2018-2019学年四川省成都石室中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版） 17页

‎2018-2019学年四川省成都石室中学高二上学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．某班级有50名学生，现采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12号的学生，则在第八组中抽得号码为______的学生.‎ A．36 B．37 C．41 D．42‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题设知第八组的号码数比第三组的号码数大(8-3)5,由此能求出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：由这50名学生随机编号1~50号,并分组,第一组1~5号,第二组6~10号,...,第十组46~50号,在第三组中抽得号码为12的学生,则在第八组中抽得号码为12+(8-3)5=37.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查系统抽样的方法，牢记系统抽样的定义及性质是解题的关键.‎ ‎2．命题“，”的否定是( )‎ A．， B．，‎ C．， D．不存在，‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：命题“，”的否定是“，”.‎ 故选: A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题的否定，牢记特称命题的否定是全称命题是解题的关键.‎ ‎3．抛物线的焦点到准线的距离为( )‎ A．8 B．2 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】抛物线方程化为标准方程，利用抛物线的标准方程可得 p＝，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果．‎ ‎【详解】‎ 解：抛物线，y2＝x的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得p＝，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，判断焦点到准线的距离为p是解题的关键．‎ ‎4．已知命题,命题,则下列判断正确的是( )‎ A．是假命题 B．是真命题 C．是真命题 D．是真命题 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由基本不等式可得，当且仅当x=2取得等号，所以命题p正确，‎ 又只有当时，，但，所以命题q错误，所以正确，所以是真命题，‎ 故选C ‎【考点】本题考查判断命题的真假 点评：解决本题的关键是利用基本不等式判断命题p的真假以及指数运算判断q的真假 ‎5．与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由题意得，因为双曲线有共同的渐近线，且过点，‎ ‎ 所以设双曲线的方程为，‎ ‎ 把点代入，得，‎ ‎ 所以双曲线的方程为，故选D．‎ ‎6．已知为三条不同直线,为三个不同平面,则下列判断正确的是( )‎ A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 ‎【答案】C ‎【解析】根据直线与直线平行与垂直的判定定理一一进行判断可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解： A项,若,则,则与可能平行,可能相交,也可能异面,故A项错误；‎ B项,若 ，则直线可能在平面内,也可能,则直线和直线可能异面、相交或 平行,故B项错误:‎ C项,若.则直线平行于两平面的交线,即,故C项正确；‎ D项，, 则可能平行于,此时若,不能说明,故D项错误.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间中直线与平面间的位置关系及直线与直线平行与垂直的判定，牢记各定理并灵活运用是解题的关键.‎ ‎7．设，则“”是“”的( )‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 运用绝对值不等式的解法和余弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎，‎ 则，‎ 可得“”是“”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分必要条件的判断，同时考查余弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题．‎ ‎8．将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角.则四面体的外接球的体积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得球的直径恰好是正方形对角线, 从而可求球的体积=.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意不妨设球的球心为0,可得OA=OB=OC=OD=AC,‎ 球的直径恰好是正方形对角线, 所以球的半径R=1,‎ 所以球的体积=，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查球的内接多面体及球的体积与表面积的计算，得出球的直径恰好是正方形对角线是解题的关键.‎ ‎9．已知,若,使得,则实数 的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】要使命题成立需满足≥, 利用函数的单调性, 可求最值,可得到实数m的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：要使命题成立需满足≥，‎ 函数在[0,3]上是增函数,所以=f(0)=0,‎ 在[1,2]上是减函数,所以=g(2)=，‎ ‎ ，解得.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数、对数函数的性质及全称命题、特称命题，本题易出现两个易错点:一是不能正确对含有量词的命题进行转化, 转化为函数最值;二是函数最值求解错误.纠错方法是从本质上理解全称命题、特称命题与函数最大值、最小值之间的关系,同时熟练掌握求函数值域的常用方法.‎ ‎10．