2018-2019学年江西省宜春九中（外国语学校）高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版) 16页

宜春九中2018-2019学年度高二下学期 期中考试数学卷（理）‎ 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。‎ 第I卷 ‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 在复平面内，复数是虚数单位的共轭复数对应的点位于(    )‎ A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 2. 设在x处可导，则等于　　‎ A. B. C. D. ‎ 3. 计算   ‎ A. B. C. D. ‎ 4. 函数的图象在点处的切线方程是，则(    )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ 5. 我校将对语、数、英、理、化、生六门学科进行期末考试，其中数学不能安排在第一场考，且语文不能安排在最后一场考，那么不同的考试安排方法有(    )种．‎ A. 600 B. 504 C. 480 D. 384‎ 6. 已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是   ‎ A. B. C. D. ‎ 7. 已知函数在处取得极小值，则的最小值为　　‎ A. 4 B. 5 C. 9 D. 10‎ 8. 已知函数有两个零点，则a的取值范围是   ‎ A. B. C. D. ‎ 1. 直线与曲线在第一象限围成的封闭图形面积为a，则展开式中，x的系数为　　‎ A. 20 B. C. 5 D. ‎ 2. 已知函数存在单调递减区间，则a的取值范围是   ‎ A.   B. C. D. ‎ 3. 已知函数及其导数，若存在使得，则称是 的一个“巧值点”给出下列四个函数：，，，，其中有“巧值点”的函数的个数是    ‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ 4. 定义域为R的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为(    )‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷 ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 5. 数列 猜想数列的通项公式 ______________．‎ 6. 设，那么的值为______．‎ 7. 小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加中国诗词大会的现场录制，5人坐成一排若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为 ________．‎ 8. 已知函数若函数有3个零点，则实数m的取值范围是____________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 9. ‎（10分）已知函数若函数在处有极值． 求的单调递减区间； 求函数在上的最大值和最小值． ‎ 10. ‎（12分）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？‎ 由0、1、2、3、4、5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？‎ 某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，其余2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？‎ ‎ ‎ 1. ‎（12分）已知展开式前三项的二项式系数和为22． 求n的值；   求展开式中的常数项； 求展开式中二项式系数最大的项． ‎ 2. ‎（12分）在数列中，，，‎ 求的值，由此猜想数列的通项公式；‎ 用数学归纳法证明你的猜想． ‎ 3. ‎（12分）已知函数． 若曲线在点处的切线与x轴平行，且，求a，b的值； 若，对恒成立，求b的取值范围． ‎ ‎（12分）已知函数．Ⅰ当时，求函数的极小值；Ⅱ当时，讨论的单调性；Ⅲ若函数在区间上有且只有一个零点，求m的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎2018-2019学年宜春九中外国语学校高二下学期数学期中考试试卷 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 在复平面内，复数是虚数单位的共轭复数对应的点位于(    )‎ A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 ‎【答案】D ‎【解析】【分析】 由已知利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数的共轭复数对应的点的坐标得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 【解答】解：由， 得， 在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标为，位于第一象限． 故选：D． ‎ 2. 设在x处可导，则等于　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】【分析】 本题考查了导数的定义，属于基础题． 利用导数的定义即可得出． 【解答】 解：在x处可导， ‎ ‎． 故选C． ‎ 1. 计算   ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】【分析】 本题考查定积分的概念与几何意义及微积分基本定理，属基础题，难度不大． 【解答】 解：由定积分的几何意义知： 表示的面积， 即半径为2的圆的， 故， ， 所以． 故选B． ‎ 2. 函数的图象在点处的切线方程是，则(    )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】【分析】‎ 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．‎ ‎【解答】‎ 解：根据图象知，函数的图象与在点P处的切线切于点P，， 又为函数的图象在点P处的切线的斜率，，则， 故选B． ‎ ‎ ‎ 1. 我校将对语、数、英、理、化、生六门学科进行期末考试，其中数学不能安排在第一场考，且语文不能安排在最后一场考，那么不同的考试安排方法有(    )种．‎ A. 600 B. 504 C. 480 D. 384‎ ‎【答案】B ‎【解析】【分析】‎ 本题用分类情况排列比较方便，先处理特殊问题，按照第一场和最后一场先选的方法，再全排列余下科目解答过程中注意考虑周全，不要少算了某种分类情况．