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- 2021-06-21 发布
南昌二中2019—2020学年度上学期周练
高二数学（理）试卷
命题人：周启新 审题人：郑 涛
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知方程表示椭圆，则的取值范围为（ ）
A． 且 B．且 C． D．
3．两直线与平行，则它们之间的距离为
A． B． C． D．
4．化简方程为不含根式的形式是（ ）
A． B． C． D．
5．若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C.或 D．以上答案都不对
6. 若x，y满足 则的最大值为( )
A. B. C. D.
7．与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是
A． B．
C． D．
8. 设、是椭圆的左、右焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为
A. B. C. D.
9．设椭圆的离心率为，右焦点为，方程 的两个实根分别为和，则点（ ）
A．必在圆内 B．必在圆上
C．必在圆外 D．以上三种情形都有可能
10．已知 ，Q是椭圆上的动点，M是线段PQ上的点，且满足，则动点M的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
11．直线，当k变化时，此直线被椭圆截得的最大弦长为（ ）
A．4 B．2 C． D．
12．若对圆上任意一点， 的取值与无关，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C．或 D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．椭圆短轴的长为，则实数_________________.
14．已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则_____________.
15．已知点P是椭圆上一点，其左、右焦点分别为，若的外接圆半径为4，则的面积是__________．
16. 已知从圆外一点向该圆引一条切线，切点为， 为坐标原点，且有，则当取得最小值时点的坐标为__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．(本小题满分10分)
已知两直线．求分别满足下列条件的的值．
（Ⅰ）直线过点，并且直线与垂直；
（Ⅱ）直线与直线平行，并且坐标原点到，的距离相等．
18. (本小题满分12分)
（Ⅰ）求以原点为圆心，被直线所得的弦长为的圆的方程．
（Ⅱ）求与圆外切于（2，4）点且半径为的圆的方程.
19. (本小题满分12分)
已知圆的方程为．
（Ⅰ）求过点且与圆相切的直线的方程；
（Ⅱ）圆有一动点，若向量，求动点的轨迹方程．
20．(本小题满分12分)
已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）设直线与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线的距离为，求△AOB面积的最大值.
21.（本小题满分12分）
过点的动直线交轴的正半轴于点，交轴正半轴于点.
（Ⅰ）求△OAB(O为坐标原点)的面积最小值，并求取得最小值时直线的方程.
（Ⅱ）设是△OAB的面积取得最小值时△OAB的内切圆上的动点，
求的取值范围.
22. （本小题满分12分）
已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，且过点，直线与椭圆交于,两点（,两点不是左右顶点），若直线的斜率为时，弦的中点在直线上.
（Ⅰ）求椭圆的方程.
（Ⅱ）若以,两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线是否经过定点，若是，求出定点 坐标，若不是，请说明理由.
南昌二中2019—2020学年度上学期周练
高二数学（理）试卷参考答案
一、选择题 CBDCC DCBAB CD
二、填空题
13. 16 14. 4 15. 或 16.
三、解答题
17．【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 或
【解析】（Ⅰ）∵，∴，即①
又点在上，∴②
由①②得．…………………………5分
（Ⅱ）∵，∴，∴，
故和的方程可分别表示为：，，
又原点到与的距离相等．∴，∴或，
∴或．…………………………10分
18. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）因为点到直线的距离为，所以圆的半径为，故圆的方程为.…………………………6分
（Ⅱ）连心线斜率，设所求圆心(a ,b)，则，解得 ………①
因为两圆相外切，所以………②
由①②解得，或，……………10分
经检验，当时，，不符合题意，故舍去。
所以，所求圆的方程为.…………………………12分
19．【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）当斜率不存在时, 满足题意；
当斜率存在时，设切线方程为，由得， .
则所求的切线方程为……………6分
（Ⅱ） 设Q点的坐标为,
，即…12分
20．【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） [72，88]
【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意
，所求椭圆方程为． …………………………4分
（2）设，．
①当轴时，．…………………………5分
②当与轴不垂直时，
设直线的方程为．
由已知，得．…………………………7分
把代入椭圆方程，整理得，
，．…………………………9分
．
当且仅当，即时等号成立．当时，，
综上所述．
当最大时，面积取最大值．…………12分
21. (1)解：设斜率为K，则：y-3=k(x-4)得A（4－，0），B（0，3－4k）（k<0）.
,
由，故，.…………………6分
（Ⅱ）△OAB面积S最小时，A（8，0），B（0，6），｜AB｜＝10，直角△OAB内切圆半径，圆心为Q（2，2），
内切圆方程为(x－2)2+(y-2)2＝4. …………………………8分
设P（x,y），则x2+y2-4x-4y+4=0，其中0≤x≤4.
U=|PO|2+|PA|2+|PB|2=x2+y2+(x-8)2+y2+x2+(y-6)2=3x2+3y2
－16x-12y+100＝88-4x(0≤x≤4),当x=0时，Umax＝88，当x=4时，Umin＝72
∴U的范围是[72，88].………………………………………12分
22.【答案】 （Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，，
由题意得经过变换则有当时，，
再根据 得到，又因为椭圆过得到，
所以椭圆的方程为：.…………………………5分
（Ⅱ）由题意可得椭圆右顶点，
⑴当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，此时要使以,两点为直径的圆过椭圆的右顶点则有以解得或（舍），
此时直线为…………………………6分
⑵当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则有，
化简得①…………………………8分
联立直线和椭圆方程得，
， ②…………………………10分
把②代入①得
即
，得或此时直线过或（舍）
综上所述直线过定点.…………………………12分