2020届高三数学上学期 联考试题 理（含解析） 13页

‎2019届高三上学期“五校”联考数学试题（理科）‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由题意得，，‎ 所以，故选D．‎ ‎2. 函数的大致图象是（ ）‎ ‎【答案】A ‎【解析】 函数是偶函数，所以选项C、D不正确，‎ ‎ 当时，函数是增函数，所以B不正确，故选A．‎ 请在此填写本题解析!‎ ‎3. 已知是公差为的等差数列，为的前项和，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 因为，所以，根据等差数列的性质，可得，‎ ‎ 又数列的公差为，所以，故选C．‎ ‎4. 已知函数，，则“”是“函数的最小正周期为”的（ ）‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】 ，当时，函数的周期充分性成立，若函数 的最小正周期为，则，解得，必要性不成立，故“”是“函数的最小正周期为”‎ - 13 -‎ 的充分不必要条件，故选B.‎ ‎5. 函数是定义在上的单调递增的奇函数，若，则满足的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 因为函数是定义在上单调递增的奇函数，‎ 由，则，‎ 又，则，‎ 所以，所以，故选A．‎ ‎6. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）‎ A. 向右平移移动个单位 B. 向左平移移动个单位 C. 向上平行移动个单位 D. 向下平行移动个单位 ‎【答案】C ‎【解析】 由，‎ ‎ 所以只需把函数的图象向上平移1个单位，即可得到，‎ 故选C．‎ ‎7. 已知非零向量，，满足，向量，的夹角为，且，则向量与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 因为，‎ ‎ 所以，所以与的夹角为，故选B．‎ ‎8. 若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 函数的定义域为，所以，即，‎ - 13 -‎ ‎ 又，令，解得或（舍去），‎ ‎ 由于函数在区间内不是单调函数，所以，‎ ‎ 即，解得，‎ ‎ 综上可得，故选D．‎ ‎9. 若函数，满足，则称，为区间上的一组正交函数．给出三组函数：①，；②，；③ ．其中为区间上的正交函数的组数是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】 函数满足，则为奇函数，‎ ‎ 对于①：，所以为 奇函数，所以在区间上是一组正交函数；‎ 对于②：，则为偶函数，‎ 所以在区间上不是一组正交函数；‎ 对于③：，，则为偶函数，‎ 所以在区间上不是一组正交函数，故选B．‎ ‎10. 已知正项等比数列（）满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵正项等比数列{an}满足：，又q＞0，解得，∵存在两项am，an使得，‎ ‎∴，即，‎ - 13 -‎ ‎∴，‎ 当且仅当=取等号，但此时m，n∉N*．又，所以只有当，取得最小值是．故选C．‎ 点睛：本题解题时要认真审题，注意正项等比数列的性质，利用等比数列的通项公式，解得，运用均值不等式求最值，一般运用均值定理需要要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造，研究的式子乘以1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式．‎ ‎11. 已知为上的可导函数，为的导函数且有，则对任意的，，当时，有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 不妨设，则，‎ ‎ 因为当，，即，‎ 则，所以函数为单调递减函数，‎ 又且，所以，故选A．‎ ‎ 点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用问题，其中解答中涉及到导数四则运算公式的逆用，利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性比较大小等知识点的运用，试题比较基础，属于基础题，解答中根据题意构造新函数，利用新函数的单调性解答的关键．‎ ‎12. 已知函数 ，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 当时，为单调递增函数，且，‎ 当时，，‎ - 13 -‎ 又对任意，总存在使得，‎ ‎ 所以，所以，‎ 综上，实数的取值范围是，故选D．‎ ‎ 点睛：本题主要考查分段函数的应用，其中解答中涉及到指数函数的单调性与值域，基本不等式的应用求最值，以及命题的转化等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中根据题意转化为两段函数的最值之间的关系是解答本题的关键．‎ ‎13. 已知点，则向量在方向上的投影为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意得，所以，‎ ‎ 所以向量在方向上的投影为 ．‎ ‎........................‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意得，画出约束条件所表示的平面区域 如图所示 ‎ 又，‎ 设，当取可行域内点时，此时取得最大值，‎ 由，得，此时，‎ 所以的最大值为．‎ ‎15. 若函数的图象上存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是__________．‎ - 13 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 函数的导数为，‎ ‎ 因为函数存在与直线平行的切线，‎ ‎ 所以方程在区间上有解，‎ ‎ 即在区间上有解，‎ 因为，则，所以．‎ ‎ 点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用问题，其中解答中涉及到函数的导数的求解，导数的几何意义的应用，以及存在性问题的转化等知识点的运用，试题有一定的难度，属于中档试题，解答中把存在性命题转化为方程的有解问题是解答的关键．‎ ‎16. 