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- 2021-06-21 发布
2017-2018学年内蒙古包头三十三中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每题只有一个正确答案）
1．（5分）下列命题中正确的是（ ）
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件
C．命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否命题为：“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”
D．已知命题p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则￢p：∃x∈R，x2+x﹣1≥0
2．（5分）设x，y∈R，则“x2+y2≥4”是“x≥2且y≥2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．（5分）下列命题中，真命题是（ ）
A．∃m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是偶函数
B．∃m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是奇函数
C．∀m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）都是偶函数
D．∀m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）都是奇函数
4．（5分）下列命题错误的是（ ）
A．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0无实根，则m≤0”
B．“x=2”是“x2﹣5x+6=0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．对于命题：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0
5．（5分）直线l1：kx﹣y﹣3=0和l2：x+（2k+3）y﹣2=0互相垂直，则k=（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣或﹣1 D．或1
6．（5分）直线x﹣y+5=0与圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4=0相交所截得的弦长等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（ ）
A． B．2 C．3 D．6
8．（5分）若曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足（ ）
A．a2＞b2 B． C．0＜a＜b D．0＜b＜a
9．（5分）椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则P到F2的距离为（ ）
A． B． C． D．4
10．（5分）抛物线y=x2到直线2x﹣y=4距离最近的点的坐标是（ ）
A．（，） B．（1，1） C．（，） D．（2，4）
11．（5分）若椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|等于（ ）
A．m﹣a B． C．m2﹣a2 D．
12．（5分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2．若点P是椭圆C上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2
=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a= ．
14．（5分）已知对任意k∈R，直线y﹣kx﹣1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是 ．
15．（5分）已知点F1、F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，在此椭圆上存在点P，使∠F1PF2=60°，且|PF1|=2|PF2|，则此椭圆的离心率为 ．
16．（5分）过点（，0）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于 ．
三、简答题（共70分），写出必要的解题过程.
17．（10分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有实根，q：不等式x2﹣2x+m＞0的解集为R．若命题“p∨q”是假命题，求实数m的取值范围．
18．（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．
（1）求直线CD的方程；
（2）求圆P的方程．
19．（12分）过点Q（4，1）作抛物线y2=8x的弦AB，恰被Q所平分．
（1）求AB所在直线方程；
（2）求|AB|的长．
20．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为且过点P（4，﹣）．
（1）求双曲线的方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：•=0．
21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点（﹣，1），长轴长为2，过点C（﹣1，0）且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A、B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段AB中点的横坐标是﹣，求直线l的斜率．
22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当△AMN的面积为时，求实数k的值．
2017-2018学年内蒙古包头三十三中高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每题只有一个正确答案）
1．（5分）下列命题中正确的是（ ）
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件
C．命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否命题为：“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”
D．已知命题p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则￢p：∃x∈R，x2+x﹣1≥0
【分析】A中，p∨q为真命题时，p、q都为真命题或p、q一真一假，判断A错误；
B中，x=5时x2﹣4x﹣5=0，判断充分性成立，x2﹣4x﹣5=0时x=5或x=﹣1，判断必要性不成立，B正确；
