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- 2021-06-21 发布
长沙市2018届高三第一次模拟试卷
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则（ ）
A． B． C． D．
2.设全集，函数的定义域为，集合，则的子集个数为（ ）
A．7 B．3 C．8 D．9
3.函数（，）的图象中相邻对称轴的距离为，若角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5.设不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为，对于中的任意一点和中的任意一点，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6.若函数的图象如图所示，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
7.某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）
A．1 B． C． D．
8.设等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为（ ）
A．1006 B．1007 C．1008 D．1009
9.已知非零向量，，满足，，若对每个确定的，的最大值和最小值分别为，，则的值（ ）
A．随增大而增大 B．随增大而减小
C．是2 D．是4
10.已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11.已知双曲线：（，）的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知，展开式的常数项为15， ．
14.设，，关于，的不等式和无公共解，则的取值范围是 ．
15.正项数列的前项和为，且（），设，则数列的前2016项的和为 ．
16.已知是椭圆：的右焦点，是上一点，，当周长最小时，其面积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.如图，在中，已知点在边上，且，，，．
（1）求的长；
（2）求．
18.如图，在多面体中，四边形为梯形，，均为等边三角形，，．
（1）过作截面与线段交于点，使得平面，试确定点的位置，并予以证明；
（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值．
19.2015年7月9日21时15分，台风“莲花”
在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如图频率分布直方图：
（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽取2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为户，求的分布列和数学期望；
（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求，，，，，，的值，并说明是否有以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
经济损失不超过4000元
经济损失超过4000元
合计
捐款超过500元
捐款不超过500元
合计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
附：临界值表参考公式：，．
20.已知抛物线的顶点在原点，其焦点（）到直线：
的距离为，设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线 ，，其中，为切点．
（1）求抛物线的方程；
（2）当点为直线上的定点时，求直线的方程；
（3）当点在直线上移动时，求的最小值．
21.已知函数，点在曲线上，且曲线在点处的切线与直线垂直．
（1）求，的值；
（2）如果当时，都有，求的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，正方形的顶点都在上，且，，，依逆时针次序排列，点的极坐标为．
（1）求点，，，的直角坐标；
（2）设为上任意一点，求的取值范围．
23.选修4-5：不等式选讲
设，记的解集为．
（1）求集合；
（2）已知，比较与的大小．
长沙市2018届高三第一次模拟试卷数学（理科）答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.4
三、解答题
17.解：（1）因为，则，
所以，即．
在中，由余弦定理，可知．
即，解得，或．
因为，所以．
（2）在中，由正弦定理，可知，
又由，可知，
所以．
因为，所以．
18.解：（1）当为线段的中点时，使得平面．
证法如下：
连接，，设，
∵四边形为矩形，
∴为的中点，
又∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，故为的中点时，使得平面．
（2）过作分别与，交于，，
因为为的中点，所以，分别为，的中点，
∵与均为等边三角形，且，
∴，连接，，则得，
∵，，，
∴，，
∴四边形为等腰梯形．
取的中点，连接，则，
又∵，，，
∴平面，
过点作于，则，
∴，．
分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，不妨设，则由条件可得：，，，，
，．
设是平面的法向量，
则即
所以可取，
由，可得，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：（1）记每户居民的平均损失为元，
则
．
（2）由频率分布直方图，可得超过4000元的居民共有户，损失超过8000元的居民共有户，
因此的可能值为0,1,2，
，，，
的分布列为：
0
1
2
．
（3）解得，，，，，，，
，
所以有以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．
20.解：（1）依题意，设抛物线的方程为，由，结合，解得．
所以抛物线的方程为．
（2）抛物线的方程为，即，求导得，
设，（其中，），
则切线，的斜率分别为，，
所以切线的方程为，即，
即．
同理可得切线的方程为，
因为切线，均过点，所以，，
所以，为方程的两组解，
所以直线的方程为．
（3）由抛物线定义可知，，
所以，
联立方程消去整理得．
由一元二次方程根与系数的关系可得，，
所以，
又点在直线上，所以，
所以，
所以当时，取得最小值，且最小值为．
21.解：（1），
依题意，，解得．
（2）由（1）可知，代入得
，即，
因为当时，，时，，所以，
所以，即，
令，设，则，
又．
①当，即时，恒成立，
所以在上单调递增，所以
（i）当时，，又因为此时，，
所以，即成立；
（ii）当时，，又因为此时，，
所以，即成立．
因此当时，当时，都有成立，符合题意．
②当，即时，由，得，，
因为，所以，，
当时，，所以在上递减，所以，
又因为此时，，所以，即
与矛盾，所以不符合题意．
综上可知：的取值范围是．
22.解：（1）点，，，的极坐标为，，，，
点，，，的直角坐标为，，，.
（2）设，则（为参数），
．
23.解：（1）
由，得或或
解得，
故．
（2）由（1）知，
因为，
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以．
综上所述：当时，；
当时，；
当时，．