- 2.18 MB
- 2021-06-21 发布
湖南省岳阳县第一中学2016-2017学年度第一学期高二期末考试
数 学（理）
时量：120分钟 分值：150分 命题：费家和 审题：彭小霞
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足条件：，则对应的点位于 （ ）
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为 ( )
A.105 B.16 C.15 D.1
3.设R，则“”是“直线与
直线平行”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．设变量满足约束条件，则的最大值是 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5.下列命题中正确的是 ( )
A．若,则
B．若为真命题,则也为真命题
C．“函数为奇函数”是“”的充分不必要条件
D．命题“若,则”的否命题为真命题
6、设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为 （ ）
A．4 B． C． D． 6
7、甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有____种(用数字作答)． ( )
A.720 B.480 C.144 D.360
8、在上可导的函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ( )
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
9、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 ( )
A．152 B.126 C.90 D.54
10、已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
11、已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与
到该抛物线准线的距离之和的最小值为 （ ）
A. B.3 C. D.
12 、已知函数，方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5个小题,每小题4分,共20分.
13、计算的结果是_______．14、展开式中的系数为80，则实数a的值为________．15、过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点 (均在第一象限内)，若，则双曲线的离心率为____________．
16. 如下图(1)、(2)、(3)、(4)四个图案，每个图案都是由小正方形拼成，现按同样的规律 (小正方形的摆放规律相同)进行拼图，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1) ＝ ； (2) ＝ .
三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、(本小题满分10分) 证明:对一切大于1的自然数, 不等式均成立.
18、(本小题满分12分)已知数列的前项和为，且满足，．
（1）求证：是等差数列；
（2）求的表达式；
（3）若，求证：．
19(本小题满分12分)已知函数.
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
20(本小题满分12分)如图,正方形与梯形所在平面互相垂直,//CD, ,点 在线段 上且不与 重合.
(1)当点是中点时，求证：//平面；
(2)当平面与平面所成锐二面角的余弦值为 时，
求三棱锥 的体积.
21．（本小题满分12分）己知，为上动点，过作轴于为上一点，且．
（I）求点的轨迹的方程；
（II）若 (2，1)， (3，0)，过的直线与曲线相交于两点，则是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
22．（本小题满分12分）定义在R上的函数及二次函数满足：
且。
（I）求和的解析式；
（II）；
（III）设，讨论的解的个数情况．
湖南省岳阳县第一中学2016-2017学年度第一学期高二期末考试
数 学（理） 答案解析
时量：120分钟 分值：150分
命题：费家和 审题：彭小霞
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足条件：，则对应的点位于 （ ）
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
答案：D
解析：，
复数对应点坐标为位于第四象限
2. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为 ( C )
A.105 B.16 C.15 D.1
3.设R，则“”是“直线与直线平行”的 （ C ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．设变量x，y满足约束条件，则的最大值是 （ c ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5.下列命题中正确的是( D )
A．若,则
B．若为真命题,则也为真命题
C．“函数为奇函数”是“”的充分不必要条件
6、设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为 （ D ）
A．4 B． C． D． 6
D．命题“若,则”的否命题为真命题
7、甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有____种(用数字作答)．( B )
A.720 B.480 C.144 D.360
解析：先在6个位置找3个位置，有C种情况，甲、乙均在丙的同侧，有4种排法，而剩下三人有A种情况，故共有4CA＝480种．
8、在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)＜0的解集为( )．
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[
9、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A．152 B.126 C.90 D.54
【答案】B
【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有；若有1人从事司机工作，则方案有种，所以共有18+108=126种，故B正确
10、已知方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
（A）(–1,3) （B）(–1,) （C）(0,3) （D）(0,)
【答案】A
11、已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（A）
A. B.3 C. D.
12 、已知函数，方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ D ）
A. B.
C. D.
解析： 求导，令，
∴在点处的切线方程为
方程有且只有一个实数根
若
故当时，有一个实数根；时方程有两个不同实数根
∴，选择D答案
13、计算的结果是_______．
答案：
14、展开式中的系数为80，则实数a的值为________．
答案：2
解析：展开式的通项公式为：，令，所以的系数为， .