C中，根据命题“若p则q”的否命题为“若￢p则￢q”，判断C错误；
D中，根据特称命题的否定是全称命题，判断D错误．
【解答】解：对于A，若p∨q为真命题，则p、q都为真命题或p、q一真一假，
∴p∧q不一定为真命题，A错误；
对于B，x=5时，x2﹣4x﹣5=25﹣20﹣5=0，充分性成立，
x2﹣4x﹣5=0时，x=5或x=﹣1，必要性不成立，
∴“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件，B正确；
对于C，命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否命题为：
“若x≥﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”，∴C错误；
对于D，命题p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，
则￢p：∀x∈R，x2+x﹣1≥0，∴D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了四种命题的应用问题，是基础题目．
2．（5分）设x，y∈R，则“x2+y2≥4”是“x≥2且y≥2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【分析】由“x≥2且y≥2”推出“x2+y2≥4”可证明必要性；由满足“x2+y2≥4”可举出反例推翻“x≥2且y≥2”，则证明不充分性，综合可得答案．
【解答】解：若x2+y2≥4，则如（﹣2，﹣2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2，不是充分条件，
若x≥2且y≥2，则x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4，是必要条件，
所以“x2+y2≥4”是“x≥2且y≥2”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的含义，是一道基础题．
3．（5分）下列命题中，真命题是（ ）
A．∃m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是偶函数
B．∃m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是奇函数
C．∀m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）都是偶函数
D．∀m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）都是奇函数
【分析】本题主要考查函数奇偶性的基本概念即在定义域内对于任意的x都有f（﹣x）=﹣f（x），则f（x）是奇函数，在定义域内对于任意的x都有f（﹣x）=f（x），则f（x）是偶函数，还考查了存在量词、全称量词的含义与应用，属于容易题．
【解答】解：A、当m=0时，函数f（x）=x2是偶函数，故A正确；
B、f（﹣x）=x2﹣mx，﹣f（x）=﹣x2﹣mx，不存在m使函数在定义域内对任意的x都有f（﹣x）=﹣f（x），故B错误；
C、仅当m=0时f（x）是偶函数，m取其它值均不满足题意，故C错误；
D、一个m也没有更谈不上对任意的m的值，故D错误．
故选A．
【点评】本题主要是函数奇偶性的应用，判断函数奇偶性有两步①定义域是否关于原点对称②若定义域关于原点对称则再看f（﹣x）与f（x）的关系，有时奇偶性的判断也可以根据函数的图象．
4．（5分）下列命题错误的是（ ）
A．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0无实根，则m≤0”
B．“x=2”是“x2﹣5x+6=0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．对于命题：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0
【分析】A写出该命题的逆否命题，判断A正确；
B判断充分性和必要性是否成立即可；
C根据复合命题的真假性判断即可；
D根据特称命题的否定是全称命题，判断即可．
【解答】解：对于A，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题为：
“若方程x2+x﹣m=0无实根，则m≤0”，A正确；
对于B，x=2时，方程x2﹣5x+6=0成立，充分性成立；
方程x2﹣5x+6=0成立时，x=2或x=3，必要性不成立；
是充分不必要条件，B正确；
对于C，p∧q为假命题，则p、q一真一假，
或p、q均为假命题，C错误；
对于D，特称命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，
则它的否定是¬p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，D正确．
故选：C．
【点评】本题考查了四种命题的关系与应用问题，也考查了命题真假性问题，是中档题．
5．（5分）直线l1：kx﹣y﹣3=0和l2：x+（2k+3）y﹣2=0互相垂直，则k=（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣或﹣1 D．或1
【分析】根据直线l1：kx﹣y﹣3=0和l2：x+（2k+3）y﹣2=0互相垂直，利用两条直线互相垂直的条件，建立方程，即可求得结论．
【解答】解：∵直线l1：kx﹣y﹣3=0和l2：x+（2k+3）y﹣2=0互相垂直
∴k﹣（2k+3）=0
∴k=﹣3
故选A．
【点评】本题考查两条直线垂直的条件，考查计算能力，属于基础题．
6．（5分）直线x﹣y+5=0与圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4=0相交所截得的弦长等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径r，根据题意画出图形，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，由求出的d与半径r，根据垂径定理与勾股定理求出|AB|的一半，即可得到|AB|的长．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=9，
∴圆心坐标为（1，2），半径r=3，
∴圆心到直线x﹣y+5=0的距离d=
则|AB|=2=2=2
故选B
【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，勾股定理以及垂径定理．当直线与圆相交时，常常过圆心作直线的垂直，由弦心距、圆的半径以及弦长得一半构造直角三角形，利用勾股定理求出直线被圆所截得弦的长度．
7．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（ ）
A． B．2 C．3 D．6
【分析】求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，即x±y=0，
圆心（3，0）到直线的距离d==，
∴r=．
故选A．
【点评】本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式．
