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- 2021-06-21 发布
2016-2017学年福建省莆田二十五中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）
一．选择题12小题
1．曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（ ）
A．y=3x﹣1 B．y=﹣3x+5 C．y=3x+5 D．y=2x
2．某汽车启动阶段的路程函数为s（t）=2t3﹣5t2+2，则t=2秒时，汽车的加速度是（ ）
A．14 B．4 C．10 D．6
3．求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数f（x）=（0＜x＜10）（ ）
A．在（0，10）上是增函数
B．在（0，10）上是减函数
C．在（0，e）上是增函数，在（e，10）上是减函数
D．在（0，e）上是减函数，在（e，10）上是增函数
5．已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
6．从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+
1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2
8．函数g（x）=ax3+2（1﹣a）x2﹣3ax在区间（﹣∞，）内单调递减，则a的取值范围为（ ）
A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．﹣1≤a≤0
9．函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2） B．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）
C．0＜f（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2） D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）
10．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
11．若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：
①f（x）=sinx，g（x）=cosx；
②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；
③f（x）=x，g（x）=x2，
其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）
二．填空题4小题
13．若dx=6，则b= ．
14．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72cm3，其底面两邻边长之比为1：2，则它的高为 时，可使表面积最小．
15．设函数f（x）=x3﹣x2﹣2x+5，若对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，求实数m的取值范围．
16．若曲线f（x）=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是 ．
三．解答题5小题
17．（1）（x+1）dx
（2）（+x2）dx．
18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处有极小值﹣1
（1）求a、b的值；
（2）求出函数f（x）的单调区间．
19．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积．
20．已知函数f（x）=+lnx（x＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）在[，2]上的最小值；
（2）若函数f（x）在[，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程1﹣x+2xlnx﹣2mx=0在区间[，e]内恰有两个相异的实根，求实数m的取值范围．
21．设f（x）=ax﹣ln（1+x2），
（1）当a=时，求f（x）在（0，+∞）的极值；
（2）证明：当x＞0时，ln（1+x2）＜x；
（3）证明：（n∈N*，n≥2，e为自然对数的底数）
2016-2017学年福建省莆田二十五中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题12小题
1．曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（ ）
A．y=3x﹣1 B．y=﹣3x+5 C．y=3x+5 D．y=2x
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．
【解答】解：∵y=﹣x3+3x2∴y'=﹣3x2+6x，
∴y'|x=1=（﹣3x2+6x）|x=1=3，
∴曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y﹣2=3（x﹣1），
即y=3x﹣1，
故选A．
2．某汽车启动阶段的路程函数为s（t）=2t3﹣5t2+2，则t=2秒时，汽车的加速度是（ ）
A．14 B．4 C．10 D．6
【考点】导数的运算．
【分析】利用导数在物理上的意义，位移的导数是速度；
【解答】解：汽车的速度为v（t）=s′（t）=6t2﹣10t，
∴a=v′（t）=12t﹣10
∴a=v′（2）=24﹣10=14．
故选：A．
3．求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】定积分的简单应用．
【分析】画出图象确定所求区域，用定积分即可求解．
【解答】解：如图所示S=S△ABO﹣S曲边梯形ABO，故选：B．
4．函数f（x）=（0＜x＜10）（ ）
A．在（0，10）上是增函数
B．在（0，10）上是减函数
C．在（0，e）上是增函数，在（e，10）上是减函数
D．在（0，e）上是减函数，在（e，10）上是增函数
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】先求导，根据导数和函数的单调性的关系即可解决．
【解答】解：∵f（x）=（10＞x＞0），
∴f′（x）=
令f′（x）=0，即=0，得x=e，
当f′（x）＞0，即x＜e，此时f（x）为增函数，又x＞0，增区间为（0，e），
当f′（x）＜0，即10＞x＞e，此时f（x）为减函数，减区间为（e，10）．
故选：C．
5．已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【考点】导数的几何意义．
【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．
【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），
又∵
∴x0+a=1
∴y0=0，x0=﹣1
∴a=2．
故选项为B
6．从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】定积分在求面积中的应用；几何概型．
【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．
【解答】解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，
由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，
