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- 2021-06-21 发布
2018届高考数学（文）大题狂练
命题角度1：空间平行，垂直关系的证明
1.如图1，在中， ， 、分别为， 的中点，点为线段上一点，将沿折起到的位置，使，如图2.
(I)求证： ∥平面；(II)求证： ；
(Ⅲ)若为线段中点，求证： ⊥平面
【答案】（I）见解析（II）见解析(Ⅲ)见解析
试题解析：
（I）因为分别为的中点，所以
又因为
（II）由已知得
所以， ，又因为
所以
点睛：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，对空间想象能力有很高要求.
2.如图，在三棱锥中，已知平面平面.
（1）若，求证： ；
（2）若过点作直线平面，求证： 平面.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】【试题分析】（1）依据题设借助面面垂直的性质定理证明平面平面，然后运用线面垂直的性质定理证明；（2）借助题设条件先证明平面，进而确定，然后再运用线面平行的性质定理推证：
证明：（1）因为平面 平面 ，平面 平面， 平面， ，所以平面.因为平面，所以 .又因为 平面所以平面又因为平面所以.
3.如图，在四棱锥中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．
（1）求到平面的距离
（2）在线段上是否存在一点，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（I）（II）见解析.
【解析】试题分析：
(1)利用等体积法结合题意可求得到平面的距离为；
(2)当时满足题意，利用题中所给的条件进行证明即可.
试题解析：
解：（1）方法一：因为平面， ,又,
所以平面，又，所以到平面的距离为.
方法二：等积法求高.
4.如图，四棱柱中， 平面， ， ， 为的中点.
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若， ，求证：平面平面.
【答案】（I）详见解析；（II）详见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）分别取的中点，连结，可证明四边形是平行四边形，所有 又根据中，中位线的性质， ，根据平行线的传递性可知；（Ⅱ）根据条件可证明，所有
平面，即，也可证明，所有平面，即证明了平面平面.
试题解析：（Ⅰ）分别取中的中点为，并连接，
则由， 得， ， ，
可得四边形为平行四边形，那么， ，又， ，
所以，且，得四边形是平行四边形，
可得，又，所以.
（Ⅱ）取中点，连接，则，
可得，则，
即， ，那么，又，
得平面，那么，由，
得，又，那么，
同理， ，即得，可得平面，
即得平面平面.
【点睛】本题考查了平行与垂直的证明，而垂直的证明是难点，若是证明线线垂直，一般转化为证明线面垂直，线线垂直，或是三边满足勾股定理，证明线线垂直；若是证明线面垂直，一般根据判断定理，证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线面垂直；若是证明面面垂直，同样是根据判断定理转化为证明线面垂直，则面面垂直.
5.如图，四边形与均为平行四边形， 分别是的中点．
（1）求证： 平面；
（2）求证：平面平面.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：
(1)连接，结合题意证得，利用线面平行的判断定理即可证得平面.
(2)结合题意首先证得线面平行： 平面， 平面，且与为平面内的两条相交直线，据此可得平面平面.
（2）因为分别为平行四边形的边的中点，
所以，
又平面， 平面，
所以平面.
又为中点，
所以为的中位线，所以，
又平面， 平面，
所以平面，
又与为平面内的两条相交直线，
所以平面平面.
点睛：证明两个平面平行的方法有：
①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；
②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”)，通过线面平行来完成证明；
③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；
④借助“传递性”来完成．
6.在正方体中， 分别是的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）棱上是否存在点，使平面？请证明你的结论.
【答案】（1）见解析（2）在棱上取点，使得，则平面.
【解析】试题分析：(1)证明平面平面，可先证明平面，可先证明， . (2) 延长， 交于，连交于,得且，四边形为平行四边形，所以，即．即证得平面
试题解析：
(2)解：在棱上取点，使得，则平面．
证明如下：延长， 交于，连交于．
因为， 为中点，所以为中点．
因为，所以，且．
因为， 为中点，所以且，
即四边形为平行四边形，
所以，即．
又平面， 平面，
所以平面．
点睛：存在性问题，可以由果索因，找出所求点的位置，写过程时把结论先写上，利用这一条件证出结果.
7.如图，在多面体中，平面平面，四边形是菱形，四边形是矩形， ， 是的中点.
（1）求证： 平面；
（2）求证：平面平面.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：
(1)利用题意证得， 然后由线面平行的判断定理可得平面.
(2)利用题意证得平面.由面面垂直的判断定理可得平面平面.
试题解析：
（1）证明：设，连接，
因为四边形是菱形，O是AC的中点
又是CF的中点，所以是三角形的中位线，
所以，
又平面， 平面，
∴平面.
（2）连接，四边形是菱形，所以.
因为平面平面，平面平面，
平面， ，
所以平面，
又平面，所以.
在矩形中，设，则， ，
由勾股定理可得， 为直角三角形，且.
因为， ， ，
所以平面.
又平面，
所以平面平面.
8.如图，在几何体中，底面为矩形， ， ， ， ， 为棱上一点，平面与棱交于点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证： ；
（Ⅲ）若，试问平面是否可能与平面垂直？若能，求出值；若不能，说明理由。
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】试题分析：
(1)利用题意证得平面．所以．
(2)利用线面平行的性质定理平面．所以．
(3)假设平面是否可能与平面垂直，结合题意可求得
（Ⅲ）平面与平面可以垂直．证明如下：
连接．因为， ，
所以平面．
所以．
因为，所以．
因为平面平面，
若使平面平面，
则平面，所以．
在梯形中，因为， ， ， ，
所以．
所以若使能成立，则为的中点．
所以．
点睛：高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.
9.如图，梯形中， ，四边形为正方形，且平面平面.
（1）求证： ；
（2）若与相交于点，那么在棱上是否存在点，使得平面平面？并说明理由.
【答案】(1)见解析；(2)见解析.
【解析】试题分析：
(1)利用题意首先证得平面，由线面垂直的定义可得.
(2) 在棱上存在点，使得平面平面，且，利用面面平行的判断定理结合题意证得该结论即可.
试题解析：
(1)证明：连接.因为在梯形中， ，
，又因为平面平面，平面平面平面平面，又因为
正方形中， 且平面平面，又平面.
点睛：高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.
10.如图，已知长方形中， ， 为的中点，将沿折起，使得平面平面，设点是线段上的一动点（不与， 重合）．
（Ⅰ）当时，求三棱锥的体积；
（Ⅱ）求证： 不可能与垂直．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．
【解析】试题分析：
（Ⅰ）由于折叠时有平面平面，因此取中点，则有，从而有平面，因此是三棱锥的高，求出高和底面积可得体积；
（Ⅱ）假设能与垂直，由已知又可得，从而平面，因此有，从而有平面，因此，这是不可能的，结论得出．
试题解析：
（Ⅱ）假设．
由（Ⅰ）可知， 平面，∴．
在长方形中， ，
∴、都是等腰直角三角形，∴．
而、平面， ，
∴平面．
而平面，
∴．
由假设， 、平面， ，
∴平面，
而平面，∴，
这与已知是长方形矛盾，
所以， 不可能与垂直．