- 1.23 MB
- 2021-06-21 发布
2019—2020学年度第一学期建三江一中期中试卷
高二理科数学试卷
考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分考试时间120分钟。
（1） 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2） 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。
（3） 保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷（共60分）
一、 选择题：
1.设命题，命题，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
2.命题的否定是 （ ）
A． B． C． D．
3.抛物线的准线方程是 （ ）
A． B． C． D．
4.方程表示的曲线是 ( )
A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线 C．两个点 D．以上答案都不对
5. 在中，已知，且，则的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
6.设一个半径为的球的球心为空间直角坐标系的原点，球面上有两个点A，B，其坐标分别
为（1，2，2），（2，-2，1），则 （ ）
A． B． C． D．
7．方程表示双曲线，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．或
8.平行六面体中,向量两两的夹角均为,且,,
,则等于 ( )
A.5 B.6 C.4 D.8
9.四棱柱的底面是正方形，侧棱平面 ，且，则异面直线所成角的余弦值为 （ ）
A． B． C. D．
10.已知为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则的值等于 （ ）
A． B．8 C． D．4
11. 点P在椭圆：上，的右焦点为F，点Q在圆：上，则的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
12.已知双曲线的两条渐近线分别为与，与为上关于原点对称的两点，为上一点且，则双曲线离心率的值为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题纸相应的横线上）
13. 以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是_ ；
14. 已知点、分别是双曲线的左、右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的周长是__ _____ ；
15. 已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为______________ ；
16. 下列说法正确的是：__ __________ ；
（1）平面内动点到定点的距离与到定直线的距离相等，则点的轨迹是抛物线；
（2）已知是假命题，与中至少有一个真命题；
（3）“若，则”的逆否命题为“若，则”；
（4）“若且，则”的否命题是“若且，则”；
（5）对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，则，，是,,,四点共面的充分不必要条件；
三、解答题：（写出必要的文字说明）
17.（本题满分10分）已知椭圆的离心率为，长轴为，短轴为,
焦点分别是
若的一个焦点为，，求的方程；
若，，求过的左焦点的直线交椭圆于两点，求的周长。
18. （本题满分12分）已知方程表示椭圆；
双曲线的离心率；
（1）若是真命题，求的取值范围；
（2）若是真命题，是假命题，求的取值范围。
19. （本题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，，.
（1）求证：为的中点； （2）求点到平面的距离。
20. （本题满分12分）
已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴正半轴上，直线与抛物线相切．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）若斜率为的直线与抛物线交于、两点，，求直线的方程。
21. （本题满分12分）
如图，在四棱锥中，，,
且
（1）求证：；
（2）在线段上是否存在一点,使得二面角的大小为，如果存在,求与平面所成角的正弦值；如果不存在,请说明理由.
22. （本题满分12分）
已知椭圆的右焦点为，且点在该椭圆上，
（1）求椭圆的方程；
（2）若点分别为椭圆的左右顶点，直线是抛物线的准线，点是直线上任意一点，直线交椭圆于两点，求四边形面积的最大值。
2019—2020学年度第一学期建三江一中期中试卷
高二理科数学试卷答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
A
D
A
C
B
C
D
A
D
A
D
D
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题纸相应的横线上）
13 ._ ；
14. __34_____ ；
15. _____4_________ ；
16. 下列说法正确的是：__（2）（3）_（5）___________ ；
三、解答题：（写出必要的文字说明）
17.（本题满分10分）
由已知可得，，，． ．
若椭圆焦点在x轴上，则椭圆方程为．
若椭圆焦点在y轴上，则椭圆方程为； -----------4分
由已知可得，，则， 又，，则．
若椭圆焦点在x轴上，则椭圆方程为，周长 ------ 10分
18. （本题满分12分）
解析：解：方程表示椭圆；
则，则，
得，得或，即p：或；
双曲线的离心率．
则，，，
得，
则，即，则q：，
若是真命题，则，都是真命题，则，
得．
若是真命题，是假命题，
则，一个为真命题，一个为假命题，
若真假，则，得，
若假真，则，此时，
综上：或．
19. （本题满分12分）
（1）求证：为的中点； （2）求点到平面的距离.
证明：如图，设，为正方形，为的中点，
连接
平面，
平面，
平面平面，
则，即为的中点；
（2）解：取中点，，，平面 平面，
且平面平面 ，平面，则，连接，则
，由是的中点，是的中点，可得，则．
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴距离空间直角坐标系
由，，得，，，，
，， ，.
设平面的一个法向量为，
则由，得，取，得.
，即点到平面的距离.
20. （本题满分12分）
解：（Ⅰ）设抛物线的标准方程为：，
由消去并整理得，
由题意得，解得，
∴抛物线的标准方程为．
（Ⅱ）设直线：，
由消去并整理得，
，∴，
设，，
则，，
∴，
解得符合，
故直线的方程为
21.
【详解】
（1）∵，，∴，∴
∵平面，∴，∴平面，平面，∴；
（2）以为原点，以过平行于的直线为轴，所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设，，，
，
设平面的法向量，则，即
则，又平面的法向量为，
∴
解得：或（舍），，
平面的法向量为，设与平面所成角为，则
.
22. （本题满分12分）
（1）椭圆的方程：；
（2）四边形面积的最大值。