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- 2021-06-21 发布
2018届高考数学（理）大题狂练
命题角度1：利用导数研究函数的单调性问题
1．已知函数（）.
（1）若函数的最小值为，求的值；
（2）设函数，试求的单调区间；
【答案】（1）（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）先求函数导数：，再讨论导函数在定义区间上是否有零点：①当时，函数在上单调递增，此时无最小值，舍去；②当时，函数在单调递减；在 上单调递增.即再时，函数取最小值，因此，解得.（2）先求函数导数：，再讨论导函数在定义区间上是否有零点：①当时，，函数在上单调递增；②当时，有两个根 或，再比较大小，分类讨论.
（2）由题意，得，
则，
①当时，，函数在上单调递增；
②当时，由，得或，
（A）若，则，此时，函数在上单调递减；
（B）若，则，
由，解得，由，解得，
所以函数在上单调递增，在与上单调递减；
（C）若，则，
同理可得，函数在上单调递增，在与上单调递减.
综上所述，的单调区间如下：
①当时，函数在上单调递增；
②当时，函数在上单调递减；
③当时，函数的增区间为，减区间为与；
④当时，函数的增区间为，减区间为与.
2. 已知是常数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，讨论函数的单调性.
【答案】(Ⅰ) ; （Ⅱ）在单调递增，在单调递减.
【解析】试题分析: (Ⅰ) 把x=1代入解析式求出切点坐标,对函数进行求导得到斜率,根据点斜式写出切线方程;（Ⅱ）把代入得到,求出函数的导数,再进行配方判断导函数的正负,按照极值点是否在定义域内分四类进行讨论,得出函数的单调性.
试题解析:(Ⅰ) 因为,所以,故曲线在点处的切线方程为
所以， 在和单调递增，在单调递减；
④当时，由得
（舍去）
所以， 在单调递增，在单调递减.
点睛:本题考查导数的几何意义和函数单调性的判断问题的综合应用,属于中档题目. 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率 ，过点P的切线方程为： ,求函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程与求函数y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程意义不同，前者切线有且只有一条，且方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)，后者可能不只一条．
3.已知函数在处有极值.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）设，讨论函数在区间上的单调性.
【答案】(1) 在处有极值时，,(2)见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出导函数，由∴且，求得或，检验后可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，利用导数研究函数的单调性和极值，分五种情况讨论，分别比较极值与端点处的函数值即可得结果.
试题解析：（Ⅰ）定义域为，
∵在处有极值，
∴且，
即
解得：或
当时，，
当时，
∴在处有极值时，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，其单调性和极值分布情况如表：
+
0
-
0
+
增
极大
减
极小
增
∴①当，即时，在区间上的单调递增；
②当，即时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；③当且，即时，在区间上单调递减；
④当，即时，在区间上的单调递减，在区间上单调递增；
⑤时，在区间上单调递增.
综上所述，当时函数在区间上的单调性为：
或时，单调递增；
时，在上的单调递增，在上单调递减；
时，单调递减；
时，在上单调递减，在上单调递增.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
4.已知函数.
（1）当时，判断的单调性；
（2）若在上为单调增函数，求实数 的取值范围.
【答案】（1）在上为增函数；（2）.
【解析】试题分析：（1）当时，对函数求导后因式分解，根据导数与单调性的知识可写出函数的单调区间.（2）当时，可判断函数导数恒为非负数，函数递增符合题意.当和时，利用函数的二阶导数判断出不符合题意.故.
试题解析：
(1)当时， ，所以在上为减函数，在 上为增函数，即，从而可得： 在定义域 上为增函数.
(2) ①当时，由于，所以满足在 上为单调增函数，即；
②当时， ，由方程的判别式： ，所以方程有两根，且由知， 在上为减函数，由可知，在时， ，这与 在上为单调增函数相矛盾. ③ 当时， ， 在上为减函数，由可知，在时， ，这与 在上为单调增函数也是相矛盾. 综上所述：实数的取值范围是.
点睛：本题主要考查导数与单调性的求解，考查利用导数解决已知函数在某个区间上递增求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法.第一问已知的值，利用导数求函数的单调区间，其基本步骤是：求函数导数、对导数进行通分因式分解、画出导函数图像、画出原函数图像，最后根据图像来研究题目所求的问题.第二问由于一阶导数无法解决问题，故考虑用二阶导数来解决.
5.已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）函数的图象能否与轴相切？若能与轴相切，求实数的值；否则，请说明理由；
（2）若函数在上单调递增，求实数能取到的最大整数值.
