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- 2021-06-21 发布
河南省郑州市七校联考 2016-2017 学年高二上学期期中考试
理数试题
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.）
1.已知 ， ，且 ， 不为 0，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
考点：不等式的性质.
2.不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，不等式可化为 ，解得 ，所以不等式的解集为
，故选 A.
考点：解一元二次不等式.
3.在数列 中，若 ，且对任意的 有 ，则数列 前 10 项的
和为
（ ）
A．2 B．10 C．
D．
a b> c d> c d
ad bc> ac bd>
a c b d− > − a c b d+ > +
( 1)(2 ) 0x x− − ≥
{ }|1 2x x≤ ≤ { }| 1 2x x x≤ ≥或
{ }|1 2x x< < { }| 1 2x x x< >或
( 1)( 2) 0x x− − ≤ 1 2x≤ ≤
{ }|1 2x x≤ ≤
{ }na 1 2a = − *n N∈ 12 1 2n na a+ = + { }na
5
2
5
4
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，对任意的 有 ，即 ，所以数列
表 示 首 项 为 ， 公 差 的 等 差 数 列 ， 所 以
，故选 C.
考点：等差数列的定义及其求和.
4.已知等比数列 满足 ， ，则 等于（ ）
A．21 B．42 C.63
D．84
【答案】B
考点：等比数列的通项公式.
5.已知△ 中， ， ， ，若三角形有两解，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C. D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得， ，要使得三角形有两解，则满足 ，
解得 ，故选 C.
考点：三角形解的个数的判定.
6.在△ 中， , ,且 的面积为 ，则 的长为（ ）
A． B． C.
*n N∈ 12 1 2n na a+ = + 1
1
2n na a+ − = { }na
1 2a = − 1
2d =
10 1
10 9 1 510 10 ( 2) 452 2 2S a d
×= + = × − + × =
{ }na 1 3a = 1 3 5 21a a a+ + = 3 5 7a a a+ +
ABC a x= 2b = 45B = ° x
2x > 2x <
2 2 2x< < 2 2 3x< <
0 2sin sin 45 2a B x x= = 2 22 x x< <
2 2 2x< <
ABC 60A = ° 2AB = ABC∆ 3
2 BC
3
2 3 2 3
D．
【答案】B
【解析】
考点：正弦定理；余弦定理.
【方法点晴】本题主要考查了解三角形的综合问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、
余弦定理的应用，以及三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和
解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据三角形的面积公式，求得 ，
再利用正、余弦定理是解得关键.
7.若关于 的不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C. D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，因为 ，则 ，当且仅当 ，即 时等
号成立，又关于 的不等式 对任意实数 恒成立，则 ，即
，解得 ，故选 A.
考点：基本不等式的应用；不等式的恒成立问题.
8. 若变量 ， 满足约束条件 且 的最大值和最小值分别为 和 ，则
等于（ ）
A．5 B．6 C.7
2
1b =
x 24 3x a ax
+ ≥ − 0x > a
[ 1,4]− ( , 2] [5, )−∞ − ∪ +∞
( , 1] [4, )−∞ − ∪ +∞ [ 2,5]−
0x > 4 42 4x xx x
+ ≥ ⋅ = 4x x
= 2x =
x 24 3x a ax
+ ≥ − 0x > 2 3 4a a− ≤
2 3 4 0a a− − ≤ 1 4a− ≤ ≤
x y
,
1,
1,
y x
x y
y
≤
+ ≤
≥ −
2z x y= + m n
m n−
D．8
【答案】B
【解析】
试题分析：作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由 ，得 ，平移
直线 ，由图象可知当直线 经过点 时，直线 的截距最大，
此时 有最大值，由 ，解得 ，所以 ，直线 经过点
时， 有最小值，由 ，解得 ，所以 ，所以 ，故选 B.
考点：简单的线性规划问题.
9.如图，从气球 上测得正前方的河流的两岸 , 的俯角分别为 75°，30°，此时气球的
高度
是 60 ，则河流的宽度 等于（ ）
A． B．
C. D．
【答案】C
2z x y= + 2y x z= − +
2y x z= − + 2y x z= − + C 2y x z= − +
z 1
1
x y
y
+ =
= − (2, 1)C − max 3z = 2y x z= − + B
z 1
y x
y
=
= − ( 1, 1)C − − min 3z = − 6m n− =
A B C
m BC
240( 3 1)m+ 180( 2 1)m−
120( 3 1)m− 30( 3 1)m+
考点：三角形的实际应用.