15、过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作与x轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M、N(均在第一象限内)，若＝4，则双曲线的离心率为____________．
答案：
解析：取双曲线－＝1的一条渐近线其方程为，设，
＝4则①
点在双曲线上，∴②
由①②及得
16. 如下图(1)、(2)、(3)、(4)四个图案，每个图案都是由小正方形拼成，现按同样的规律 (小正方形的摆放规律相同)进行拼图，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)f(6)＝ ；
(2) f(n)= .
解：(1)f(6)＝61.
(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
…
由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
因为f(n＋1)－f(n)＝4n，
所以f(n＋1)＝f(n)＋4n，
f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)
＝…
＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4
＝2n2－2n＋1.
17、(本小题满分10分)
证明:对一切大于1的自然数, 不等式
均成立.
证明:①当时,左边;右边,∵左边右边,∴不等式成立…..3分
②假设时不等式成立,
即 ………………………………….5分
则当时,
当时,不等式也成立…………………………………………………………..9分
由①②知,对于一切大于1的自然数,不等式都成立……………………….10分
18、(本小题满分12分)已知数列的前项和为，且满足，．
（1）求证：是等差数列；
（2）求的表达式；
（3）若，求证：．
【答案】（1）略 （2） （3）略
【解析】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，又，∴是以2为首项，
2为公差的等差数列．……………………………………………….4分
（2）由（1）可得，∴，
当时，， ………………………………7分
当时，，∴ ………………8分.
（3）证明：由（2）可得，
∴
．…………………………12分
考点：数列证明及数列求和.
19(本小题满分12分)已知函数.
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为, 所以,令
,则,所以当时，,故在上单调递增，所以当时，，即，所以在上单调递增，故当时，取得最小值………………………………………..5分
（2）①当时，对于任意的，恒有，又由（1）得，故恒成立……………………………………………8分
②当时，令，则，由（1）知
在上单调递增，所以在上单调递增，而，取，由（1）得，
则，所以函数存在唯一的零点，当时，在上单调递减 ，所以当时，，即，不符合题意.综上，的取值范围为. ………………………12分
20(本小题满分12分)
如图,正方形与梯形所在平面互相垂直,∥CD, ,点 在线段 上且不与 重合.
(1)当点是中点时，求证：//平面；
(2)当平面与平面所成锐二面角的余弦值为 时，求三棱锥 的体积.
解：（1）以分别为轴建立空间直角坐标系，则，
，∴ ，∴平面的一个法向量，∵ ∴ ，即 ∥平面 …………. 6分
（2）依题意设，设平面的法向量，
则，则，平面的法向量，
∵ ,解得 ，∴为的中点，, 到平面的距离∴…..12分
21．（本小题满分13分）己知⊙O：x2 +y2=6，P为⊙O上动点，过P作PM⊥x轴于M，N为PM上一点，且．
（I）求点N的轨迹C的方程；
（II）若A(2，1)，B(3，0)，过B的直线与曲线C相交于D、E两点，则kAD+kAE是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
(Ⅰ)设,,则,,
由,得,………………………………………3分
由于点在圆上,则有,即.
点的轨迹的方程为.…………………………………………………………6分
(Ⅱ) 设,,过点的直线的方程为,
由消去得 ,其中
;…………………………………………………………8分
……………………………………………10分
是定值.………………………………………………………………………………12分
22．（本小题满分13分）定义在R上的函数及二次函数满足：
且。
（I）求和的解析式；
（II）；
（III）设，讨论的解的个数情况．
解答. (Ⅰ) ,①
即②
由①②联立解得 . ………………………………………………………………2分
是二次函数, 且,可设,
由,解得.
.………………………………………………………………4分
(Ⅱ)设,
,
依题意知当时,
,在上单调递减,
………………………………………………………………6分
在上单调递增,
解得
实数的取值范围为.……………………………8分
(Ⅲ)设,由(Ⅱ)知,
的图象如图所示
设,则
当,即时, ,有两个解, 有个解;
当,即时, 且,有个解; ……………………………………………………………………………………………………………10分
当,即时, ,有个解;
当,即时, ,有个解.
综上所述
当时,方程有个解;
当时,方程有个解;
当时,方程有个解;
当时,方程有个解. …………………………………………………………………12分