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- 2021-06-21 发布
2017年下期衡阳市八中高二期中考试
数学试题
请注意：时量120分钟 满分100分或120分
特别提示：第？题和第？题为创新班加试试题
（试题、答题卡、答案分做电子版，另所有客观题答案务必做成表格形式放在答案文档的第一行）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题“若，则”的逆命题是
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】命题“若，则”的逆命题是“若，则”，所以命题“若，则”的逆命题是若，则，选C.
2．抛物线的准线方程是
A． B． C． D．
【答案】B[]
【解析】抛物线中，准线.
3．双曲线的渐近线的方程是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】双曲线的渐近线的方程为，故选C。
4．已知向量， ，则“”是“”成立的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时， 可以推出， 当时， 不能推出 所以，“”是“”成立的充分不必要条件. 选A. []
5. 已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是
A． B． C． D．
【答案】D
6．已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】由已知得，当，则圆锥曲线是椭圆，，离心；
当时则是双曲线，，离心率，故选C.
7．设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
8．命题：“”，使，命题：“，是成立的充分条件”，则下列命题为假命题的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对恒成立,所以命题p是假命题. 由不等式的乘法性质可知充分性成立. 所以命题q为真命题. 所以B选项错. 选B.
9．函数的图像大致为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，排除， ，显然在上， ， 函数为递增，排除C,故选D.
10．抛物线的准线与双曲线的左、右支分别交于两点，为双曲线的右顶点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因抛物线的准线是，故，则，由题设若可得，则，即
，所以，应选答案C。
11．已知椭圆的左、右焦点分别为过作一条直线（不与轴垂直）与椭圆交于两点，如果恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设，则，，于是，又，所以，所以， ，因此， ，直线斜率为，
由对称性，还有一条直线斜率为，故选C．
12．若实数满足，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】C
考点：利用导数求最值
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）
13．若抛物线上的点到轴的距离是，则到焦点的距离为 ．【答案】10
14．已知函数，其中为实数，为的导函数，若，则的值为 ．【答案】3
15． 如图，点分别是正方体的棱和的中点，则和所成角的大小是 ．【答案】
16．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，，则 .【答案】
三、解答题（本大题共52分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分8分）已知且。设:函数在区间内单调递减；:曲线与轴交于不同的两点，如果“”为真命题，“”为假命题 ，求实数的取值范围.
【答案】
试题分析：本题考查复合命题真假判定，考查了指数函数的单调性与曲线的交点问题。根据指数函数在区间内单调递减，可得；曲线与轴交于不同的两点，则，求出或。因为“”为真命题，“”为假命题，所以与恰好一真一假，即可求出实数的取值范围。
试题解析：由“函数在区间内单调递减” 可知:，
由“曲线与轴交于不同的两点” 可知:或，
因为“”为真命题，“”为假命题，所以与恰好一真一假，
①当真，假时，，即.
②当假，真时，，即.[]
综上可知，的取值范围为：.
18．（本小题满分8分）如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，.
（1）求证：PD⊥平面PAB；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析；（2）．
19．（本小题满分10分）已知双曲线：（）的离心率为，虚轴长为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，求的面积．
【答案】（1）;（2）.
【解析】(1)依题意可得，解得，
∴双曲线的标准方程为．
(2)直线的方程为，设、，由可得，
由韦达定理可得，，
则
原点到直线的距离为，于是，[]
∴△的面积为.
20．（本小题满分8分）已知函数，求：
（1）函数的图象在点处的切线方程；
（2）的单调递减区间．
【答案】（1）；（2）.
21．（本小题满分8分）如图，在四棱锥中，底面，，，点为棱的中点.
（1）证明： ； （2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）．
试题分析：(1)利用题意首先证明面 然后利用线面垂直的结论可得 .
(2)建立空间直角坐标系，由平面的法向量可求得二面角的余弦值为．
试题解析：⑴证明：取中点，连接
分别是的中点
四边形是平行四边形
面 ,
面
⑵以点为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则
设面的法向量为
由，令，即
面的一个法向量，设二面角的大小为，则
22．（本小题满分10分）已知椭圆： 的长轴长为6，且椭圆与圆： 的公共弦长为.
（1）求椭圆的方程.
（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于,两点，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形. 若存在，求出点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）见解析.
试题分析：（1）由长轴长可得值，公共弦长恰为圆直径，可知椭圆经过点，利用待定系数法可得椭圆方程；（2）可令直线的解析式为，设， 的中点为，将直线方程与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系可得，由等腰三角形中，可得，得出中．由此可得点的横坐标的范围．
试题解析：（1）由题意可得，所以.由椭圆与圆： 的公共弦长为，恰为圆的直径，可得椭圆经过点，所以，解得.所以椭圆的方程为.
（2）直线的解析式为，设， 的中点为.假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则. 由得，故，所以， .因为，所以，即，所以. 当时， ，所以；当时， ，所以.
综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为.