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- 2021-06-21 发布
2019届高三单元测试
数学（文）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1. 复数=( )
A. 12i B. 1+2i C.12i D.1+2i
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=15,S5=55,则数列{an}的公差是( )
A. B.4 C. 4 D. 3
3.已知m,l是直线,α,β是平面,给出下列命题:
①若l垂直于α,则l垂直于α内的所有直线; ②若l平行于α,则l平行于α内的所有直线;
③若l⊂β,且l⊥α,则α⊥β; ④若m⊂α,l⊂β,且α∥β,则m∥l.
其中正确的命题的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
4.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则= ( )
A.a2 B.a2 C. a2 D. a2
5.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足:3a1-+3a15=0,且a8=b10,则b3b17=( )
A.9 B.12 C.16 D.36
6.已知向量
A． B．2 C． D．3
7.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是( )
A. +1 B.+3 C.+1 D.+3
8.实数x,y满足则z=4x+3y的最大值为( )
A.3 B.4 C.18 D.24
9..已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ为实数,(b+λa)⊥c,则λ的值为( )
A. B. C. D.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=,则a2 017=( )
A.2 016 B.2 017 C.4 032 D.4 034
11.设实数m,n满足m>0,n<0,且=1,则4m+n( )
A.有最小值9 B.有最大值9 C.有最大值1 D.有最小值1
12. 设各项均为正数的数列的前n项和为，且满足
，n∈N*. 则数列的通项公式是
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13已知向量 ，则a与b夹角的大小为_________.
14设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1=
15如图，正方形中，分别是的中点，若，则
．
16.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若， ，，则此球的表面积等于 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,Sn=2an+k,等差数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn=n2.
(1)求k和Sn;
(2)若cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Mn.
18. 在锐角中，角A,B,C的对边分别为，向量，向量，且.
（I）求角B的大小；
（II）若，求的值.
19. 已知，，函数．
（1）求函数的值域；
（2）在△中，角和边满足,求边．
20. 在Rt△ABF中,AB=2BF=4,C,E分别是AB,AF的中点(如左图).将此三角形沿CE对折,使平面AEC⊥平面BCEF(如右图),已知D是AB的中点.
求证:(1)CD∥平面AEF;
(2)平面AEF⊥平面ABF.
21.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是C1C上一点.
(1)当CF=2时,证明:B1F⊥平面ADF;
(2)若FD⊥B1D,求三棱锥B1-ADF的体积.
22. 已知数列{an}满足a1=1,an+1=1 ,其中n∈N*.
(1)设bn=,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式.
(2)设cn=,数列{cncn+2}的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得Tn<对于n∈N*恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.
2019届高三单元测试
数学（文）答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
ABCDD CADAB CA
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 14. -1 15 . 16.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. .解 (1)∵Sn=2an+k, ∴当n=1时,S1=2a1+k.
∴a1=-k=2,即k=-2. ∴Sn=2an-2.
∴当n≥2时,Sn-1=2an-1-2. ∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1. ∴an=2an-1.
∴数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列.∴{an}=2n.
∴Sn=2n+1-2.
(2)∵等差数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn=n2,
∴当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=n2-(n-1)2=2n-1.
又b1=T1=1符合bn=2n-1,
∴bn=2n-1.∴cn=an·bn=(2n-1)2n.
∴数列{cn}的前n项和
Mn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n, ①
∴2Mn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1, ②
由①-②,得-Mn=2+2×22+2×23+2×24+…+2×2n-(2n-1)×2n+1
=2+2×-(2n-1)×2n+1,
即Mn=6+(2n-3)2n+1.
18.
19. 解：（I）
.........................3分
，则函数的值域为；. ........................5分
（II），，.........................6分
又，，则，.........................8分
由得，已知，.........................10分
由余弦定理得．.........................12分
20. 证明 (1)取AF中点M,连接DM,EM.
∵D,M分别是AB,AF的中点,
∴DM是△ABF的中位线,
∴DM