8．（5分）若曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足（ ）
A．a2＞b2 B． C．0＜a＜b D．0＜b＜a
【分析】曲线ax2+by2=1可化为，利用焦点在x轴上，建立不等式可得结论．
【解答】解：由题意，曲线ax2+by2=1可化为．
∵曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆，
∴，
∴b＞a＞0．
故选C．
【点评】本题考查焦点在x轴上的椭圆，考查学生的计算能力，属于基础题．
9．（5分）椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则P到F2的距离为（ ）
A． B． C． D．4
【分析】根据椭圆的方程求出椭圆的焦点坐标，然后结合题意求出P点的坐标可得的长度，再根据椭圆的定义计算出．
【解答】解：由椭圆可得椭圆的焦点坐标为（，0）
设F点的坐标为（﹣，0）
所以点P的坐标为（﹣，），所以=．
根据椭圆的定义可得，
所以．
故选C．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的有关性质与椭圆的定义．
10．（5分）抛物线y=x2到直线2x﹣y=4距离最近的点的坐标是（ ）
A．（，） B．（1，1） C．（，） D．（2，4）
【分析】设出P的坐标，进而根据点到直线的距离公式求得P到直线的距离的表达式，根据x的范围求得距离的最小值．
【解答】解：设P（x，y）为抛物线y=x2上任一点，
则P到直线的距离d===，
∴x=1时，d取最小值，
此时P（1，1）．
故选B
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，点到直线的距离公式．考查了学生数形结合的数学思想和基本的运算能力．
11．（5分）若椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|等于（ ）
A．m﹣a B． C．m2﹣a2 D．
【分析】由题意知|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|﹣|PF2|=2a，由此可知|PF1|•|PF2|==m﹣a．
【解答】解：∵椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，
P是两曲线的一个交点，
∴|PF1|+|PF2|=2，|PF1|﹣|PF2|=2，
|PF1|•|PF2|==m﹣a．
故选A．
【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
12．（5分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2．若点P是椭圆C上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知可得点A，F1，F2的坐标，再利用数量积运算法则和点P的纵坐标的取值范围即可得出最大值．
【解答】解：如图所示，由椭圆C：可得：a2=4，b2=3，
=1．∴F1（﹣1，0），F2（1，0）．
∵AF2⊥F1F2，∴．
设P（x，y），则．又，
∴==．
∴的最大值为．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算等基础知识与基本技能方法，属于基础题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a= 4± ．
【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．
【解答】解：圆心C（1，a），半径r=2，
∵△ABC为等边三角形，
∴圆心C到直线AB的距离d=，
即d=，
平方得a2﹣8a+1=0，
解得a=4±，
故答案为：4±
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．
14．（5分）已知对任意k∈R，直线y﹣kx﹣1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是 [1，5）∪（5，+∞） ．
【分析】根据题意，由椭圆的方程分析可得m＞0且m≠5，分析可得椭圆与yy轴正半轴的交点以及直线过定点的坐标；进而分析可得若直线y﹣kx﹣1=0与椭圆+=1恒有公共点，必有≥1，解可得m的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆的方程为：+=1，则有m＞0且m≠5，
椭圆与y轴正半轴的交点为（0，），
直线y﹣kx﹣1=0即y=kx+1，过定点（0，1），
若直线y﹣kx﹣1=0与椭圆+=1恒有公共点，必有≥1，
解可得m≥1，
又由m＞0且m≠5，
则实数m的取值范围是[1，5）∪（5，+∞）；
故答案为：[1，5）∪（5，+∞）．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，注意过的定点．
15．（5分）已知点F1、F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，在此椭圆上存在点P，使∠F1PF2=60°，且|PF1|=2|PF2|，则此椭圆的离心率为 ．
【分析】根据题设条件，利用余弦定理能够求出|PF1|=，|PF2|=，再由椭圆定义可以推导出a=c，从而求出该双曲线的离心率．
【解答】解：设|PF1|=2x，|PF2|=x，|F1F2|=2c，
∵∠F1PF2=60°，∴cos60°==，解得x=．
∴|PF1|=，|PF2|=，
∴=2a，得a=c，
∴e=，
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义及三角形中余弦定理的应用，是中档题．
16．（5分）过点（，0）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于 ﹣ ．
【分析】通过曲线方程确定曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点），直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，从而确定直线斜率
﹣1＜k＜0，用含k的式子表示出三角形AOB的面积，利用二次函数求最值，确定直线斜率k的值．
【解答】解：由，得
x2+y2=1（y≥0）
∴曲线表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）
由题知，直线斜率存在，设直线l的斜率为k，
若直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合
则﹣1＜k＜0
∴直线l的方程为：
即
则圆心O到直线l的距离
直线l被半圆所截得的弦长为
|AB|=
∴
=
=
=
令
则
当
S△AOB有最大值为
此时，
∴
又∵﹣1＜k＜0
∴
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，利用数形结合，二次函数求最值等思想进行解答．
三、简答题（共70分），写出必要的解题过程.
