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- 2021-06-21 发布
高三数学
一、填空题
1.已知集合==,则=_______.
【答案】
【解析】
====,
所以=.
2.若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.
【答案】
【解析】
【详解】，当且仅当时等号成立.
【考点】基本不等式.
3.若函数是偶函数，则______．
【答案】1025
【解析】
【分析】
由函数是偶函数，则，则，结合分段函数的解析式代入运算即可得解.
【详解】解：因为函数偶函数，
所以，
故答案为1025.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性及分段函数求值问题，主要考查了判断自变量所在的区间，属基础题.
4.方程的解为 .
【答案】2
【解析】
【分析】
根据求行列式的方法化简得，这是一个关于的二次方程，将看成整体进行求解即可.
【详解】方程，
等价于，
即，
化为
或（舍去），
，故答案为2.
【点睛】本题主要考查行列式化简方法以及简单的指数方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.
5.已知为第二象限的角，，则的值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由为第二象限的角，，可得，由于=，再结合两角和的正弦公式展开运算即可得解.
【详解】解：因为为第二象限的角，，
所以，
又因为==+，
所以=，
故答案为.
【点睛】本题考查了象限角对应的三角函数值及两角和的正弦公式，主要考查了=，属中档题.
6.函数的值域为______；
【答案】
【解析】
【分析】
由，得到，由此能求出函数值域．
【详解】∵，
∴，
∴-≤arcsin（cosx）≤．
∴函数的值域为．
故答案为：．
【点睛】本题考查反三角函数的值域的求法，考查三角函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是基础题．
7.设等比数列的前项和为，且满足，则=_______.
【答案】-5
【解析】
【分析】
先设公比为，再由已知列方程组，解方程组，然后结合等比数列前项和公式求解即可.
【详解】解:因为数列为等比数列,设公比为，
由，
则有，解得，
所以，
故答案为-5.
【点睛】本题考查了等比数列的运算及等比数列前项和公式，重点考查的方程思想，属基础题.
8.设函数，则使得成立的的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
分析：由函数的奇偶性可知函数f(x)是奇函数，考虑x>0时，函数为单调递增函数，所以函数在R上单调递增．由单调性可解不等式．
详解：∵函数为奇函数，当时，，
可得在上单调递增，
∴由奇函数的性质，可得在上单调递增，
∴由，可得，即，
解得或，
故的取值范围是．
点睛：本题以解不等式形式考查函数的奇偶性判定、单调性判定、单调性的应用，如果能应用好函数性质将比较简单，如果直接代入函数虽然可解但运算量较大．
9.设为的反函数，则的最大值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据是上的单调增函数，且与单调性相同，得出的定义域为，计算的最大值为
【详解】是上的单调增函数，
且为的反函数，
与单调性相同，
当时，的最大值为
且当时，
的定义域为
且当时，
的最大值为
故答案为
【点睛】本题主要考查了反函数，关键是反函数与原函数的单调性相同，然后求得最大值
10.已知函数，其中，若函数有两个零点，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
若函数有两个零点，
即与交于两点，
因为与在定义域内均为单调递增函数，
当时，当时，所以，
则的取值范围是．
11.若函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则________
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可得恒成立，且，求出后，将代入可得解.
【详解】解：设,则，
则,
又函数是上的单调函数，
所以，
又为增函数，
则的解为，
所以，
则=，
故答案为.
【点睛】本题考查了函数的单调性、指数式求值，重点考查了利用单调性求函数的解析式，属中档题.
12.已知数列前n项和为，满(为常数)，且，设函数，则数列的前17项和为_____.
【答案】17
【解析】
【分析】
化简函数解析式得，由可得是首项为，公差为的等差数列，又，所以，即，再首尾相加求和即可得解.
【详解】解：因，当时，，
又满足上式，
即，，
即是首项为，公差为的等差数列，
因，所以，
因为，
因为，
所以=，
即数列的前17项和为，
故答案为17.
【点睛】本题考查了由的关系求数列的通项、三角恒等变换及倒序相加法求和，重点考查了运算能力，属中档题.