10.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， 成等差数列，2 ，
2 ，
2 成等比数列，则 （ ）
A． B． C.
D．
【答案】A
【解析】
试 题 分 析 ： 由 ， ， 成 等 差 数 列 ， 则 ， 又 因 为 ， 所 以
，又由 成等比数列，得 ，由余弦定理得 ，
代入可得 ，
即 ，所以 ，所以 ，故选 A.
考点：等差数列的性质及余弦定理.
11.已知数列 : , , ,…, ,…,若 ，那
么数
列 的前 项和 为（ ）
A． B． C.
D．
【答案】B
ABC A B C a b c A B C a
b
c cos cosA B =
1
4
1
6
1
2
2
3
A B C 2B A C= + A B C π+ + =
3B
π= 2 ,2 ,2a b c 2b ac= 2 2 2 2 cosb a c ac B= + −
2 2a c ac ac+ − =
2( ) 0a c a c− = ⇒ =
3A B C
π= = = cos cosA B = 1
4
{ }na 1
2
1 2
3 3
+ 1 2 3
4 4 4
+ + 1 2 3 9
10 10 10 10
+ + +
1
1
n
n n
b a a +
= ⋅
{ }nb n nS
1
n
n +
4
1
n
n +
3
1
n
n +
5
1
n
n +
考点：数列的求和.
【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到等差数列的前 项和公式、
数列的裂项求和的方法的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，
以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据等差数列的求和公式得到 ，
进而得到 的通项公式是解答的关键.
12.已知各项均为正数的等比数列 满足 ，若存在两项 ， 使得
，
则 的最小值为（ ）
A． B． C.
D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，设等比数列的公比为 ，由等比数列 满足 ，则
， 即 ， 解 得 ， 又 因 为 存 在 两 项 ， 使 得
， 即 ， 解 得 ， 所 以
，当且仅当 ，
即 时等号是成立的，所以 的最小值为 ，故选 A.
考点：数列与不等式的综合问题.
n
2
na n
=
nb
{ }na 7 6 52a a a= + ma na
14m na a a=
1 4
m n
+
3
2
5
3
9
4
25
6
q { }na 7 6 52a a a= +
2
5 5 52a q a q a= + 2 2 0q q− − = 2q = ma na
14m na a a= 2 2
1 12 4m n
m na a a a+ −= ⋅ = 6m n+ =
1 4 1 1 4 1 4 1 4 3( )( ) (5 ) (5 2 )6 6 6 2
n m n mm nm n m n m n m n
+ = + + = + + ≥ + ⋅ = 4n m
m n
+
2, 4m n= = 1 4
m n
+ 3
2
【方法点晴】本题主要考查了数列与不等式的综合问题，其中解答中涉及到等比数列的通项
公式、等比数列的性质以及基本不等式求最值，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，
以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中根据等比数列的通
项公式，得到 的值，进而使用基本不等式求解最值是解答的关键.
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分．）
13.已知数列 中， 且 ，则 ．
【答案】
考点：等差数列的通项公式.
14.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
，
则角 = ．
【答案】
考点：正弦定理.
m n+
{ }na 1 1a = *
1
1 1 1( )3n n
n Na a+
= + ∈ 10a =
1
4
ABC A B C a b c
cos 3 sin 0b C b C a c+ − − =
B
3
π
15.设实数 ， 满足约束条件 若目标函数 （ ， ）的
最大
值为 10，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由 ，得 ，作出约束条件表示的平面区域，如图所示，因
为 ，所以直线 的斜率为负，且截距最大时， 也最大，平移直线
，由图象可知当 经过 时，由 ，解得 ，此
时 ，即 ，又 的几何意义为直线上的点到圆的距离的平
方，则圆心到直线的距离 ，则 的最小值为 .
考点：简单的线性规划问题.
【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、
线性规划求最值等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结
合思想的应用，属于中档试题，本题的解答中画出约束条件所表示的平面区域，利用
的几何意义为直线上的点到圆的距离的平方是解答的关键.
16. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，
5，8,13，……，
x y
3 6 0,
2 0,
0,
0,
x y
x y
x
y
− − ≤
− + ≥ ≥
≥
z ax by= + 0a > 0b >
2 2a b+
25
13
z ax by= + a zy xb b
= − +
0, 0a b> > a zy xb b
= − + z
a zy xb b
= − + a zy xb b
= − + A 3 6 0
2 0
x y
x y
− − =
− + = (4,6)A
4 6 10z a b= + = 2 3 5 0a b+ − = 2 2a b+
2 2
5 5
132 3
d
−= =
+
2 2a b+ 2 25
13d =
2 2a b+
其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数
列 称为“斐
波那契数列”，该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着项数
的增加，前一
项与后一项的比值越逼近黄金分割.06180339887.若把该数列 的每一项除以 4 所得的
余数按相对应
的顺序组成新数列 ，在数列 中第 2016 项的值是 ．
【答案】
考点：数列的综合应用.
【方法点晴】本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的递推关系式的
应用、数列的周期性的应用等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，
试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中仔细审题，根据数列的递推关系，得到数
列为周期数列是解答的关键.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分 10 分）
已知关于 的不等式 .
（1）若不等式的解集为 ，求 的值；
（2）若不等式的解集为 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ．
{ }na
{ }na
{ }nb { }nb
0
x 2 2 3 0kx x k− + <
{ }| 3 1x x x< − > −或 k
φ k
1
2k = − 30, 3
试题解析：（1）由不等式的解集为 ，
可知 ，-3 和-1 是一元二次方程 的两根，（2 分）
所以 ，解得 . （4 分）
（2）因不等式 的解集为 ，
若 ，则不等式 ，此时 ，不合题意； （6 分）
若 ，则 ，解得 （9 分）
综上实数 的取值范围为 . （10 分）
考点：一元二次不等式的应用.
18.在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 .
（1）求 的值；
（2）若 ,△ 的周长为 5，求 的长.
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
试题分析：（1）由正弦定理和三角形的性质，得 ，即求解 的值；（2）
由（1）可知 ，∴ ，再由余弦定理和三角形周长，即可求解 的长.
试题解析：（1）由正弦定理 知，
， （2 分）
即 ，
{ }| 3 1x x x< − > −或
0k < 2 2 3 0kx x k− + =
( 3) ( 1 =3
2( 3) ( 1 = k
− × − − × −
）
）
1
2k = −
2 2 3 0kx x k− + < φ
0k = 2 0x− < 0x >
0k ≠ 0
4 4 3 0
k
k x
>
∆ = − × ≥
30 3k< ≤
k 30, 3
ABC A B C a b c cos 2cos 2
cos
A C c a
B b
− −=
sin
sin
C
A
1cos 4B = ABC b
2 2b =
sin 2sinC A= sin
sin
C
A
sin 2sin
C
A
= 2c a= ,a b
2sin sin sin
a b c RA B C
= = =
cos 2cos 2 2 sin 2 sin
cos 2 sin
A C R C R A
B R B
− ⋅ −=
cos sin 2cos sin 2cos sin cos sinA B C B B C B A− = −
即 ， （4 分）
又由 知， ，所以 . （6 分）
考点：正弦定理；余弦定理.
19.已知数列 的前 项和 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和.
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
试题分析：（1）当 时， ；当 时， ，即可求解数列
的通项公式；（2）由（1）知 ，故 ，即可利用裂项求解数列的和.
试题解析：（1）当 时， ； （2 分）
当 时，
. （4 分）
也满足 ，
故数列 的通项公式为 . （6 分）
sin( ) 2sin( )A B B C+ = +
A B C+ + =π sin 2sinC A= sin 2sin
C
A
=
{ }na n
2
2n
n nS
+= *n N∈
{ }na
2 ( 1)na n
n nb a= + − { }nb 2n
na n= 2 1
2 2 2n
nT n+= + −
1n = 1 1 1a S= = 2n ≥ 1n n na S S −= − { }na
na n= 2 ( 1)n n
nb n= + −
1n = 1 1 1a S= =
2n ≥
2 2
1
( 1) ( 1)
2 2n n n
n n n na S S n−
+ − + −= − = − =
1a na n=
{ }na na n=
考点：数列的求和及 与 的关系.
20.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求使△ 面积最大时， ， 的值.
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
试 题 分 析 ： （ 1 ） 由 题 意 及 正 弦 定 理 ， 得 ， 进 而 化 简 得 出
，即可求解角 的大小；（2）由余弦定理 ，得出
，利用基本不等式，得到 ，进而利用三角形的面积公式，求 ， 的
值.