已知函数是定义域为的偶函数，当时， ，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 作出函数的图象如图所示，‎ ‎ 令，则由图象可得：‎ ‎ 当时，方程只有1解；‎ ‎ 当或时，方程有2解；‎ ‎ 当时，方程有4解；‎ ‎ 因为，所以或，‎ ‎ 因为有解，所以又两解，‎ 所以或．‎ - 13 -‎ ‎ 点睛：本题主要考查了方程根的个数的判定与应用问题，其中解答中涉及到一元二次方程根的求解，函数的图象的应用等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中正确作出函数的图象和合理应用的根的个数的应用是解答的关键．‎ ‎17. 已知函数．‎ ‎（1）求的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎（2）若在区间上的最大值与最小值的和为1，求的值．‎ ‎【答案】（1）,（）．（2）．‎ ‎【解析】试题分析: （Ⅰ）根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简函数,求出函数的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）由x的范围,求出的范围,画出正弦函数的图象,求出函数的最大值与最小值的和等于1,解出a的值.‎ 试题解析:（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ 所以． 由，‎ 得．故，函数的单调递增区间是（）． ‎ ‎（Ⅱ）因为， ‎ ‎ 所以． ‎ 所以．‎ 因为函数在上的最大值与最小值的和为 ‎，‎ 所以．‎ ‎18. 已知是等比数列，公比，前项和为，且，数列满足： .‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ - 13 -‎ ‎（2）设数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由等比数列，利用等比数列的通项公式和前项和公式，求得，即可求出通项公式；‎ ‎（2）由（1）求得，利用裂项求和的方法，即可求解数列的和，由此可作出证明．‎ 试题解析：‎ ‎（1）故解得 所以，．‎ ‎（2）设，‎ ‎，‎ 因为，所以，．‎ ‎19. 已知分别为角的对边，它的外接圆的半径为为常数），并且满足等式成立.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用正弦定理，化简得，再由余弦定理，即可求得的值，从而求解的值；‎ ‎（2）由（1）知，，利用两角和与差的正弦，即可求解，从而求得三角形面积的最大值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，‎ ‎∴，‎ - 13 -‎ 由正弦定理得，，，代入得，‎ 由余弦定理，∴．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以 ‎，‎ 当且仅当时，．‎ ‎20. 设数列的前项和为，且满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；‎ ‎（3）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）．‎ ‎【解析】试题分析：解：(1)当n=1时，，所以 当n≥2时，，且 所以得：‎ 则数列是以1为首项，为公比的等比数列，‎ 所以：数列的通项公式是。‎ ‎(2) 由且所以：，‎ 则：，，⋯⋯ ⋯，‎ 以上n-1个等式叠加得：‎ 则：＝2－，又 所以：‎ ‎（3）因为cn=n （3﹣bn）=，‎ - 13 -‎ 所以Tn=． ①‎ ‎=． ②‎ ‎①﹣②，得=﹣．‎ 故Tn=﹣=8﹣﹣=8﹣（ n=1，2，3，…）．‎ 考点：数列的通项公式的求解 点评：利用通项公式与前n项和的关系式来求解得到，属于基础题。‎ ‎21. 已知函数 .‎ ‎（1）当时，求函数 的极小值；‎ ‎（2）若函数在上为增函数，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时，得出函数的解析式，求导数，令，解出的值，利用导数值的正负来求其单调区间进而求得极小值；‎ ‎（2）求出，由于函数在是增函数，转化为对任意恒成立，分类参数，利用导数的最小值，即可求实数的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）定义域为．‎ 当时，，．‎ 令，得．‎ 当时，，为减函数；‎ 当时，，为增函数．‎ 所以函数的极小值是．‎ ‎（2）由已知得．‎ 因为函数在是增函数，所以对任意恒成立，‎ 由得，即对任意的恒成立．　‎ 设，要使“对任意恒成立”，只要.‎ - 13 -‎ 因为，令，得．‎ 当时，，为减函数；‎ 当时，，为增函数．　‎ 所以的最小值是．‎ 故函数在是增函数时，实数的取值范围是．‎ ‎22. 已知函数，．‎ ‎（1）若函数与的图象恰好相切于点，求实数的值；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）求证：．‎ ‎【答案】（1）（2）(3)证明见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得,即得实数的值；（2）利用分参法将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题（x>1）最大值,再利用导数研究函数单调性：单调递减，最后根据洛必达法则求最大值，即得实数的取值范围(3)先根据和的关系转化为对应项的关系：，再利用（2）的结论，令，则代入放缩得证 试题解析：（1）‎ 所以 ‎（2）方法一：（分参）‎ - 13 -‎ 即时，，时，显然成立； ‎ 时，即 ‎ 令，则 令[]‎ ‎ ‎ 即 在上单调递减 故 ‎ 方法二：（先找必要条件）‎ 注意到时，恰有 令 则 在恒成立的必要条件为 即 ‎ 下面证明：当时，‎ 令 即 在递减，‎ 恒成立，即也是充分条件，故有.‎ ‎（3）不妨设为前项和，则 - 13 -‎ 要证原不等式，只需证 ‎ 而由（2）知：当时恒有 即当且仅当时取等号 取，则 ‎ 即即 即成立，从而原不等式获证.‎ 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.‎ ‎ ‎ - 13 -‎