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- 2021-06-21 发布
2019—2020学年第一学期半期考
高三（文科）数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。)
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数满足,其中为虚数单位，则复数的共轭复数（ ）
A. B． C． D．
3.“在内”是“在内单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4.已知在平面直角坐标系中，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
5.设变量满足，则目标函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6.设等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
7.设，则（ ）
A. B. C. D.
8．我们知道：在平面内，点到直线的距离公式，
通过类比的方法，可求得：在空间中，点到直线的距离为( )
A． B． C. D．
9.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当
与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此
时扇形的圆心角的弧度数为( )
A. B. C. D.
10.函数的图像为，以下结论错误的是（ ）
A.图像关于直线对称
B.图像关于点对称
C.函数在区间内是增函数
D.由图像向右平移个单位长度可以得到图像
11．已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12.已知实数满足，，则的最小值为( )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,请将正确答案填入答题卷中。）
13.已知第一象限的点在直线上，则的最小值为_________.
14.数列中，若，，则 .
15.在中，内角所对应的边长分别为，且，，则的外接圆面积为__________．
16.已知是上的偶函数，且，若关于的方程
有三个不相等的实数根，则的取值范围_______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分12分）已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若，求的取值范围.
18.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2），记数列的前项和为，求证:.
19.（本小题满分12分）已知函数.
（1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值；
（2）若函数在上是增函数，求实数的最大值．
20.（本小题满分12分）如图，在底面为梯形的四棱锥中，已知， ，，.
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积.
21.（本小题满分12分）已知,.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若使得都有恒成立，且，求满
足条件的实数的取值集合．
选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目
计分．
22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为.
（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
（2）若是曲线上的动点，为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）设的解集为，求集合；
（2）已知为（1）中集合中的最大整数，且（其中，，均为正
实数），求证：.
数学(文科)参考答案
一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.)
1-5 BBABA 6-10 DCCDD 11-12 CB
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
13、9 14、 15、 16、
三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.解：(1）
. …3分
由，，得，.
∴函数的单调递减区间为，. …………6分
（2） 由（1）得,
∵，∴, …………8分
∴， …………10分
∴.
即的取值范围为. …………12分
18. 解：（1）当时，; …………1分
当时，. …………5分
又满足上式,
. …………6分
(2)由（1）得.
∴ , …………8分
…………11分
又，∴. …………12分
19.解 (1)∵∴， …………1分
则由题意知，即. …………3分
∴，则
于是.
∴. …………5分
(2)由题意，即恒成立，∴恒成立． …………6分
设，则. …………7分
令，得
∴当时，，为减函数；
当时，，为减函数，
∴.
∴，即的最大值为. …………12分
20.解：（1）设为的中点，连接，， …………1分
∵，∴，
∵，∴，
又平面，且，
平面，又平面，
∴. ………5分
（2）∵在中，，，为的中点，
∴为等腰直角三角形，且，， …………6分
∵在中，，为的中点，
∴为等边三角形,且， …………7分
∵在中，，∴为直角三角形，且，…8分
∴又，且，
∴平面. …………10分
∴.
∵,
∴.
. …………12分
21、解：由题意知 …………1分
（1） …………2分
①当时，上恒成立,
上单调递增. …………3分
②当时，由得， 由 得
上单调递减，在 上单调递增. …………4分
综上：①当时，上单调递增，无递减区间;
②当时，上单调递减，在 上单调递增. …………5分
（2）由题意函数存在最小值且, …………6分
①当时，由（1）上单调递增且,
当时，不符合条件; …………7分
②当时，上单调递减，在 上单调递增,
，
只需即, …………8分
记 则 …………9分
由得，由 得 ,
上单调递增，上单调递减, …………10分
即. …………11分
即满足条件的取值集合为. …………12分
22.解：（1）∵直线的极坐标方程为，即.
由，，可得直线的直角坐标方程为. …………2分
将曲线的参数方程消去参数，
得曲线的普通方程为.(注：漏，扣1分) …………5分
（2）设， …………6分
点的极坐标化为直角坐标为，
则. …………7分
∴点到直线的距离.
当，即时，等号成立.
∴点到直线的距离的最大值为. …………10分
23.解：（1），即， …………1分
当时，不等式化为，解得：；
当时，不等式化为，解得：；
当时，不等式化为，解得：.
综上可知，集合. …………5分
（2） 由（1）知，则. …………6分
又，，均为正实数，
则>0,同理>0,>0,
则
即. …………10分