满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：
S（A）=
=．
所以P（A）=．
故选：B．
7．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】题目中条件：“函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决．
【解答】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，
有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．
若f（x）有极大值和极小值，
则△=4a2﹣12（a+6）＞0，
从而有a＞6或a＜﹣3，
故选C．
8．函数g（x）=ax3+2（1﹣a）x2﹣3ax在区间（﹣∞，）内单调递减，则a的取值范围为（ ）
A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．﹣1≤a≤0
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】由g′（x）=3ax2+4（1﹣a）x﹣3a，g（x）在（﹣∞，）递减，则g′（x）在（﹣∞，）上小于等于0，讨论（1）a=0时，（2）a＞0，（3）a＜0时的情况，从而求出a的范围．
【解答】解：∵g′（x）=3ax2+4（1﹣a）x﹣3a，g（x）在（﹣∞，）递减，
则g′（x）在（﹣∞，）上小于等于0，即：3ax2+4（1﹣a）x﹣3a≤0，
（1）a=0时，g′（x）≤0，解得：x≤0，即g（x）的减区间是（﹣∞，0），
∴≤0，才能g（x）在（﹣∞，）递减，解得a=0 成立．
（2）a＞0，g′（x）是一个开口向上的抛物线，
要使g′（x）在（﹣∞，）上小于等于0 解得：a无解；
（3）a＜0，g′（x）是一个开口向下的抛物线，
设g′（x）与x轴的左右两交点为A（x1，0），B（x2，0）
由韦达定理，知x1+x2=﹣，x1x2=﹣1，
解得：x1=﹣，
则在A左边和B右边的部分g′（x）≤0 又知g（x）在（﹣∞，）递减，
即g′（x）在（﹣∞，）上小于等于0，
∴x1≥，即：解得﹣1≤a≤5，取交集，得﹣1≤a＜0，
∴a的取值范围是﹣1≤a≤0．
故选：D．
9．函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2） B．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）
C．0＜f（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2） D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】由题意已知函数f（x）的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，判断f（x）′的增减性，最后根据函数的凸凹性进行判断，从而求解．
【解答】解：由函数f（x）的图象可知：
当x≥0时，f（x）单调递增，且当x=0时，f（0）＞0，
∴f′（2），f′（3），f（3）﹣f（2）＞0，
由此可知f（x）′在（0，+∝）上恒大于0，其图象为一条直线，
∵直线的斜率逐渐减小，
∴f′（x）单调递减，
∴f′（2）＞f′（3），
∵f（x）为凸函数，
∴f（3）﹣f（2）＜f′（2）
∴0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2），
故选B．
10．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象．
【分析】由题设条件知：当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．由此观察四个选项能够得到正确结果．
【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），
且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，
∴当x＞﹣2时，f′（x）＞0；
当x=﹣2时，f′（x）=0；
当x＜﹣2时，f′（x）＜0．
∴当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；
当x=﹣2时，xf′（x）=0；
当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．
故选A．
11．若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：
①f（x）=sinx，g（x）=cosx；
②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；
③f（x）=x，g（x）=x2，
其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】微积分基本定理．
【分析】利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．
【解答】解：对于①： [sinx•cosx]dx=（sinx）dx=﹣cosx=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；
对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x2﹣1）dx=（）≠0，∴f（x），g（x）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数；
对于③： x3dx=（）=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，
∴正交函数有2组，
故选：C．
12．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪
（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．
【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，
即当x＞0时，g′（x）恒小于0，
∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，
又∵g（﹣x）====g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（﹣1）==0，
∴函数g（x）的图象性质类似如图：
数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0
⇔或，
⇔0＜x＜1或x＜﹣1．
故选：A．
二．填空题4小题
13．若dx=6，则b= e4 ．
【考点】定积分．
【分析】根据定积分的计算即可．
【解答】解：若dx=2lnx|=2lnb﹣2lne=2lnb﹣2=6，
∴lnb=4，
∴b=e4，
故答案为：e4
14．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72cm3，其底面两邻边长之比为1：2，则它的高为 4cm 时，可使表面积最小．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】设两边分别为x cm、2xcm，高为y cm．则V=2x2y=72，y=，从而S=2（2x2+2xy+xy）=4x2+．由此利用导数性质能求出它的高为4cm时，可使表面积最小．
【解答】解：设两边分别为x cm、2xcm，高为y cm．
V=2x2y=72，y=，
S=2（2x2+2xy+xy）
=4x2+6xy=4x2+．
S′=8x﹣，令S′=0，解得x=3．
∴y==4（cm）．
