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- 2021-06-21 发布
江苏省启东中学2019-2020学年度第二学期期初考试
高二数学
命题人：
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．与曲线相切且过原点的直线的斜率为（ ）
A．2 B．-5 C．-1 D．-2
2．已知等差数列中，，则的值是（ ）
A．4 B．16 C．2 D．8
3．已知复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知随机变量，若，则，分别是（ ）
A．4和2.4 B．2和2.4 C．6和2.4 D．4和5.6
5．已知抛物线的焦点为，是上一点，，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．8
6．展开式中的系数为（ ）
A．10 B．24 C．32 D．56
7．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．直线y＝a分别与直线y＝2(x＋1)，曲线y＝x＋lnx交于点A，B，则|AB|的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．若数列对任意满足，下面选项中关于数列的命题正确的是（ ）
A．可以是等差数列 B．可以是等比数列
C．可以既是等差又是等比数列 D．可以既不是等差又不是等比数列
10．已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的增区间是
B．函数的增区间是
C．是函数的极小值点
D．是函数的极小值点
11．设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点，为线段的中点.下列结论正确的是（ ）
A．直线与垂直；
B．若点坐标为，则直线方程为；
C．若直线方程为，则点坐标为
D．若直线方程为，则.
12．下列说法中，正确的命题是（ ）
A．已知随机变量服从正态分布，，则．
B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3．
C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则．
D．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为16．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应
位置上。
13．两个实习生加工一个零件，产品为一等品的概率分别为和，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________.
14．某幼儿园的老师要给甲、乙、丙、丁4个小朋友分发5本不同的课外书，则每个小朋友至少分得1本书的不同分法数为______.
15．若的展开式中各项系数之和为0,则展开式中含的项为__________.
16．已知函数在定义域内为单调递增函数，则实数p的最小值为_________；若p>0，在[1,e]上至少存在一点，使得成立，则实数p的取值范围为_________．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
已知等差数列的首项为1，公差，且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
18．(本小题满分12分)
某品牌汽车4S店，对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养，汽车4S店记录了100辆该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表：
车型
A型
B型
C型
频数
20
40
40
假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机取10辆进行问卷回访．
（1）求A型、B型、C型各车型汽车抽取的数目；
（2）维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4S店的满意度，按照大于等于80为优秀，小于80为合格，得到如下列联表：
优秀
合格
合计
男司机
10
38
48
女司机
25
27
52
合计
35
65
100
问能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为司机对4S店满意度与性别有关系？请说明原因．
（参考公式：）
附表：
0.100
0.050
0.010
0.001
K
2.706
3.841
6.635
10.828
19．(本小题满分12分)
设函数.
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）当时，判断函数在区间是否存在零点？并证明.
20．(本小题满分12分)
甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛.现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场，已知甲球队第5,6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为.
（1）求甲对以4:3获胜的概率；
（2）设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列及数学期望.
21．(本小题满分12分)
在直角坐标系中，已知椭圆，若圆的一条切线与椭圆有两个交点，且.
（1）求圆的方程；
（2）已知椭圆的上顶点为，点在圆上，直线与椭圆相交于另一点，且，求直线的方程.
22．(本小题满分12分)
已知函数是常数），此函数对应的曲线在点处的切线与轴平行.
（1）求的值，并求的最大值；
（2）设，函数，若对任意的，总存在，使 ，求实数的取值范围.
2019～2020学年第二学期第一次月考试题
高二数学参考答案及评分建议
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．与曲线相切且过原点的直线的斜率为（ ）
A．2 B．-5 C．-1 D．-2
【答案】B
2．已知等差数列中，，则的值是（ ）
A．4 B．16 C．2 D．8
【答案】D
3．已知复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
4．已知随机变量，若，则，分别是（ ）
A．4和2.4 B．2和2.4 C．6和2.4 D．4和5.6
【答案】A
5．已知抛物线的焦点为，是上一点，，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．8
【答案】C
6．展开式中的系数为（ ）
A．10 B．24 C．32 D．56
【答案】D
7．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过
作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
8．直线y＝a分别与直线y＝2(x＋1)，曲线y＝x＋lnx交于点A，B，则|AB|的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．若数列对任意满足，下面选项中关于数列的命题正确的是（ ）
A．可以是等差数列 B．可以是等比数列
C．可以既是等差又是等比数列 D．可以既不是等差又不是等比数列
【答案】ABD
10．已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的增区间是
B．函数的增区间是
C．是函数的极小值点
D．是函数的极小值点
【答案】BD
11．设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点，为线段的中点.下列结论正确的是（ ）
A．直线与垂直；
B．若点坐标为，则直线方程为；
C．若直线方程为，则点坐标为
D．若直线方程为，则.
