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- 2021-06-21 发布
吉林省实验中学2019-2020学年度上学期高二年级
期末考试数学（文）试卷
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
*1.为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩, 从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析. 在这个问题中, 5000名学生成绩的全体是（ ）
A.总体 B.个体
C.从总体中抽取的一个样本 D.样本的容量
2.已知某物体的运动方程是，时间单位秒，则当t=3秒时的瞬时速度是（ ）
A． B． C． D．
3. 设定点，，平面内满足的动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．不存在
4. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
*5.将红、黑、蓝、白4张牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥事件，但不是对立事件 D．以上答案都不对
6. 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（ ）
A．甲的极差是29 B．甲的中位数是24
C．甲罚球命中率比乙高 D．乙的众数是21
7. 北宋欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.因曰：‘我亦无他，唯手熟尔.’”可见技能都能通过反复苦练而达至熟能生巧之境地.若铜钱是半径为1.5cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（ ）
A． B． C． D．
8. 已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（ ）
A．0.7 B．0.9 C．0.3 D． 0.6
9. 执行如图所示的程序框图，输出的S =（ ）
结束
输出S
开始
否
是
A．25 B．9 C．17 D．20
10. 已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若
，则 |AB|= （ ）
A．6 B．7 C．5 D．8
*11.已知函数f (x)＝x3－2a x2＋a2 x的极小值点是x＝－1，则a＝（ ）
A．0或－1 B．－3或－1
C．－1 D．－3
12.对于函数,下列说法正确的有（ ）
①在处取得极大值；
②有两个不同的零点；
③.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）
13. 为了解1200名学生对学校食堂饭菜的意见，打算从中抽取一个样本容量为40的样本，考虑采用系统抽样，则分段间隔k为______.
14. 从湖中打一网鱼，共条，做上记号再放回湖中；数天后再打一网鱼共有条，其中有条有记号，则能估计湖中有鱼______条.
15. 已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为______.
16. 已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共的焦点,,是它们在第一象限的交点,且,则的最小值为______.
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e=.求椭圆E的方程．
18.已知抛物线的顶点在原点,过点A(–4,4)且焦点在x轴上.
（Ⅰ）求抛物线方程;
（Ⅱ）直线l过定点B(–1,0)与该抛物线相交所得弦长为8,求直线l的方程.
19.影响消费水平的原因很多，其中重要的一项是工资收入.研究这两个变量的关系的一个方法是通过随机抽样的方法，在一定范围内收集被调查者的工资收入和他们的消费状况.下面的数据是某机构收集的某一年内上海、江苏、浙江、安徽、福建五个地区的职工平均工资与城镇居民消费水平（单位：万元）.
地区
上海
江苏
浙江
安徽
福建
职工平均工资
9.8
6.9
6.4
6.2
5.6
城镇居民消费水平
6.6
4.6
4.4
3.9
3.8
（Ⅰ）利用江苏、浙江、安徽三个地区的职工平均工资和他们的消费水平，求出线性回归方程，其中，；
（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过1万，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？（的结果保留两位小数）
（参考数据：，）
20.为了调查某省高三男生身高情况，现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组，第二组，…，第六组，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图.
（Ⅰ）求该学校高三年级男生的平均身高；
（Ⅱ）利用分层抽样的方式从这50名男生中抽出20人，求抽出的这20人中，身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；
（Ⅲ）从根据（Ⅱ）选出的身高在177.5cm以上（含177.5cm）的男生中任意抽取2人，求此二人来自于不同组的概率.
*21.已知函数f (x)＝a x－3ln x (a为常数)与函数g (x)＝－x ln x在x＝1处的切线互相平行．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数y＝f (x)在[1，2]上的最大值和最小值．
22. 已知函数，．
（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．
吉林省实验中学2019-2020学年度上学期高二年级
期末考试数学（文）试卷参考答案
一、 选择题
1. A 2. C 3. B 4. D 5. C 6. B 7. D 8. A 9.C 10. D 11. D 12. C
二、 填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）
13. 30
14.
15.
16.
【答案】
【详解】
由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，
在双曲线的右支上，
由椭圆的定义，
由双曲线的定义，
所以有，，
因为，
由余弦定理可得，
整理得，
所以
，当且仅当时取等号，
故答案是：.
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.【答案】.
【详解】
设椭圆E的方程为，半焦距为c．
由已知条件，F（0，1），∴b=1，=，a2=b2+c2，
解得a=2，b=1．所以椭圆E的方程为．
.
18. 【答案】（1）
（2）（点斜式要讨论斜率是否存在）
19. 【答案】(1) . (2) 得到的线性回归方程是可靠的.
【详解】
解：（1），.
，
，
∴所求线性回归方程为.
（2）当时，，，
当时，，，
所以得到的线性回归方程是可靠的.
20.
（1）171.5cm（2）4
(3)
21. 解：(1)f′(x)＝a－ (x>0)，g′(x)＝－(ln x＋1)，由已知有f′(1)＝g′(1)，解得a＝2.
(2)当a＝2时，f(x)＝2x－3ln x.
令f′(x)＝2－＝0，解得x＝，
∴当x∈(1, )时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
又f(1)＝2，f(2)＝4－3ln 2，f(2)－f(1)＝2－3ln 2＝ln <0.
∴函数f(x)在[1，2]上的最小值为f()＝3－3ln .
最大值为f(1)＝2.
22. 【答案】（1）（2）见证明
【详解】
（1）．
∴在内单调递减，
∴在内恒成立，
即在内恒成立．
令，则，
∴当时，，即在内为增函数；
当时，，即在内为减函数．
∴的最大值为，
∴
（2）若函数有两个极值点分别为，，
则在内有两根，，
由（I），知．
由，两式相减，得．
不妨设，
∴要证明，只需证明．
即证明，亦即证明．
令函数．
∴，即函数在内单调递减．
∴时，有，∴．
即不等式成立．
综上，得．