∴它的高为4cm时，可使表面积最小．
故答案为：4cm．
15．设函数f（x）=x3﹣x2﹣2x+5，若对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，求实数m的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】由f′（x）=3x2﹣x﹣2，利用导数性质求出x∈[﹣1，2]时，f（x）max=f（2）=7，由对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，得m＞f（x）max=7，由此能求出实数m的取值范围．
【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2﹣2x+5，
∴f′（x）=3x2﹣x﹣2，
由f′（x）=0，得x=﹣，或x=1，
∵f（﹣1）=，f（﹣）=，f（1）=，f（2）=7，
∴x∈[﹣1，2]时，f（x）max=f（2）=7，
∵对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，
∴m＞f（x）max=7，
∴实数m的取值范围是（7，+∞）．
16．若曲线f（x）=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是 （﹣∞，0） ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先求函数f（x）=ax3+lnx的导函数f′（x），再将“线f（x）=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线”转化为f′（x）=0有正解问题，最后利用数形结合或分离参数法求出参数a的取值范围
【解答】解：∵f′（x）=3ax2+ （x＞0）
∵曲线f（x）=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线，
∴f′（x）=3ax2+=0有正解
即a=﹣有正解，∵
∴a＜0
故答案为（﹣∞，0）
三．解答题5小题
17．（1）（x+1）dx
（2）（+x2）dx．
【考点】定积分．
【分析】（1）根据定积分的计算法则计算即可，
（2）根据定积分的几何意义和定积分的计算法则计算即可．
【解答】解：1）（x+1）dx=（x2+x）|=（×22+2）﹣（+1）=
（2）（）dx表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的二分之一，
故（）dx=×4π=2π，
x2dx=x3|=（8+8）=，
∴（+x2）dx=2π+．
18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处有极小值﹣1
（1）求a、b的值；
（2）求出函数f（x）的单调区间．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处有极小值﹣1，即f（1）=﹣1，f′（1）=0，所以先求导函数，再代入列方程组，即可解得a、b的值；
（2）分别解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可得函数f（x）的单调增区间与单调递减区间．
【解答】解：（1）∵f′（x）=3x2﹣6ax+2b，函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处有极小值﹣1，
∴f（1）=﹣1，f′（1）=0
∴1﹣3a+2b=﹣1，3﹣6a+2b=0
解得a=，b=﹣
∴f（x）=x3﹣x2﹣x
（2）∵f′（x）=3x2﹣2x﹣1
∴由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＞0得x∈（﹣∞，﹣）或（1，+∞）
由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＜0得x∈（﹣，1）
∴函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，﹣），（1，+∞），减区间为：（﹣，1）．
19．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积．
【考点】定积分在求面积中的应用；导数的运算．
【分析】（1）根据导函数的解析式设出原函数的解析式，根据有两个相等的实根可得答案．
（2）根据定积分的定义可得答案．
【解答】解：（1）∵f′（x）=2x+2 设f（x）=x2+2x+c，
根据f（x）=0有两等根，得△=4﹣4c=0解得c=1，即f（x）=x2+2x+1；
（2）S==．
20．已知函数f（x）=+lnx（x＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）在[，2]上的最小值；
（2）若函数f（x）在[，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程1﹣x+2xlnx﹣2mx=0在区间[，e]内恰有两个相异的实根，求实数m的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）当a=1时，可求得f（x）、f′（x），由f′（x）=0，得x=1，求出函数的极值、端点处函数值，然后进行比较即可；
（2）利用导数求出f（x）的增区间，由题意可知[，+∞）为增区间的子集，由此可得a的范围；
（3）方程可变为，则问题等价于函数的图象与函数y=m的图象在区间[，e]内恰有两个交点．利用导数研究函数g（x）的性质、极值、端点处函数值，画出草图，借助图象可得m的范围；
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=，，
令f′（x）=0，得x=1，
于是，当＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜2时，f′（x）＞0，
所以当x=1时f（x）取得极小值，且f（1）=0，
又f（）=1﹣ln2，f（2）=ln2﹣，
所以当x=1时函数f（x）取得最小值0．
（2），
因为a为正实数，由定义域知x＞0，
所以函数的单调递增区间为，
又函数f（x）在上为增函数，所以，
所以a≥2；
（3）方程1﹣x+x2lnx﹣2mx=0在区间[，e]内恰有两个相异的实数根，
推得方程在区间[，e]内恰有两个相异的实数根，即方程在区间[，e]内恰有两个相异的实数根，
则函数的图象与函数y=m的图象在区间[，e]内恰有两个交点．
考察函数，，则g（x）在区间为减函数，在为增函数，
则有：，
，
g（）=+ln=﹣1=＜0＜g（e），
画函数，x∈[，e]的草图，要使函数的图象与函数y=m的图象在区间[，e]内恰有两个交点，
则要满足，
所以m的取值范围为{m|}．
21．设f（x）=ax﹣ln（1+x2），
（1）当a=时，求f（x）在（0，+∞）的极值；
（2）证明：当x＞0时，ln（1+x2）＜x；
（3）证明：（n∈N*，n≥2，e为自然对数的底数）
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明．
【分析】（1）求出函数的导数，得到极值点，利用导函数的符号判断函数的单调性求解函数的极值．
（2）利用导函数的单调性推出不等式，得到结果即可．
（3）利用（2）的结论，利用放缩法以及裂项求和，推出结果即可．
【解答】解：（1）当，∴，
f′（x），f（x）变化如下表：
x
2
（2，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴，，
（2）令g（x）=x﹣ln（1+x2），则，
∴g（x）在（0，+∞）上为增函数．
∴g（x）＞g（0）=0，∴ln（1+x2）＜x．
（3）由（2）知ln（1+x2）＜x，
令得，，n≥2．
∴，
则原不等式成立．
2017年4月15日