2020九年级数学上册 第1章利用二次函数解决距离、利润最值问题 7页

第2课时　利用二次函数解决距离、利润最值问题 知识点一　求含有根号的代数式的最值 ‎1．代数式的最小值是________．‎ 知识点二　利润问题的基本等量关系 利润问题的基本等量关系：总利润＝总售价－________；总利润＝__________×__________．‎ ‎2．某商品的进价为8元/件，若销售价格定为10元/件时，则每天可卖出20件．已知销售单价每提高1元，则每天少卖出3件．设销售单价提高x元，则每天卖出________件，此时每天的销售收入为______________元，每天的销售利润为______________元．‎ 类型一　用二次函数的最值解决有关“最近距 离”的问题 例1 [教材例2针对练] 如图1－4－4所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动；点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，设点P，Q同时出发，问：‎ 7‎ ‎(1)经过几秒钟，点P，Q的距离最短？‎ ‎(2)经过几秒钟，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？‎ 图1－4－4‎ ‎【归纳总结】求y＝(a≠0)型函数的最值的方法 ‎(1)利用勾股定理建立y＝型的函数表达式；‎ ‎(2)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值；‎ ‎(3)将(2)中求得的最值开根号，即得y＝型函数的最值．‎ 7‎ 类型二　用二次函数的最值解决有关“最大利 润”的问题 例2 [教材例3针对练] 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价多少元？‎ 7‎ ‎【归纳总结】利用二次函数求最大利润问题的步骤 ‎(1)利用利润问题的等量关系建立利润与价格之间的二次函数表达式；‎ ‎(2)利用配方法或公式法求出函数的最大值，即得最大利润．‎ 类型三　掌握自变量的取值范围对最值的影响 例3 [教材补充例题] 某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的价格售出，每天可售出6台．假设这种品牌的彩电每台降价100x(x为正整数)元，每天可多售出3x台．(注：利润＝销售价－进价)‎ ‎(1)设商场每天销售这种彩电获得的利润为y元，试写出y与x之间的函数表达式；‎ ‎(2)销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高？‎ ‎【归纳总结】解答此类题时要注意审题(比如题中会说明x为正整数)，不能放过每一个细节．‎ 7‎ 用二次函数解决实际问题时，若抛物线顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，应如何解决？‎ 7‎ 详解详析 ‎【学知识】‎ ‎1．[答案] ‎[解析] ＝＝.∵(x＋2)2≥0，‎ ‎∴(x＋2)2＋6≥6，‎ ‎∴当x＋2＝0，即x＝－2时，有最小值，为.‎ 知识点二　总成本　每件商品所获利润　销售数量 ‎2．[答案] (20－3x)　(10＋x)(20－3x)‎ ‎(2＋x)(20－3x)‎ ‎【筑方法】‎ 例1　[解析] 设经过t s，则AP＝t，BQ＝2t，0≤t≤6.‎ ‎(1)在Rt△PBQ中，利用勾股定理，得出PQ的长与t之间的函数表达式，求其最小值；‎ ‎(2)先求△PBQ的面积与t之间的函数表达式，再求其最大值．‎ 解：设运动时间为t s，则AP＝t cm，BQ＝2t cm，0≤t≤6.‎ ‎(1)在Rt△PBQ中，PQ2＝PB2＋BQ2，‎ ‎∴PQ＝＝ ‎　　 ＝＝.‎ ‎∵当t＝时，5(t－)2＋有最小值，‎ ‎∴当t＝时，PQ的最小值为 cm.‎ 答：经过 s，点P，Q的距离最短．‎ ‎(2)设△PBQ的面积为S，则 S＝BP·BQ＝(6－t)·2t＝6t－t2＝－(t－3)2＋9.‎ ‎∴当t＝3时，S有最大值，最大值为9.‎ 7‎ 答：经过3 s，△PBQ的面积最大，最大面积是9 cm2.‎ 例2　解：设降价x元后每天获利y元．‎ 由题意得y＝(135－100－x)(100＋4x)＝－4x2＋40x＋3500＝－4(x－5)2＋3600.‎ ‎∵a＝－4<0，‎ ‎∴当x＝5时，y有最大值，最大值为3600.‎ 答：每件降价5元，可使每天获得的利润最大．‎ 例3　解：(1)销售每台彩电获利3900－3000－100x＝(－100x＋900)元，每天的销售量为(6＋3x)台，所以y＝(－100x＋900)(6＋3x)＝－300x2＋2100x＋5400.‎ ‎(2)因为y＝－300x2＋2100x＋5400＝－300(x－)2＋9075，所以该函数图象的顶点坐标为(，9075)．又因为x为正整数，所以当x＝3或x＝4时，y取得最大值，为9000元．所以销售该品牌彩电每天获得的最大利润是9000元．‎ 当x＝3时，销售价为每台3600元，销售量为每天15台，营业额为3600×15＝54000(元)；当x＝4时，销售价为每台3500元，销售量为每天18台，营业额为3500×18＝63000(元)．通过对比发现，当每台彩电的销售价为3500元时，彩电的销售量和营业额均较高．‎ ‎【勤反思】‎ ‎[小结] 每件商品利润　销售量 ‎[反思] 利用二次函数解决实际问题时，若抛物线的顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，这时，要结合二次函数的图象与性质，考虑自变量有意义的区域内的最值情况．‎ 7‎