‎ ‎【解答】‎ 解：分类一，语文在最后一场，，‎ 分类二，语文不在最后一场，数学不在最后一场，第四节从余下四个科目选一，有4种方法，‎ 第一场从英语，物理，化学，生物中剩下的三科和数学中任选一个有4种方法，‎ 最后剩余4科全排，‎ 则，‎ 故选B．‎ ‎ ‎ 2. 已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是   ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】【分析】 此题考查函数的图象，考查对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题． 【解答】 解：由于， 所以， ‎ ‎ 所以，  故为奇函数， 其图象关于原点对称， 排除B、D，  又当时， ， 排除C，只有A适合．  故选A． ‎ 1. 已知函数在处取得极小值，则的最小值为　　‎ A. 4 B. 5 C. 9 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：函数，， 在处取得极小值，可得， 则当且仅当时取等号． 则的最小值为：9． 故选：C． 据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值． 本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及基本不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答． ‎ 2. 已知函数有两个零点，则a的取值范围是   ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】【分析】 本题考查由导数求函数单调区间，最值，解决函数零点问题． 【解答】 解：当时，在R上单调递增，不符合题意， 当时，，令，得， 当时，，此时单调递减； 当时， 0'/>，此时单调递增； 有两个零点， ‎ ‎， 由，得． 故选B． ‎ 1. 直线与曲线在第一象限围成的封闭图形面积为a，则展开式中，x的系数为　　‎ A. 20 B. C. 5 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：两个图形在第一象限的交点为， 所以曲线与直线在第一象限所围成的图形的面积是， 而， 则展开式的通项公式为， 由，解得， 则展开式中的系数为， 故选：A． 定积分表示围成的图形的面积，然后计算求出a的值，根据二项式展开的公式将二项式展开，令x的幂级数为1，求出r，从而求解． 本题本题考查了定积分的计算以及求二项式展开式的指定项的基本方法． ‎ 2. 已知函数存在单调递减区间，则a的取值范围是   ‎ A.   B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】【分析】 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性解题关键是由函数存在单调递减区间，等价于当时有解等价于在上有解；然后求函数的最小值即可． 【解答】 解：函数存在单调递减区间， 当时有解， 即当时，有解，等价于在 上有解； 令，则 0right);'/> 当时， 0'/>，当时，，即； 故选B． ‎ 1. 已知函数及其导数，若存在使得，则称是 的一个“巧值点”给出下列四个函数：，，，，其中有“巧值点”的函数的个数是    ‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】【分析】 本题主要考查导数的应用，以及函数的方程的判断，考查学生的运算能力属于难题． 分别求函数的导数，根据条件，确实是否有解即可． 【解答】 解：中的函数，要使，则，解得或2，可见函数有巧值点； 对于中的函数，要使，则，由对任意的x，有，可知方程无解，原函数没有巧值点； 对于中的函数，要使，则， 由函数与 的图象它们有交点，因此方程有解，原函数有巧值点； 对于中的函数，要使，则x ，即，显然无解，原函数没有巧值点． 故中的函数有“巧值点”． 故选B． ‎ 2. 定义域为R的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为(    )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性求解不等式，由已知构造函数，利用导数研究函数的单调性求解即可． 【解答】 解：构造函数， 则函数的导数为， 因为， 所以，即在R上单调递减， 又因为，所以 ‎， 则不等式化为，它等价于，即， 所以，即所求不等式的解集为． 故选C． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 数列 猜想数列的通项公式 ______________．‎ ‎【答案】​‎ ‎【解析】【分析】 本题考查归纳推理， 依题意，数列即 即可猜想数列的通项公式． 【解答】 解：根据数列即 所以猜想数列的通项公式， 故答案为。 ‎ 2. 设，那么的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：， 令，可得：． 令，可得． ． 故答案为：． 由，分别令，，即可得出． 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ‎ 3. 小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加中国诗词大会的现场录制，5人坐成一排若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为 ________．‎ ‎【答案】84‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查计数原理与排列组合的综合运用． 【解析】 根据题意，分3种情况讨论： 若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有种情况， 将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有种情况， 当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有 种安排方法， 此时有种不同坐法； 若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况， 考虑父母之间的顺序，有2种情况， 则这个整体内部有种情况， 将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有种情况，此时有种不同坐法； 小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边， 将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有种情况， 此时，共有种不同坐法； 则一共有种不同坐法． 