【答案】BD
12．下列说法中，正确的命题是（ ）
A．已知随机变量服从正态分布，，则．
B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3．
C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则．
D．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为16．
【答案】BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应
位置上。
13．两个实习生加工一个零件，产品为一等品的概率分别为和，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________.
【答案】
14．某幼儿园的老师要给甲、乙、丙、丁4个小朋友分发5本不同的课外书，则每个小朋友至少分得1本书的不同分法数为______.
【答案】240
15．若的展开式中各项系数之和为0,则展开式中含的项为__________.
【答案】
16．已知函数在定义域内为单调递增函数，则实数p的最小值为_________；若p>0，在[1,e]上至少存在一点，使得成立，则实数p的取值范围为_________．(本题第一空2分，第二空3分)
【答案】1，
四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
已知等差数列的首项为1，公差，且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【解】
(1)设等差数列的公差为，
是与的等比中项.
即
或； ……………2分
……………4分
(2)由（1）知
……………7分
.
……………10分
18．(本小题满分12分)
某品牌汽车4S店，对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养，汽车4S店记录了100辆该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表：
车型
A型
B型
C型
频数
20
40
40
假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机取10辆进行问卷回访．
（1）求A型、B型、C型各车型汽车抽取的数目；
（2）维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4S店的满意度，按照大于等于80为优秀，小于80为合格，得到如下列联表：
优秀
合格
合计
男司机
10
38
48
女司机
25
27
52
合计
35
65
100
问能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为司机对4S店满意度与性别有关系？请说明原因．
（参考公式：）
附表：
0.100
0.050
0.010
0.001
K
2.706
3.841
6.635
10.828
【解】
（1）A、B、C型汽车抽取数目分别为，，，
……………3分
（2）根据题意，
……………8分
所以能在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为司机对4S店满意度与性别有关系．
……………10分
答：（1）A、B、C型汽车抽取数目分别为2，4，4
（2） 在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为司机对4S店满意度与性别有关系
……………12分
19．(本小题满分12分)
设函数.
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）当时，判断函数在区间是否存在零点？并证明.
【解】
函数的定义域为.
（1）当时，，
又，切点坐标为，切线斜率为，
所以切线方程为； ……………4分
（2）当时，，
所以在上单调递减， ……………6分
当时，，
又
， ……………10分
所以函数在上存在零点. ……………12分
20．(本小题满分12分)
甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛.现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场，已知甲球队第5,6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为.
（1）求甲对以4:3获胜的概率；
（2）设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列及数学期望.
【解】
（1）设甲队以获胜的事件分别为B
∵甲队第5，6场获胜的概率均为，第7场获胜的概率为，
∴
∴甲队以获胜的概率分别为 ……………4分
（2）随机变量X的可能取值为5，6，7
∴
……………7分
∴随机变量X的分布列为
X
5
6
7
……………9分
∴ ……………12分
21．(本小题满分12分)
在直角坐标系中，已知椭圆，若圆的一条切线与椭圆有两个交点，且.
（1）求圆的方程；
（2）已知椭圆的上顶点为，点在圆上，直线与椭圆相交于另一点，且，求直线的方程.
【解】
（1） 设圆的切线为，点.
由方程组
所以，
得. ……………2分
因为，
所以，即.
又因为点在直线上，
所以，
即.
所以，
化简得， ……………4分
所以圆的半径，所以圆的方程为.
……………5分
当切线AB为时，易得圆的方程为 ……………6分
（2） 设点，点，
由，得. ……………7分
代入椭圆和圆得
解得或者
所以点或. ……………10分
故直线的方程为或． ……………12分
22．(本小题满分12分)
已知函数是常数），此函数对应的曲线在点处的切线与轴平行.
（1）求的值，并求的最大值；
（2）设，函数，若对任意的，总存在，使 ，求实数的取值范围.
【解】
（1）对求导，得，
由题意可得，
解得， ……………1分
故，
又定义域为，且，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减， ……………2分
所以当时，有极大值，也为最大值且.
……………3分
（2）设的值域为的值域为,
由题意“对于任意的，总存在使得”，等价于， ……………4分
由（1）知，
因为，所以，故在上单调递减，
所以，
即，
所以， ……………7分
因为，
所以，
因为，故，
所以在上是增函数，
所以，
即，
故 ……………10分
由，得，
解得，
所以实数的取值范围是. ……………12分