两定点，点在椭圆上，且满足，则为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，求出双曲线的方程，将两曲线的方程联立方程组可解得x2＝9，y2＝4，代入＝x2+y2﹣4进行运算得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：由，可得点P（x，y）的轨迹是以两定点A、B为焦点的双曲线的上支，且2a＝2，c＝2，∴b，‎ ‎∴P的轨迹方程为，‎ 把1和联立可解得：x2＝9，y2＝4，‎ 则（x，y+2）（x，y﹣2）＝x2+y2﹣4＝9+4﹣4＝9．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用定义法求双曲线的标准方程，求两曲线的交点的坐标，以及两个向量的数量积公式的应用，是中档题．‎ ‎11．点是直线上一动点，点，点为的中点，点满足， ，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意首先求出M的轨迹方程，然后在M满足的曲线上设点，只要求曲线上的点到圆心的距离的最小值，即可得到的最小值．‎ ‎【详解】‎ 解：设M（x，y），由λ，得P（﹣3，y），‎ 由点Q为PF的中点知 Q（0，），‎ 又∵QM⊥PF，∴QM、PF斜率乘积为﹣1，‎ 即，‎ 得：y2＝12x，‎ ‎∴M的轨迹是抛物线，‎ ‎.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线轨迹方程的求法以及与圆相关的距离的最小值求法，属于中档题．‎ ‎12．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，点在棱上，点在棱上，且.在侧面内以为一个顶点作边长为1的正方形，侧面内动点满足到平面距离等于线段长的倍，则当点运动时，三棱锥的体积的最小值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】建立空间直角坐标系，求出P的轨迹方程，确定三棱锥A﹣HPI的体积最小时，P的坐标，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：建立空间直角坐标系，如图所示 设P（x，4，z），则F（1，4，3），N（0，4，z），且4≥x≥0，4≥z≥0；‎ ‎∵PNPF，∴＝2（x﹣1）2+2（z﹣3）2，‎ 化简得+（z﹣3）2，P点轨迹为椭圆，‎ ‎∴三棱锥A﹣HPI的体积最小，P点处的切线平行于BI，‎ ‎∵A（4，0，0），H（0，0，1），I（0，4，1），‎ ‎∴（﹣4，0，1），（﹣4，4，1），‎ 设平面AHI的法向量为（x，y，z），则，‎ ‎∴（1，0，4），‎ ‎∵（，4，）∴P到平面AHI的距离为 ‎∵+（z﹣3）2‎ 设，‎ 则，‎ ‎∴三棱锥A﹣HPI的体积的最小值是 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间直角坐标系的应用问题，也考查了空间中的距离的最值问题，是较难的题目．‎ 二、填空题 ‎13．椭圆的长轴端点为，不同于的点在此椭圆上，那么的斜率之积为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据椭圆方程求得M，N的坐标，设P的坐标为（2cosw，sinw），进而表示出PM、PN的斜率，二者相乘整理可求得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：依题意可知M（2，0），N（﹣2，0），P是椭圆上任意一点，设坐标为 P（2cosw，sinw），PM、PN的斜率分别是 K1，K2于是 K1×K2‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的简单性质． 从近几年年高考情况看，圆锥曲线的定义、方程和性质仍是高考考查的重点内容，故应熟练掌握．‎ ‎14．已知，，则内切圆的圆心到直线的距离为___________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由三角形三个顶点得出△ABC为等边三角形，再求出内切圆的圆心，再由点到直线的距离公式可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：由已知得：，，,可得,,‎ ‎ 为等边三角形，可得内切圆的圆心即为三角形的中心，‎ ‎ 的内心的横坐标为=，纵坐标为，内心的坐标为（，1），‎ 点（，1）到直线的距离为：d==1，‎ 故答案：1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等边三角形的内心计算及点到直线的距离公式，判断出为等边三角形并计算出内心坐标是解题的关键.‎ ‎15．若直线与抛物线相交于不同的两点，且中点横坐标为，则_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直线y＝kx﹣2代入抛物线y2＝8x，消去y，可得一元二次方程，利用线段AB的中点的纵坐标为2，结合韦达定理，即可求出k的值．‎ ‎【详解】‎ 解：直线y＝kx﹣2代入抛物线y2＝8x，消去y可得k2x2+（﹣4k﹣8）x+4＝0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，‎ ‎∵线段AB的中点的纵坐标为2，‎ ‎∴y1+y2＝4，‎ ‎∴k（x1+x2）﹣4＝4，‎ ‎∴k•4＝4‎ ‎∴k＝2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，具体涉及到抛物线的性质、韦达定理，属于中档题．‎ ‎16．已知是双曲线的左、右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为___________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】求得直线AP的方程，根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得双曲线的离心率．‎ ‎【详解】‎ 解： 由题意知：A（a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），‎ 直线AP的方程为：y（x﹣a），‎ 由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则P（2c，c），‎ 代入直线AP：c（2c﹣a），整理得：2a＝c，‎ ‎∴所求的椭圆离心率为e．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的几何性质与直线方程的应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知命题：实数满足，其中；命题：方程表示双曲线.‎ ‎(Ⅰ)若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ 先由命题解得；命题得，‎ ‎（1）当，得命题，再由为真，得真且真，即可求解的取值范围．