二、选择题
13.已知函数，将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度，所得的图象关于原点对称，则的一个值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图象；再把所得的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象．结合所得的图象关于原点对称，可得，即，，当时，则的一个值是．
故选D．
14.函数的大致图象是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题意得，，所以函数的定义域为，因为，根据幂函数的性质，可知函数在第一象限为单调递减函数，故选A．
15.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题，假命题的是( )
A. 公差d<0 B. 在所有Sn<0中，S13最大
C. 满足Sn>0的n的个数有11个 D. a6>a7
【答案】C
【解析】
试题分析：∵等差数列{an}中，S6最大，且S6＞S7＞S5∴a1＞0，d＜0，A正确；
∵S6最大，a6＞0，a7＜0，∴D正确；
∵S13=×13＜0，
∵a6+a7＞0，a6＞-a7，s12=＞0；
∴Sn的值当n≤6递增，当n≥7递减，前12项和为正，当n=13时为负．
故B正确；满足sn＞0的n的个数有12个，故C错误；
故选C．
考点：本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式．
点评：典型题，在等差数列中Sn存在最大值条件是：a1＞0，d＜0．一般两种解决问题的思路：“项分析法”与“和分析法”．
16.已知的三边长分别为，，，若存在角使得：则的形状为( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角函数的有界性得：>,
由三角形的性质可得，设，再结合余弦定理可得
>0,即可得解.
【详解】解：因为存在角使得：
则>,
即三边长也可构成一个三角形，
不妨假设，
由两边之和大于第三边可得：，
即，
在中，C最大，
由余弦定理>0,
即C为锐角，
即为锐角三角形，
故选A.
【点睛】本题考查了三角函数的有界性及余弦定理，重点考查了三角形的性质，属中档题.
三、解答题
17.已知集合，设，，若是成立充分不必要条件
(1)求出集合
(2)求实数的取值范围
【答案】（1）， （2）
【解析】
【分析】
（1）由对数不等式的解法可得：，解得，即，由含参二次不等式的解法得：，又因为，即；
（2）由充要条件与集合的关系可得：，由（1）得：，又
，求解即可.
【详解】解：（1）解不等式，
可得，解得，
即，
解不等式，
即，
又因为，
所以，
故，
（2）因为，， 是成立的充分不必要条件，
所以，
由（1）得：，又，
解得.
故实数的取值范围为.
【点睛】本题考查了对数不等式的解法，含参二次不等式的解法及充要条件与集合的关系，重点考查了集合的思想，属中档题.
18.已知向量，，且函数．
（）求函数的最大值以及取最大值时的取值集合．
（）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积．
【答案】(1) 函数的最大值为，此时的取值集合为．(2)
【解析】
分析：(1)由向量的数量积公式和正弦与余弦的倍角公式可得f(x)=. 取最大值时,.
(2)由，得，结合，，及余弦定理和三角形的面积公式可求．
详解：（）由题意，
，
当，，即，时，取最大值，
∴函数的最大值为，此时的取值集合为．
（）∵，
∴，
∵为的内角，
∵，
由余弦定理得即，
又，，故，
得，
∴的面积．
点睛：本题综合考查平面向量的数量积公式，三角函数的正余弦倍角公式，辅助角公式，及用余弦定理解三角形和三角形面积．解三角的关键是选择合适的正弦定理与余弦定理及面积公式．
19.某旅游胜地欲开发一座景观山，从山的侧面进行勘测，迎面山坡线由同一平面的两段抛物线组成，其中所在的抛物线以为顶点、开口向下，所在的抛物线以为顶点、开口向上，以过山脚（点）的水平线为轴，过山顶（点）的铅垂线为轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．已知所在抛物线的解析式，所在抛物线的解析式为
（1）求值，并写出山坡线的函数解析式；
（2）在山坡上的700米高度（点）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站，索道的起点选择在山脚水平线上的点处，（米），假设索道可近似地看成一段以为顶点、开口向上的抛物线当索道在上方时，索道的悬空高度有最大值，试求索道的最大悬空高度；
（3）为了便于旅游观景，拟从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶，台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得少于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）．试求出前三级台阶的长度（精确到厘米），并判断这种台阶能否一直铺到山脚，简述理由？
【答案】（1）
（2）米 （3）第一级台阶的长度为厘米，第二级台阶的长度为厘米，第三级台阶的长度为厘米，这种台阶不能从山顶一直铺到山脚.
