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- 2021-06-21 发布
2018-2019 学年浙江省台州市联谊五校高二下学期期
中考试数学试题
考试时间：120 分钟
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．设集合 ，则集合 ( )
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 是两个不同平面， 为 内的一条直线，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆的长轴长是短轴长的 倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
{ } { }3,2,1,0,20| =≤<= BxxA =BA
{ }1,0 { }2,1,0 { }2,1 { }3,2,1
≥−+
≤
≥+−
02
2
042
yx
x
yx
3 6 9 12
βα、 m α β//m βα //
33 += xy ( )2,1−
033 =++ yx 033 =+− yx 03 =− yx 053 =+− yx
2
3
1
2
1
2
2
2
3
xxy ln2 +=
7．已知 中， 且， ，则 是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．正三角形或直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形
8．直线 与圆 相交于 两点，若 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
9．若两个正实数 满足 ，且存在这样的 使不等式 有解，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示， 垂直于圆 所在的平面， 是圆 的直径， ， 是圆
上的一点， 分别是点 在 ， 上的投影，当三棱锥 的体积最
大时， 与底面 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题:本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.把答案填在题中
的横线上.
11．函数 的定义域为_________；值域为_______．
ABC∆ BABA tantan33tantan =++
4
3cossin =BB ABC∆
mxy += 422 =+ yx NM, 22≥MN m
[ ]2,2− [ ]4,4− [ ]2,0 )22,2[]2,22( −−
yx, 141 =+
yx yx, mmyx 34
2 +<+
m
( )4,1− ( )1,4− ( ) ( )+∞−∞− ,14, ( ) ( )+∞−∞− ,03,
PA O AB O 2== ABPA C
O FE、 A PB PC AEFP −
PC ABC
2
3
2
2
3
3
2
1
1
1)( −
=
x
xf
12．已知直线 ： ，若 的倾斜角为 ，则实数 _______；若直线 与直
线 垂直，则实数 _______．
13．（1） ______；（2） _______．
14．某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积（单位： ）等于
_______；表面积（单位： ）等于__________．
15．已知平面向量 满足 ，且 ，则
16．如图，平面四边形 中， ， ，
则 的面积 为__________．
17．当 时，不等式 恒成立，则 的最大值是
__________．
三、解答题：本大题共 小题，共 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
18．如图，以 为始边作角 与 ，它们的
终边分别与单位圆相交于点 ，已知点 的坐标为
l 05 =−+ myx l 45 =m l
012 =−− yx =m
=+ 25lg2lg2 =−
+
4
1log4
127 8
3log
3
2 2
cm 3cm
2cm
ba , ( ) 3=+⋅ bab 2,1 == ba ._____=+ ba
ABCD 3,22,5 === CDADAB 120=∠BCD
,30=∠CBD ADC∆ S
∈ 4,2
3x xabxax 242 ≤++ ba +6
5 74
Ox α ( )παββ <<<0
QP、 P
．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值.
19．已知正项等比数列 中， ，且 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
20．已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间和极值；
（2）若 在 上是单调函数，求实数 的取值范围．
21．已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，若点 在 上，点 在 上，
且 是边长为 的正三角形．
（1）求 的方程；
（2）过点 的直线 与 交于 两点，若 ，求 的面积．
−
5
4,5
3
αα
αα
cossin
sin5cos3
−
+
OQOP ⊥ ββ cos4sin3 −
{ }na 2
1
1 =a 1,, 432 −aaa
{ }na
2
2log4 nn ab =−
+1
1
nnbb n nT
xaxxf ln)( 2 +=
2−=a )(xf
xxfxg 2)()( += ),1[ +∞ a
C ( )022 >= ppxy F l P C E l
PEF∆ 8
C
( )0,1 n C BA, 23−=⋅ FBFA FAB∆
22．已知函数
（1）若 ，是否存在 ，使得 为偶函数，
如果存在，请举例并证明，如果不存在，请说明理由；
（2）若 ，判断 在 上的单调性，并用定义证明；
（3）已知 ，存在 ，对任意 ，都有 成立，
求 的取值范围.
