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- 2021-06-21 发布
江苏省南通市如东县2019-2020学年
高一下学期期中考试试卷
一、单选题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【解析】∵直线的斜率为，
∴直线的倾斜角满足，
∴
故选：B.
2.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则为（ ）
A.100 B.150 C.200 D.250
【解析】分层抽样的抽取比例为，
总体个数为，
∴样本容量.
故选：A.
3.在中，若，，，则（ ）
A. B. C. D.或
【解析】∵，∴，∴或，
∵，∴，∴.
故选：A.
4.对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的为一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为（ ）
A.30 B.40 C.50 D.60
【解析】样本为三等品的件数为；
故选：C.
5.已知直线与直线垂直，则实数的值是（ ）
A.0 B. C.0或 D.或
【解析】因为直线与直线垂直，
则，解得：或.
故选：C.
6.给出下列四个说法，其中正确的是（ ）
A.线段在平面内，则直线不在平面内
B.三条平行直线共面
C.两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点
D.空间三点确定一个平面
【解析】对于A，线段在平面内，则直线一定在平面内，故A错误；
对于B，三条平行直线不一定共面，
比如正方体中，三条平行线，，不共面，故B错误；
对于C，两平面有一个公共点，
则这两相平面相交于过这个公共点的一条直线，一定有无数个公共点，故C正确；
对于D，空间中不共面的三点确定一个平面，故D错误.
故选：C.
7.已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）
A.1 B. C.或1 D.2或1
【解析】，即时，直线化为，
它在两坐标轴上的截距为0，满足题意；
，即时，直线化为，
它在两坐标轴上的截距为，解得；
综上所述，实数或.
故选：D.
8.两圆：与：的公切线条数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】圆：的圆心为，半径为，
圆：的圆心为，半径为；
且，，所以，所以两圆外切，公切线有3条.
故选：C.
9.
数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，且，则的欧拉线方程为（ ）
A. B. C. D.
【解析】线段的中点为，，
∴线段的垂直平分线为：，即，
∵，∴三角形的外心、重心、垂心依次位于的垂直平分线上，
因此的欧拉线方程为，
故选：D.
10. 如图，直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【解析】如图所示建立空间直角坐标系，
不妨设.
则，，，，
∴，，
∴.
故选：D.
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
11.已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A.
B.
C.若，则
D.若，则是等腰三角形
【解析】因为三角形中，，
所以，所以A正确；
），所以B不正确；
在中，若，则，即有，故，所以C正确；
，可得或，
所以或，三角形为等腰三角形或直角三角形，所以D不正确；
故选：AC.
12.正方体中，，分别为棱和的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.平面
B.平面
C.异面直线与所成角为
D.平面截正方体所得截面为等腰梯形
【解析】在正方体中，，分别为棱和棱的中点，
如图所示：
①对于选项A：，分别为棱和棱的中点，
所以，由于平面，不在平面内，所以平面，故选项A正确.
②对于选项B：由于平面，平面和平面为相交平面，所以不可能垂直平面，故错误.
③对于选项C：，为等边三角形，所以，即异面直线与所成的角为.故错误.
④对于选项D：连接，，，由于，，所以：平面截正方体所得截面为等腰梯形，故正确.
故选：AD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13.一组数据：6，8，9，13的方差为.
【解析】一组数据：6，8，9，13的平均数为：
，
∴这组数据的方差为：
.
故答案为：.
14.已知两点，，以线段为直径的圆的方程为.
【解析】根据题意，设的中点为，
则以线段为直径的圆的圆心为，半径，
又由，，则，，
则，则要求圆的标准方程为：；
故答案为：.
15.如图，从高的电视塔塔顶测得地面上某两点，的俯角分别为和，，则，两点间的距离为.（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）
【解析】从高的电视塔顶测得地面上某两点，的俯角分别为和，
∴，，
中，，
∴由余弦定理得：
∴.
故答案为：.
16.平面四边形的对角线，的交点位于四边形的内部，已知，，，，当变化时，则的最大值为.
【解析】如图，设，在中，因为，，
∴，即.
∴，即，
∴，
∴.
所以在中，
.
易知，当时，最大值为，故的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.中，角，，所对的边分别为，，，若，，，且为锐角.求：
（1）的值；
（2）的面积.
【解】（1）在中，由正弦定理有：，解得；
（2）因为，且为锐角，所以，
在中，由余弦定理有：，解得；
所以的面积为.
18.如图在长方体中，，分别为，的中点，，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【解】（1）证明：连接，在中，
由，分别为，的中点，可得：，
在长方体中，，，
因此四边形为平行四边形，所以
所以，平面，平面，
所以平面.
（2）在长方体中，连平面，
所以在平面中的射影为，
所以为直线与平面所成角
由题意知：
在中，，
即直线与平面所成角的正弦值为.
19.已知直线l：，圆C：.
（1）求证：直线过定点，并求出点的坐标；
（2）若直线与圆交于，两点，当弦长最短时，求此时直线的方程.
【解】（1）证明：直线l：可化为：，
可得
所以直线过定点.
（2）由圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，
因为直线的斜率为，所以直线的斜率为1，
此时直线的方程为.
20.如图，四棱锥中，点，分别是侧棱，上的点，且底面.
（1）求证：；
（2）若底面，，，求证：.
【解】（1）因为平面，平面，平面平面，
所以由线面平行的性质定理，可得.
（2）在三角形中，因为，且，
由正弦定理可得，解得.
得，即；
又平面，平面，故可得，
又，平面，且，可得平面，
又因为平面，则；
又因为，得，即证.
21.根据国际海洋安全规定：两国军舰正常状况下（联合军演除外），在公海上的安全距离为（即距离不得小于），否则违反了国际海洋安全规定.如图，在某公海区域有两条相交成的直航线，，交点是，现有两国的军舰甲，乙分别在，上的，处，起初，，后来军舰甲沿的方向，乙军舰沿的方向，同时以的速度航行.
（1）起初两军舰的距离为多少？
（2）试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定？并说明理由.
【解】（1）连结，在中，
由余弦定理得
所以：起初两军舰的距离为.
（2）设小时后，甲、乙两军舰分别运动到，，连结
当时，
；
当时，同理可求得；
所以经过小时后，甲、乙两军舰距离
因为；
因为，所以当时，甲、乙两军舰距离最小为.
又，所以甲、乙这两艘军舰不会违法国际海洋安全规定.
22.已知圆O：和点.
（1）过点向圆引切线，求切线的方程；
（2）求以点为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆的方程；
（3）设为（2）中圆上任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.
【解】（1）若过点的直线斜率不存在，直线方程为，为圆的切线；
当切线的斜率存在时，设直线方程为，
即，
∴圆心到切线的距离为，解得，
∴直线方程为
综上切线的方程为或.
（2）点到直线的距离为，
∵圆被直线截得的弦长为8，
∴，
∴圆的方程为.
（3）假设存在定点，使得为定值，设，，，
∵点在圆上，
∴，则，
∵为圆的切线，∴，
∴，，
∴，
即，
整理得，
若使（*）对任意，恒成立，则，
∴，代入得，
化简整理得，
解得或，∴或，
∴存在定点，此时为定值或定点，此时为定值.