‎ ‎（2）由是的充分不必要条件，则是的充分必要条件，根据则 ，即可求解实数的取值范围．‎ 试题解析：‎ 命题：由题得，又，解得；‎ 命题：，解得．‎ ‎（1）若，命题为真时，，‎ 当为真，则真且真，‎ ‎∴解得的取值范围是．‎ ‎（2）是的充分不必要条件，则是的充分必要条件，‎ 设，，则 ；‎ ‎∴∴实数的取值范围是．‎ ‎18．已知数列满足，，设.‎ ‎（Ⅰ）判断数列是否为等比数列，并说明理由； （Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）利用定义证明数列为等比数列.( Ⅱ)先求出，再利用错位相减求出数列的前项和.‎ 详解：（Ⅰ）由条件可得，，所以，‎ 即bn+1=2bn，又b1=1，所以是首项为1，公比为2的等比数列． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以． ‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③ ‎ 整理得： （）‎ 点睛：（1）本题主要考查数列性质的证明和错位相减求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.‎ ‎19．已知的面积为，且.‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)若，，求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（1）由已知和三角形面积公式可得，进而得到，由二倍角的正切公式可得答案;‎ ‎(2)由（1）式中的，可得由两角和的正弦公式可得，结合正弦定理可得边b，代入面积公式可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）设的角所对应的边分别为，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴∴. ‎ ‎（Ⅱ），即， ‎ ‎ ∵，，∴，.‎ ‎∴，‎ 由正弦定理知：， ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用正弦、余弦定理求解三角形的基本量及两角和的正弦公式等，需牢记三角函数各公式并灵活运用.‎ ‎20．已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为,为坐标原点．‎ ‎(Ⅰ)求的轨迹方程；‎ ‎(Ⅱ)当（不重合）时，求的方程及的面积．‎ ‎【答案】（I）；（II）(或) ， ‎ ‎【解析】（Ⅰ）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|＝|OM|得到ON⊥PM．求出ON 所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（I）圆C的方程可化为，∴圆心为，半径为4，设，‎ ‎∴由题设知 ，即.由于点在圆的内部，所以的轨迹方程是.‎ ‎（II）由（I）可知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.‎ 由于，故在线段的垂直平分线上，又在圆上，从而.‎ ‎∵的斜率为3 ∴的方程为.(或).又，到的距离为，，∴的面积为 ‎【点睛】‎ 本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．‎ ‎21．设抛物线，点，过点的直线与交于(在轴上方)两点.‎ ‎(Ⅰ)当时，求直线的方程；‎ ‎(Ⅱ)是否存在点，使得,若存在，求点出坐标，若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（I）（或）；（II）‎ ‎【解析】(Ⅰ)由得到，结合韦达定理即可得到直线的方程；‎ ‎(Ⅱ) 若存在，根据对称性，点应在轴上，设点坐标为，等价于.结合韦达定理即可得到点出坐标.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）设, 直线 ‎，.∵‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴直线的方程为（或 .‎ ‎（II）若存在，根据对称性，点应在轴上，设点坐标为，‎ ‎∵ .∴‎ ‎ ‎ ‎∴存在坐标为..‎ ‎【点睛】‎ 圆锥曲线中定点问题的常见解法 ‎（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；‎ ‎（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．‎ ‎22．已知圆：和点，动圆经过点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线．‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程；‎ ‎(Ⅱ)四边形的顶点在曲线上，且对角线均过坐标原点，若 .‎ ‎(i) 求的范围；(ii) 求四边形的面积.‎ ‎【答案】（I） ；（II）(i) ， (ii) ‎ ‎【解析】（I）求出圆M的圆心，半径，通过动圆P经过点N且与圆M相切，设动圆P半径为r，则 |PM|．曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆．求解即可;‎ ‎(Ⅱ)把直线AB的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示及目标即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）圆的圆心为，半径为，点在圆内，因为动圆经过点且与圆相切，所以动圆与圆内切。设动圆半径为，则 .‎ 因为动圆经过点，所以, ,所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆. 由，得，所以曲线的方程为．‎ ‎（II）当直线AB的斜率不存在时，，所以的最大值为2. ‎ 当直线的斜率存在时，设直线AB的方程为，设 联立，得 ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ ∵ ‎ ‎ ‎ ‎= ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因此， ‎ 另解：‎ 设直线方程：，方程：分别求出的坐标 ‎ 分情况讨论， >0时，分析 所在的象限，求范围 同理时 ‎ ‎(ii)设原点到直线AB的距离为d，则 ‎ ‎ ‎ .‎ ‎【点睛】‎ 圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