【解析】
【分析】
（1）将点点B（4,4）分别代入，求出即可求得函数的解析式；
（2）由已知有索道在上方时，悬空高度
利用配方法可得=，再求最大值即可；
（3）由（1）得，在山坡线上，，，
取，分别求出，
再运算可得各级台阶的长度，再取点，又取，
运算可得，即这种台阶不能一直铺到山脚，得解.
【详解】解：（1）将点B（4,4）分别代入，
解得，
故；
（2）由图可知：，由图观察可得：只有当索道在上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值，
索道在上方时，悬空高度==，
当时，，
故索道的最大悬空高度为米；
(3)在山坡线上，，，
①令得令，得，
所以第一级台阶的长度为（百米）（厘米），
同理，令得
所以第一级台阶的长度为（百米）（厘米），
所以第二级台阶的长度为（百米）（厘米），
所以第三级台阶的长度为（百米）（厘米），
②取点，又取，
则，
因为，
故这种台阶不能从山顶一直铺到点，从而就不能一直铺到山脚.
【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法、二次函数在区间上的最值问题，重点考查了阅读能力及运算能力，属中档题.
20.已知数列的前项和为，且满足:
(1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式.
(2)设，若数列是等差数列，求实数的值；
(3)在(2)的条件下，设 记数列的前项和为，若对任意的存在实数,使得,求实数的最大值.
【答案】（1） 证明过程见解析 （2） （3）
【解析】
【分析】
（1）由，再得出，两式作差，得出，，再分奇数项，偶数项分别求通项公式即可得解；
（2）由等差数列的等差中项可得恒成立，可得，解得;
（3）由已知有，由裂项求和法求数列前项和得，由分离变量最值法可得，运算即可得解.
【详解】解：（1）因为，①
所以，②
②-①得：，
由易得，即，
即，，
即数列的奇数项是以为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以为首项，4为公比的等比数列，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
综上可得，
又，
故是等比数列，且数列的通项公式.
(2)因为，
所以，
因为数列是等差数列，
所以恒成立，
即有恒成立，
即，
解得;
(3)因为=，
即，
又对任意的存在实数,使得,
即对任意的 恒成立，
又当时，取最小值3，时，，
即,
故实数的最大值为.
【点睛】本题考查了由的关系求数列的通项、用裂项求和法求数列前项和及不等式恒成立问题，重点考查了分离变量最值法，属综合性较强的题型.
21.若存在实数使得则称是区间的一内点．
（1）求证：的充要条件是存在使得是区间的一内点；
（2）若实数满足：求证：存在，使得是区间的一内点；
（3）给定实数，若对于任意区间，是区间的一内点，是区间的一内点，且不等式和不等式对于任意
都恒成立，求证：
【答案】（1）证明过程见解析 （2）证明过程见解析 (3)证明过程见解析
【解析】
【分析】
（1）先理解定义，再由已知证明的充要条件是存在使得是区间的一内点；
（2）用作差法判断的大小关系，得，结合（1）即可得证；
（3）由已知可得恒成立，由二次不等式恒成立问题可得，且，解得，同理，即可得解.
【详解】解：（1）①若是区间的一内点，
则存在实数使得，则，
②若，取，则，且，
则是区间的一内点，
故的充要条件是存在使得是区间的一内点；
（2）由，，
则，由（1）知，存在，使得是区间的一内点；
（3）因为是区间的一内点，则
则恒成立，
则恒成立，
当时，上式不可能恒成立，
因此，
所以，
即，即 ，
同理，
故.
【点睛】本题考查了充分必要条件、三个量大小的比较及二次不等式恒成立问题，重点考查了不等式的应用，属难度较大的题型.