【答案】（1）见解析；（2）1．
【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用导数的几何意义建立方程进行分析求解；（2）依据题设条件借助等比数列的求和公式及等差数列的求和公式进行求解：
（1），
假设函数的图象与轴相切于点，则有，
即，
由②可知，代入①中可得．
∵，
∴，即，
∵，
∴方程无解，
故无论取何值，函数的图象都不与轴相切．
（2）记，
由题意知在上恒成立．
由，可得， 的必要条件是，
若，则，
当时， ，故，
下面证明：当时，不等式恒成立．
令，则．
记，则，
当时， 单调递增且；
当时， 单调递减且，
∵．
∴存在唯一的使得，且当时， ， 单调递减；
当时， 单调递增．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，∴，∴，
从而恒成立，故能取得的最大整数为1．
点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设立了两道问题，旨在考查导数知识在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，先依据题设建立方程组求出方程，然后依据方程有解还是无解，从而使得问题获解；解答第二问时，先依据题设构造函数用，
然后运用导数知识进行分析推证，从而使得问题简捷巧妙获解。
6. 已知函数．
（Ⅰ）若，求函数在上的最小值；
（Ⅱ）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；
【答案】(1)1 (2).
【解析】
试题分析：（Ⅰ）当时，，其定义域为，，
所以在上是增函数，当时，．
故函数在上的最小值是1．
7.己知函数， ．
（I）求函数上零点的个数；
（II）设，若函数在上是增函数．求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）零点个数为 （II）的取值范围是
【解析】试题分析：（1）先求得， 时， 恒成立，可证明时， ，可得在上单调递减，根据零点定理可得结果；（2）化简为分段函数，利用导数研究函数的单调性，讨论两种情况，分别分离参数求最值即可求得实数的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）函数 ,
求导，得，
当时， 恒成立，
当时， ，
∴ ，
∴在上恒成立，故在上单调递减．
又， ，
曲线在[1，2]上连续不间断，
∴由函数的零点存在性定理及其单调性知，∃唯一的∈（1，2），使，
所以，函数在上零点的个数为1．
（II）由（Ⅰ）知：当时， ＞0，当时， ＜0．
∴当时， =
求导，得
由于函数在上是增函数， 故在， 上恒成立.
②当时， ，
当时， 在上恒成立，
综合①②知，当时，函数在上是增函数．
故实数的取值范围是．
8.己知函数 (其中e为自然对数的底数)， ．
(I)求函数的单调区间；
(II)设，.已知直线是曲线的切线，且函数上是增函数．
(i)求实数的值；
(ii)求实数c的取值范围．
【答案】（I）见解析；（II）（1）；（2）.
【解析】试题分析：(I)求导得，讨论和即可；
(II) (i)由相切得，解方程即可；(ii)先构造来讨论和的大小，得，求导，得. 由函数在上是增函数，且曲线在上连续不断知： 在， 上恒成立，分两段讨论即可.
试题解析：
（Ⅰ）∵，
∴，
（Ⅱ）（1）对求导，得，
设直线与曲线切于点，则
解得，∴；
（2）记函数 ， ，
求导，得，
当时， 恒成立，
当时， ，
∴ ，
∴在上恒成立，故在上单调递减．
又， ，
曲线在[1，2]上连续不间断，
∴由函数的零点存在性定理及其单调性知，∃唯一的∈（1，2），使．
∴当时， ＞0，当时， ＜0．
∴当时， =
求导，得
由函数在上是增函数，且曲线在上连续不断知：
在， 上恒成立．
①当时， ≥0在上恒成立，
即在上恒成立，
记， ，则， ，
当 变化时， ， 变化情况列表如下：
3
0
极小值
∴min= 极小值= ，
故“在上恒成立”，只需 ，即．
②当时， ，
当时， 在上恒成立，
综合①②知，当时，函数在上是增函数．
故实数的取值范围是．
9.已知函数，.
（1）若直线与函数的图象相切，求的值；
（2）设，对于，都有，求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】【试题分析】（1）依据题设条件，借助导数的几何意义建立方程求解；（2）先将不等式进行等价转化，再借助题设条件与求导法则，运用导数知识分析求解：
(1)设与的切点为，
.又.
(2),又在上为增函数，不妨设，则，，即，设，在上为减函数，，在恒成立，即.设,,在上为增函数，，
，由已知，故实数的取值范围是.
点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，旨在考查导数在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。解答本题的第一问时，充分借助导数的几何意义，直接建立方程进行求解使得问题获解；解答本题的第二问时，先将绝对值不等式进行等价转化与化归，然后再构造函数，将参数从不等式中分离出来，通过求函数的最小值，从而求出实数的取值范围，使得问题巧妙获解。
10.已知函数．
（1）若，求函数的单调递增区间；
（2）若， ，证明： .
【答案】(1) 当，单调递增区间为；当时，单调递增区间为和
;(2)见解析.
【解析】试题分析：（1），求导，根据导函数的正负讨论单调性即可；
（2）欲证，即证在上单调递减，求导证明即可.
试题解析：
（2），则， ，
欲证，即证在上单调递减，
∵，
令，
则
∴在上为减函数，
而
∴，则，
∴在上单调递减，
又，∴.