.)(,)( 21
bxax exfexf == −
)()()()( 221 xbfxfxfxf −++= Rba ∈、 )(xfy =
1,2 == ba )()()( 21 xfxfxg += )1,(−∞
)2ln,0[∈b [ ]1,00 ∈x [ ]1,0∈x 1)()( 021 <− xfxf
a
参考答案
一：选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C A B D C A C A C D
二：填空题
11． ， ； 12． ， ； 13．2， 10；
14． ， ； 15． ； 16． ； 17．6
二：解答题
18．（1）由题得 ………6 分
（2）由题得 ,所以 ， ，
所以 ，所以 ………14 分
19．（1）设等比数列 的公比为 ，因为 成等差数列，
所以 ，得 ， ………2 分
又 ，则 ，即 ，
化简整理得
显然 ，所以 ，解得
故数列 的通项公式 ………7 分
（2）由（1）知，
所以
( )+∞,1 ( )+∞,0 1−
2
1
3
16 5420 + 3 2
33+
5
4sin,5
3cos =−= αα
7
11
cossin
sin5cos3 =−
+∴ αα
αα
2
πβα =− βπα +=
2
βαβα cossin,sincos =−=∴
5
4cos,5
3sin == ββ
5
7
5
16
5
9cos4sin3 −=−=− ββ
{ }na q 1,, 432 −aaa
12 423 −+= aaa 12 3
11
2
1 −+= qaqaqa
2
1
1 =a 12
1
2
1
2
12 32 −+=× qqq 22 32 −+= qqq
( )( ) 012 2 =+− qq
01 2 ≠+ q 02 =− q 2=q
{ }na 21
1 2 −− == nn
n qaa
nnab n
nn 24)2(242log24log 2
2
2
2 =+−=+=+= −
( )
+−=+⋅=
+ 1
11
4
1
122
11
1 nnnnbb nn
则
………15 分
20．（1）易知，函数 的定义域为
当 时， ………2 分
当 变化时， 和 的值的变化情况如下表：
1
- 0 +
递减 极小值 递增
………4 分
由上表可知，函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，极小值是
………6 分
（2）由 ，得
又函数 为 上单调函数，
①若函数 为 上的单调增函数，
则 在 上恒成立，即不等式 在 上恒成立．
得 在 上恒成立，
而 在 上的最大值为 ，所以 ………11 分
②若函数 为 上的单调减函数，
根据①，在 上 ， 没有最小值
+−=
+−++
−+
−+
−=
1
114
1
1
11
4
1
3
1
3
1
2
1
2
114
1
nnnTn
( )14 +=∴
n
nTn
)(xf ( )+∞,0
2−=a
( )( )
x
xx
xxxf 11222)(
−+=−=，
x )(xf ， )(xf
x ( )1,0 ( )+∞,1
)(xf ，
)(xf
)(xf ( )1,0 ( )+∞,1
1)1( =f
xxaxxg 2ln)( 2 ++= 2
22)( xx
axxg −+=，
xxaxxg 2ln)( 2 ++= ),1[ +∞
)(xg ),1[ +∞
0)( ≥xg， ),1[ +∞ 022 2
≥−+
xx
ax ),1[ +∞
222 xxa −≥ ),1[ +∞
( ) 222 xxx −=ϕ ),1[ +∞ ( ) 01 =ϕ 0≥a
)(xg ),1[ +∞
),1[ +∞ ( ) ( ) 01max == ϕϕ x ( )xϕ
所以 在 上是不可能恒成立的 ………14 分
综上， 的取值范围为 ………15 分
21．（1）由题知， ，则 ．设准线 与 轴交于点 ，则 ．
又 是边长为 的等边三角形， ，
， ，即 ．
抛物线 的方程为 ； ………5 分
（2）设过点 的直线 的方程为 ， ………7 分
联立 ，得 ．
设 ， ，则 ， ． ………9 分
．
．
由 ，得
，
解得 ． ………12 分
不妨取 ，则直线方程为 ．
．
而 到直线 的距离 ． ………14 分
的面积为 ． ………15 分
22．（1）存在 使 为偶函数，
0)( ≤xg， ),1[ +∞
a ),0[ +∞
PEPF = lPE ⊥ l x D DFPE //
PEF∆ 8 60=∠PEF
60=∠∴ EFD 42
18cos =×=∠= EFDEFDF 4=p
∴ C xy 82 =
( )0,1 n 1+= tyx
+=
=
1
82
tyx
xy 0882 =−− tyy
( )11, yxA ( )22 , yxB tyy 821 =+ 821 −=yy
( )( ) ( ) 1111 2121
2
2121 =+++=++= yytyyttytyxx
( ) 282 2
2121 +=++=+ tyytxx
23−=⋅ FBFA ( )( ) ( )( ) 21212211 22,2,2 yyxxyxyx +−−=−−
( ) ( ) 2384282142 2
212121 −=−++−=+++−= tyyxxxx
1±=t
1=t 01=−− yx
( ) 38328241 2
21
2
21
2 =+⋅=−+⋅+= yyyytAB
F 01=−− yx 2
2
2
12 =−=d
FAB∆∴ 622
2382
1 =××
1,0 == ba )(xfy =
此时： ，
证明： 的定义域为 关于原点对称，
且
为偶函数。 注：也可以 ………3 分
（2） ，且 ， ，
在 上为减函数
证明：任取 ，且 ，
，即
在 上为减函数 ………7 分
（3） , ,
对任意 ，存在 ，使得 成立，
即存在 ，使得 ， ………9 分
当 时， 为增函数或常函数，
此时 ，则有 恒成立 ………10 分
当 时，
……12 分
xxx eeexf −++=)(
)(xfy = R
)()( xfeeeeeexf xxxxxx =++=++=− −−−
)(xfy =∴ 0,0 == ba
xx eexfxfxg +=+= −2
21 )()()( 1>>∴<< +
( ) ( ) 021 >−∴ xgxg ( ) ( )21 xgxg >
)(xgy =∴ )1,(−∞
( ) ( ) 1021 <− xfxf ( ) ( ) ( ) 11 1021 +<<−∴ xfxfxf
∴ [ ]1,0∈x [ ]1,00 ∈x ( ) ( ) ( ) 11 1021 +<<− xfxfxf
[ ]1,00 ∈x ( )( ) ( ) ( )( )min102max1 11 +<<− xfxfxf
2ln0 <≤ b ( )xf2
( ) 21 02 <≤≤∴ bexf
( )( ) 211 0
min1 =+≥+ exf ( ) ( )( )min102 1+< xfxf
2
1≤a ( ) ( ) aefxf −== 1
1max1 1 ab ee −>+∴ 11 ( )1ln1 +−>∴ bea
( )
2
1ln2ln1ln =>≥+ eeb
( )
2
11ln1 <+−∴ be ( ) ]2
1,1ln1( +−∈∴ bea
当 时，
………14 分
综上所述：. ………15 分
2
1>a ( ) ( ) aefxf == 01max1
ab ee >+∴ 1 ( )1ln +<∴ bea
( )
2
1ln2ln1ln =>≥+ eeb
( )
2
11ln1 <+−∴ be ( )
+∈∴ 1ln,2
1 bea
( ) ( )( )1ln,1ln1 ++−∈ bb eea