故答案为84 ‎ 1. 已知函数若函数有3个零点，则实数m的取值范围是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查分段函数的零点个数、利用导数研究函数的单调性和函数图象的应用，属于中档题． 先研究函数的单调性，在画出草图，函数有3个零点，即与有三个交点，结合图象即可解答． 【解答】 解：时，，， 时，，在上是减函数， 时，，在上是增函数， 时，取极小值， 又时，且，且时，， 据此作出函数的图象以及直线． 函数有3个零点，即与有三个交点， 由图可见， 仅当时，直线与函数的图象有3个不同的交点． ​故答案为． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 2. 已知函数若函数在处有极值． 求的单调递减区间； 求函数在上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】解：，依题意有，即得． 所以，要函数单调递减，即要，得， 故函数的单调递减区间．      由知，，，‎ 令，解得驻点舍去，． ​，从而函数在上的最大值为，最小值为． 故最大值为8，最小值为． ‎ ‎【解析】此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，属基础题．    首先求出函数的导数，然后令，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解    由求出函数的解析式，导数，找到函数在上的驻点，求出函数在驻点和区间端点处的函数值，从而求出函数在上的最大值和最小值． ‎ 1. 把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？‎ 由0、1、2、3、4、5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？‎ 某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，其余2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？‎ ‎【答案】解： 把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，‎ 有3、1、1、1和2、2、1、1两类，‎ 故总的方法种方法；‎ 若个位是0，则有种，‎ 若个位不是0，先从2、4种选一个，再从刚选的数字和0之外的4个中选1个放在首位，‎ 中间两位从剩余4个中选2个排上即可，共有种，‎ 故0、1、2、3、4、5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数共个；‎ 分类计数：若1个多面手不选，则有种，‎ 若恰选1个多面手，则有种，‎ 若恰选2个多面手，则有种，‎ 故不同的选择方法有种．‎ ‎【解析】本题考查简单的计算原理，解决问题的关键是选择合理的解决方案．‎ ‎ 把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有3、1、1、1和2、2、1、1两类，分别计算并相加可得；‎ 分个位是0，和个位不是0，分别排列，相加即可；‎ 分1个多面手不选、恰选1个多面手、恰选2个多面手，分别计算并相加可得答案．‎ ‎ ‎ 1. 已知展开式前三项的二项式系数和为22． 求n的值；   求展开式中的常数项； 求展开式中二项式系数最大的项．‎ ‎【答案】解：由题意，展开式前三项的二项式系数和为22． 二项式定理展开：前三项的二项式系数为：， 解得：或舍去． 即n的值为6． 由通项公式， 令， 可得：． 展开式中的常数项为； 是偶数，展开式共有7项则第四项最大 展开式中二项式系数最大的项为．‎ ‎【解析】本题主要考查二项式定理的应用，通项公式的计算，属于基础题． 利用公式展开得前三项，系数和为22，即可求出n． 利用通项公式求解展开式中的常数项即可． 利用通项公式求展开式中二项式系数最大的项． ‎ 2. 在数列中，，，‎ 求的值，由此猜想数列的通项公式；‎ 用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎【答案】解：， ， 猜想数列的通项公式为， 时，满足通项公式； 假设当时猜想成立，即， 则， 当时猜想也成立． 综合，对猜想都成立．‎ ‎【解析】本题主要考查了递推关系及数学归纳法的应用，考查了学生的运算求解能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力． 根据条件可求出，进而猜想数列的通项公式； 根据数学归纳法的步骤进行证明即可． ‎ 1. 已知函数． 若曲线在点处的切线与x轴平行，且，求a，b的值； 若，对恒成立，求b的取值范围．‎ ‎【答案】解：函数的导数为， 在点处的切线与x轴平行，且，可得 ，且，解得，； ，对恒成立， 即为对恒成立， 可得， 设， ， 当时，，递减；时，，递增． 即有在处取得最小值，且为0， 可得， 即b的取值范围是．‎ ‎【解析】求得的导数，可得切线的斜率和切点，由条件可得a，b的方程组，解方程即可得到所求值； ‎ 由题意可得对恒成立，可得，设，求得导数和单调性、最小值，即可得到b的范围． 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查参数分离和构造函数法，考查化简运算能力，属于中档题． ‎ 1. 已知函数．Ⅰ当时，求函数的极小值；Ⅱ当时，讨论的单调性；Ⅲ若函数在区间上有且只有一个零点，求m的取值范围．‎ ‎【答案】本小题满分13分 解：Ⅰ 当时：，令解得， 又因为当，，函数为减函数； 当， 0'/>，函数为增函数． 所以，的极小值为分Ⅱ． 当时，由，得或． 若，则故在上单调递增； 若，则故当 0'/>时，或； 当时，． 所以在，单调递增，在单调递减． 若，则故当 0'/>时，或； 当时，． 所以在，单调递增，在单调递减． 分Ⅲ当时，，令，得因为当时，， 当时，，所以此时在区间上有且只有一个零点． 当时： 当时，由Ⅱ可知在上单调递增， 且，， 此时在区间上有且只有一个零点． 当时，由Ⅱ的单调性结合，又， 只需讨论的符号： 当时，，在区间上有且只有一个零点； 当时，，函数在区间上无零点． 当时，由Ⅱ的单调性结合，， ‎ ‎， 此时在区间上有且只有一个零点． 综上所述，分 ‎【解析】Ⅰ 当时：求出导函数，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后求解函数的极值．Ⅱ当时，由，得或． 若，若，若，分别判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．Ⅲ当时，，判断在区间上有且只有一个零点． 当时：当时，当时，当时，结合函数的单调性以及函数的极值，判断函数的零点的个数即可． 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，函数的零点与函数的极值的关系，考查分类讨论思想以及转化思想的应用． ‎