试题解析：（1）因为 ，
由题意及正弦定理，得 ， （2 分）
即 . （4 分）
因为 ，所以 .
na nS
ABC A B C a b c 2 cos( )
cos
a b A C
c C
+ +=
C
2c = ABC a b
2
3C = π 2 3
3a b= =
2sin sin cos
sin cos
A B B
C C
+ −=
1cos 2C = − C 2 2 2 2 cosc a b ab C= + −
2 24 a b ab= + + 4
3ab ≤ a b
cos( ) cos( cosA C B+ = − = −π B)
2sin sin cos
sin cos
A B B
C C
+ −=
2sin cos (sin cos cos sin ) sin( ) sinA C B C B C B C A= − + = − + = −
(0, )A∈ π sin 0A >
所以 ,又因为 ，所以 . （6 分）
考点：解三角形的综合应用.
21.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售 （万件）与广告费
（万
元）之间的函数关系为 .已知生产此产品的年固定投入为 3 万元，每生产
1 万元此产品
仍需再投入 32 万元，若每件销售价为“平均每件生产成本的 150%”与“年平均每件所占广
告费的 50%”
之和.
（1）试将年利润 （万元）表示为年广告费 （万元）的函数；
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1） ；（2）当年广告费为 万元时，企业利润最大，最
大值为 万元．
1cos 2C = − (0, )C ∈ π 2
3C = π
Q x
3 1( 0)1
xQ xx
+= ≥+
W x
2 98 35 ( 0)2( 1)
x xW xx
− + += ≥+ 7
42
【解析】
试题分析：（1）由题意可得，产品的生产成本为 万元，得到每万件销售价，进而
得到年销售输入，即求解年利润的表达式；（2）令 ，则 ，
利用基本不等式求解最值，即可得到结论.
试题解析：（1）由题意可得，产品的生产成本为 万元，每万件销售价为
， （2 分）
∴年销售收入为 ， （4 分）
∴年利润
. （6 分）
考点：实际应用问题.
【方法点晴】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中涉及到函数的解析式的求解、
基本不等式求最值的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，
以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确审题，根据题设条件列出函数的解
析式，构造基本不等式，利用基本不等式求解最值是解答的关键.
(32 3)Q +
1 ( 1)x t t+ = ≥ 3250 2
tW t
= − +
(32 3)Q +
32 3 150% 50%Q x
Q Q
+ × + ×
32 3 150% 50%Q x QQ Q
+ × + × ⋅
3 1(32 3)2 2Q x= + +
3 1(32 3) (32 3)2 2W Q x Q x= + + − + −
21 98 35(32 3 ) ( 0)2 2( 1)
x xQ x xx
− + += + − = ≥+
22.已知函数 满足 且 .
（1）当 时，求 的表达式；
（2）设 ， ，求证： … ；
（3）设 ， ， 为 的前 项和，当 最大时，求 的值.
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） 或 时 取得最大
值．
试题解析：（1）令 ，则 ，
∴ ，即 ，∴ （3 分）
（2）证明：
设 ，则
（5 分）
( )f x ( ) ( ) (f x y f x f y+ = ⋅ ） 1(1) 2f =
*n N∈ ( )f n
( )na n f n= ⋅ *n N∈ 1 2 3a a a+ + + 2na+ <
( 1)(9 ) ( )n
f nb n f n
+= − *n N∈ nS { }nb n nS n
*1( ) ( )2
n
f n n N = ∈ 8n = 9 nS
1y = ( 1) ( ) (1)f x f x f+ = ⋅
( 1) ( ) (1)f n f n f+ = ⋅ ( 1) 1
( ) 2
f n
f n
+ = *1( ) ( )2
n
f n n N = ∈
1
2
n
na n = ⋅
1 2 3 1+n n nT a a a a a−= + + + +
2 3 11 1 1 1 11 2 3 ( 1)2 2 2 2 2
n n
nT n n
− = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − + ⋅
2 3 1 11 1 1 1 1 11 2 ( 2) ( 1)2 2 2 2 2 2
n n n
nT n n n
− + = ⋅ + ⋅ + + − + − + ⋅
∴
∴
即 （8 分）
考点：数列的综合问题.
【方法点晴】本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到抽象函数的性质的应
用，等比数列的通项公式、数列的乘公比错位相减法求和和数列的性质等知识点的综合考查，
着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属
于难题，其中合理赋值、准确计算是解答本题的关键.
2 3 1 1
1 1(1 )1 1 1 1 1 1 1 12 2 112 2 2 2 2 2 2 21 2
n
n n n n
nT n
− +
− = + + + + + − ⋅ = = − −
112 22
n
nT
− = − <
1 2 3 1+ 2n na a a a a−+ + + + <