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- 2021-06-21 发布
2017-2018学年广西南宁市第三中学高二下学期期中考试理科数学试题
一、选择题：本题共12小题 ，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，，集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
2．若，则＝ ）
A. B. 1 C. 5 D. 25
3．已知向量.若与平行，则 ）
A. B. C. D.
4．设等比数列满足，则公比 ）
A. 2 B. C. D.
5．将编号为1，2，3， 4， 5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里，每个盒子内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同投放方法的种数为（ ）
A.6 B.10 C.20 D.30
6．设随机变量的概率分布列为，其中，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
7．执行如图所示程序框图，输出的（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
第7题图 第8题图
8．在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中， 平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. 2 B. C. D. 1
11．抛物线与直线交于A，B两点，其中A点的坐标是．该抛物线的焦点为F，则（ ）
A.7 B. C. 6 D. 5
12. 已知,若函数有四个零点,则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题 ，每小题 5分，共20分.
13．实数， 满足约束条件： ，则的最大值为__________．
14．的展开式中含项的系数是__________（用数字作答）．
15．将函数的图像向左平移个单位，若所得的图像关于直线对称，则的最小值为__________．
16．设F为双曲线C：的右焦点，过F且斜率为的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于两点，且，则双曲线C的离心率为__________．
三、解答题：本题共6小题 ，共70分，其中第17题10分，第18-22题，各12分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知是等差数列，是其前项和， ， ，
（1）求数列的通项公式；
（2）当取何值时最大，并求出这个最大值.
18．已知三个内角所对的边分别是，若
.
（1）求角；
（2）若，求周长的最大值.
19．我校的课外综合实践研究小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到市气象观测站与市医院抄录了1至6月份每月10
号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温差 (°C)
10
11
13
12
8
6
就诊人数 (个)
22
25
29
26
16
12
该综合实践研究小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.
（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出关于的线性回归方程．
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想?
参考数据：
.
参考公式：回归直线，其中.
20．如图，在四棱锥中， ∥，且.
（1）证明：平面⊥平面；
（2）若，，求二面角的余弦值.
21．椭圆的两焦点坐标分别为和，且椭圆经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线交椭圆于两点（直线不与轴重合），为椭圆的左顶点，试证明：．
22．已知函数，其中．
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
（2）记的导函数为．当时，证明：存在极小值点，且．
高二段考理科数学参考答案
1．D【解析】由题得,,
所以,,故选D.
2．B【解析】=,则|z|=1.故选：B.
3．D【解析】由题意得，由两向量平行可得，故选
D。
4．B【解析】得故选择B.
5．B【解析】根据题意，先在五个盒子中确定3个，使其编号与球的编号相同，有C53=10种情况，剩下有2个盒子，2个球；其编号与球的编号不同，只有1种情况；由分步计数原理，共有1×10=10种，故选B．
6．D【解析】根据分布列的性质可得，
，解得，故选D.
7．B【解析】依次运行框图中的程序，可得：第一次，，不满足条件，继续运行；第二次，，不满足条件，继续运行；第三次，，不满足条件，继续运行；第四次，，满足条件，输出4．故选B．
8．A【解析】法一：如图，分别取的中点，
连，则，
∴即为异面直线和所成的角（或者其补角）．
又由题意得，.
设，则.又,
∴为等边三角形，∴，∴异面直线和所成角为，其余弦值为．故选A．
法二：可用补形法，把四面体补成正方体。
9．C【解析】 故选择C．
10．D【解析】依题意得,所以,所以切线方程为。当时，当时，
所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为，故选D.
11．A【解析】将点A的坐标代入抛物线与直线，得，所以得抛物线与直线，由得或，所以得，又抛物线的准线是，再结合抛物线的定义得，故选A。
12．D【解析】由题意得函数是偶函数，所以要使函数有四个零点，只需要方程有两个正根，即有两个正根。设，则∴当时， 单调递增；当时，单调递减。∴当
故要使有两个正根，即和有两个交点，需满足。∴实数的取值范围是，故选D。
13．3【解析】画出可行域可知，当目标函数经过点时取到最大值。最大值为
14．-20【解析】由二项式定理可知，展开式的通项为， 要求解的展开式中含的项，则，所求系数为．
15．【解析】将函数的图像向左平移个单位，
得到的图像，依题意，所得图像关于直线对称，则：
，，即，∵，∴当时，最小值．
16．2或【解析】若，则由图1可知，渐近线的斜率为，，在中，由角平分线定理可得，所以，，所以，.若，则由图2可知，渐近线为边的垂直平分线，故为等腰三角形，故，，，即该双曲线的离心率为或2.
17．解：（1）设等差数列的公差为，
．
联立解得：=10，=﹣2．∴=10﹣2（n﹣1）=12﹣2n．
（2）令=12﹣2n≥0，解得n≤6．
∴n=5或者6时，Sn取得最大值，为S6==30．
18． 解：（1）由正弦定理得，∴，
∴，即又因，所以.
（2）由正弦定理
∴，，，
∴周长
∵，∴
∴当即时
∴当时，周长的最大值.
19．解：（1）∵，，
，．
∴，∴．
故关于的回归直线方程: ．
（2）当时,, ； 而当时,, ．
∴该小组所得线性回归方程是理想的．
20．解：（1）由已知，得，.
由于∥，故，从而平面.
又平面，所以平面⊥平面.
（2）在平面内做，垂足为，
由（1）可知，平面，故，可得平面.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，
建立如图所示的空间直角坐标系.
由（1）及已知得
，，，.
所以
，，，.
设是平面的法向量，则，
即，可取.
设是平面的法向量，则，
即，可取.
则，所以二面角的余弦值为.
21．解：（1）法一：依题意，设椭圆方程为，
由已知则有，，联立解得；
法二：由结合距离公式直接求出，结合，求出；
法三：利用通径长公式可得，再结合，求出和，
故所求椭圆方程为； （4分）
（2）设直线的方程为：，
由得：，
因为点在椭圆内部，直线必与椭圆相交于两点，即恒成立，
设，则； （8分）
则
，
将代入上式整理可得，
，则的大小必为定值；（12分）
22．（1）
依题意，有 ，解得．（4分）
（2）令，
所以．
因为，所以与同号．
设，则 ．
所以对任意，有，故在单调递增．
因，所以，，
故存在，使得．
与在区间上的情况如下：
↘
极小值
↗
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以若，存在，使得是的极小值点．
令，得到，所以．