AE BCD 6 π− O 6 π 3 π 2 π 2 3 π 5 6 π π 1 2 y x -1 -2 12 π− 11 12 π (Ⅱ)∵ 在 上,∴ . 设 ,则有 , , ,∴ . ∵ ,∴ , 解得: ,∴ 依题意 为平面 的一个法向量,设 为平面 的一个法向量,则有 ,即 , 令 解得 , ,∴ . 显然,二面角 为锐二面角,∴ , 所以,二面角 的余弦值为 21、. (Ⅰ)∵ , ∴ , ,解得 , ………3 分 ∴ , . . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ,∴ . 令 ,则 , ∴函数 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增. ∴ , ………9 分 ∵方程 只有一个实根,∴ 或 . 解得 或 ,∴ 的取值范围是 ………12 分 M DC CM CDλ=  ( , , )M x y z 2 2x λ= − 2y λ= 2z λ= ( 2 2 , 2 ,2 1)EM λ λ λ= − − EM BD⊥ (2 1) 2 0EM BD λ⋅ = − × =  1 2 λ = 2 2( , ,1)2 2M (0,0,1)AE = ABC ( , , )n x y z′ ′ ′= MAB 0 0 n AB n AM  ⋅ = ⋅ =   0 2 2 02 2 y x y z ′ = ′ ′ ′+ + = 2x′ = 0y′ = 1z′ = − ( 2,0, 1)n = − M AB C− − | | 1 3cos , 3| | | | 3 n AEn AE n AE ⋅< >= = = ⋅   M AB C− − 3 3 2 2 22 4( ) 3 4 3( )3 3 a af x x ax b x b′ = + + = + − + 2 4 3 3 a− = 24 1 3 3 a b− + = − 2a = − 5b = 3 2( ) 4 5 2f x x x x= − + − 2( ) 3 8 5 (3 5)( 1)f x x x x x′ = − + = − − ( ) ( )1 16, 2 1f f′ ′∴ − = = 1 2 1 2 16 1 15tan 1 1 16 1 17 k k k k α − −∴ = = =+ + × 3 2( ) 4 5 2f x x x x= − + − 3 2( ) ( ) 3 9 2f x g x x x x m+ = − − + − ( ) ( ) ( )h x f x g x= + 2( ) 3 6 9 3( 1)( 3)h x x x x x′ = − − = + − ( )h x ( , 1]−∞ − [ 1,3]− [3, )+∞ ( ) ( 1) 3h x h m= − = +极大值 ( ) (3) -29h x h m= =极小值 ( ) ( ) 0f x g x+ = 3 0 29 0 m m + >  − > 3 0 29 0 m m + <  − < 3m < − 29m > m ( , 3) (29, )−∞ − ∪ +∞ z yx A M E D BC 22、(Ⅰ)由已知,可得 , , ∵ ,∴ , , ∴ (Ⅱ)设 , ,直线 , 代入椭圆方程得 , , , , ,∴ (Ⅲ)由已知椭圆方程为 ………① 右焦点 的坐标为 ,直线 所在直线方程为 …………② 由①②得: . 设 , ,则 , , 设 ,由 得, , ,∵点 在椭圆上, ∴ ,整理得: , ……③ 又点 在椭圆上,故 ……④ ……⑤ 由③④⑤式得 2=c ba 3= 222 cba += 3=a 1=b 13 2 2 =+ yx ),( 11 yxA ),( 22 yxB : 2l y x= − 24 6 2 3 0x x− + = 1 2 3 2 2x x+ = 1 2 3 4x x = 1 2 6| | 2x x− = 1 2 1 2 6| | | | 2y y x x− = − = 1 62 2 32 2S∆ = × × = 2 2 23 3x y b+ = F ( 2 , 0)b AB 2y x b= − 2 24 6 2 3 0x bx b− + = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 3 2 2x x b+ = 2 1 2 3 4 bx x = ( , )M x y OM OA OBλ µ= +   1 2x x xλ µ= + 1 2y y yλ µ= + M 2 2 2 1 2 1 2( ) 3( ) 3x x y y bλ µ λ µ+ + + = 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2( 3 ) ( 3 ) 2 ( 3 ) 3x y x y x x y y bλ µ λµ+ + + + + = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 23 3( 2 )( 2 ) 4 3 2 ( ) 6 0x x y y x x x b x b x x b x x b+ = + − − = − + + = ,A B 2 2 2 1 13 3x y b+ = 2 2 2 2 23 3x y b+ = 2 2 1λ µ+ =