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- 2021-06-21 发布
2017-2018学年天津市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题
分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时
90 分钟。第 I 卷 1 页，第 II 卷 至 2 页.考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效.
一、选择题：
1.设（为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
2.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3. 下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C. D．
5. 用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是（ ）
A． B． C. D．
6. 已知函数 (为自然对数的底数)，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
7. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A． 1 B． C. D．
8. 设函数 ，若 是函数的极大值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
9. 函数的大致图象如图所示,则等于（ ）
A． B． C. D．
10. 已知, ,若存在，，使得，则称函数 与 互为“度零点函数”.若与互为“1 度零点函数”，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
二、填空题
11. 已知函数 ，则 的值为 ．
12. 曲线 与直线及所围成的封闭图形的面积为 ．
13. 设，若函数 有大于零的极值点，则的范围为 ．
14. 对大于或等于 2 的自然数 的 次方幂有如下分解式：
，，，；，，；，；按此规律， 的分解式中的第三个数为 ．
15. 已知函数 （ ），其中．若函数仅在处有极值，的取值范围为__________．
16. 设函数 ，，对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．
三、解答题
17. 设数列的前项和为，满足， ，且.
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式
18. 已知函数
（Ⅰ）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；
（Ⅱ）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．
19. 已知定义在正实数集上的函数，，其中.设两曲线,有公共点，且在该点处的切线相同
（Ⅰ）用表示，并求的最大值；
（Ⅱ）时，求证：
20.已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
（Ⅲ）求证：（，是自然对数的底数）.
参考答案
一、选择题
1-5: CADBC 6-10: CBACB
二、填空题
11. -6 12. 13. 14.125 15. 16.
三、解答题
17. 解：
(Ⅰ)，
（Ⅱ）
（2）由题意得，
由（1）知，，，猜想，则数列为等差数列，
①假设当，时，猜想成立，即,，则有
，
②当时，有,
这说明当时，猜想也成立，
结合①②，由归纳原理知，对任意，.
18.解：
（Ⅰ）
，因为为正实数，由定义域知，所以函数的单调递增区间为
因为函数在上为增函数，所以，所以.
（Ⅱ）
方程在区间内恰有两个相异的实根方程在区间内恰有两个相异的实根方程在区间内恰有两个相异的实根函数的图象与函数的图象在区间内恰有两个交点
考察函数，，在为减函数，在为增函数
画函数，的草图，要使函数的图象与函数的图象在区间内恰有两个交点，则要满足所以的取值范围为
19. 解：
（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同.
∵,,由题意，.
即由得：或（舍去）.
即有
令，则.于是
当，即时，；
当，即时，
故在为增函数，在为减函数，
于是在的最大值为
（Ⅱ）设
则
故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是.
故当时，有，即当时，．
20. 解：（Ⅰ）当时，，
由解得，由解得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为
（Ⅱ）因当时，不等式恒成立，即恒成立，设
，只需即可.
由,
（ⅰ）当时，，当时，，函数在上单调递减，
故成立；
（ⅱ）当时，由，因，所以，
①若，即时，在区间上，，则函数在上单调递增，在上无最大值(或：当时，)，此时不满足条件；
②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件；
（ⅲ）当时，由，∵，∴，
∴，故函数在上单调递减，故成立.
综上所述，实数的取值范围是.
（Ⅲ）据（Ⅱ）知当时，在上恒成立，又，
∵
，
∴.