17．（10分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有实根，q：不等式x2﹣2x+m＞0的解集为R．若命题“p∨q”是假命题，求实数m的取值范围．
【分析】直接根据方程的根的情况求出m的范围，进一步利用复合命题求出结果．
【解答】解：命题p：方程x2+mx+1=0有实根，
则：△=m2﹣4≥0，
解得：m≥2或m≤﹣2．
q：不等式x2﹣2x+m＞0的解集为R．
则：△=4﹣4m＜0，
解得：m＞1．
命题“p∨q”是假命题
则：p假q假．
则：，
解得：﹣2＜m≤1．
故m的取值范围为：﹣2＜m≤1．
【点评】本题考查的知识要点：二次函数的解集的应用，复合命题的判定．
18．（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．
（1）求直线CD的方程；
（2）求圆P的方程．
【分析】（1）直接用点斜式求出直线CD的方程；
（2）根据条件得知|PA|为圆的半径，点P在直线CD上，列方程求得圆心P坐标，从而求出圆P的方程．
【解答】解：（1）直线AB的斜率kAB=1，AB中点坐标为（1，2），…（3分）
由题意可知直线AB与CD垂直，故kAD•kAB=﹣1．
所以kCD=﹣1．
∴直线CD方程为y﹣2=﹣（x﹣1）即x+y﹣3=0 …（6分）
（2）设圆心P（a，b），则由点P在直线CD上得：
a+b﹣3=0 ①…（8分）
又CD的长是圆P的直径，所以直径|CD|=4，
∵以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）
∴|PA|=2．
∵P（a，b），A（﹣1，0）
∴|PA|2=（a+1）2+b2=（2）2②…（10分）
由①②解得或
∴圆心P（﹣3，6）或P（5，﹣2）…（12分）
∴圆P的方程为（x+3）2+（y﹣6）2=40 或（x﹣5）2+（y+2）2=40…（14分）
【点评】此题考查直线方程的点斜式，和圆的标准方程．
19．（12分）过点Q（4，1）作抛物线y2=8x的弦AB，恰被Q所平分．
（1）求AB所在直线方程；
（2）求|AB|的长．
【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由已知条件利用点差法能求出AB所在的直线方程；
（2）联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式即可求出|AB|的长．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）
∵Q（4，1）是AB中点，
∴，，
∴x1+x2=8，y1+y2=2，
又∵A（x1，y1），B（x2，y2）在y2=8x上，
∴y12=8x1，y22=8x2，
两式相减，得：y22﹣y12=2（y2﹣y1）=8（x2﹣x1），
得到，
∴直线AB的斜率k=4，
∵直线经过Q（4，1），
∴直线AB的方程为y﹣1=4（x﹣4），
整理，得AB所在的直线方程：4x﹣y﹣15=0；
（2）联立，整理得16x2﹣128x+225=0，
∴x1+x2=，，
∴|AB|==，
|AB|的长为．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
20．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为且过点P（4，﹣）．
（1）求双曲线的方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：•=0．
【分析】（1）双曲线方程为x2﹣y2=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程，
（2）先求出•的解析式，把点M（3，m）代入双曲线，可得出•=0，
【解答】解：（1）解：∵e=，
∴可设双曲线方程为x2﹣y2=λ．
∵过点（4，﹣），∴16﹣10=λ，即λ=6．
∴双曲线方程为x2﹣y2=6；
（2）证明：∵=（﹣3﹣2，﹣m），=（2﹣3，﹣m），
∴•=（﹣3﹣2）×（2﹣3）+m2=﹣3+m2，
∵M点在双曲线上，∴9﹣m2=6，即m2﹣3=0，
∴•=0．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查向量的数量积公式，属于中档题．
21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点（﹣，1），长轴长为2，过点C（﹣1，0）且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A、B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段AB中点的横坐标是﹣，求直线l的斜率．
【分析】（1）利用椭圆长轴长为2，求出a，利用椭圆过点（﹣，1），代入椭圆方程，求出b，即可得出椭圆的方程；
（2）设直线方程为y=k（x+1）代入椭圆方程，可得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0，利用线段AB中点的横坐标是﹣，结合韦达定理，即可求直线l的斜率．
【解答】解：（1）∵椭圆长轴长为2，∴a=，
又∵椭圆过点（﹣，1），代入椭圆方程得b2=，
∴椭圆方程为
即x2+3y2=5…..（5分）
（2）∵直线过点C（﹣1，0）且斜率为k，
设直线方程为y=k（x+1）
代入椭圆方程，可得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵线段AB中点的横坐标是﹣，
∴x1+x2==﹣1，
∴k=．
【点评】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．
22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当△AMN的面积为时，求实数k的值．
【分析】（1）由a=2，根据椭圆的离心率公式及a与b和c的关系，即可求得b的值，即可求得椭圆的标准方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得三角形的面积公式，即可求得k的值．
【解答】解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，则a=2，由椭圆的离心率e==，则c=，
b2=a2﹣c2=2，
则椭圆C的方程为：；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理得，（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，
△＞0，∴x1+x2=，x1x2=．
∴|MN|====．
点A到直线MN的距离d=．
∴△AMN的面积S=×|MN|×d==，
化为：20k4﹣7k2﹣13=0，
解得k2=1，解得k=±1．
实数k的值±1．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．