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- 2021-06-21 发布
试卷类型：A
唐山市 2019~2020 学年度高三年级摸底考试
理科数学
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试
卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合 A＝{x|x－1＜0}，B＝{x|x2－2x＜0}，则 A∩B＝
A．{x|x＜0} B．{x|x＜1}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}
2．已知 p，q∈R，1＋i 是关于 x 的方程 x2＋px＋q＝0 的一个根，则 p·q＝
A．－4 B．0
C．2 D．4
3．已知 a＝ln 3，b＝log310，c＝lg 3，则 a，b，c 的大小关系为
A．c＜b＜a B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
4．函数 f (x)＝x2－1
|x| 的图像大致为
O －
C．
2
D．
x 1 －1
y
A． B．
x 1 －1
y
O
x 1 －1
y
x 1 －1
y
O
O
5．右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个
四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为 A 和 M．在此图内任取一点，此点
取自 A 区域的概率记为 P(A)，取自 M 区域的概率记为 P(M)，则
A．P(A)＞P(M) B．P(A)＜P(M)
C．P(A)＝P(M) D．P(A)与 P(M)的大小关系与半径长度有
关
6．右图是判断输入的年份 x 是否是闰年的程序框图，若先后输入 x＝
1 900，x＝2 400，则输出的结果分别是
（注：x MOD y 表示 x 除以 y 的余数）
A．1 900 是闰年，2 400 是闰年
B．1 900 是闰年，2 400 是平年
C．1 900 是平年，2 400 是闰年
D．1 900 是平年，2 400 是平年
7．若 sin 78°＝m，则 sin 6°＝
A． m＋1
2 B． 1－m
2
C． m＋1
2
D． 1－m
2
8．已知等差数列{an}的公差不为零，其前 n 项和为 Sn，
若 S3，S9，S27 成等比数列，则S9
S3
＝
A．3 B．6 C．9 D．12
9．双曲线 C：x2
a2－y2＝1（a＞0）的右焦点为 F，点 P 为 C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点．若
|PO|＝|PF|，则 S△OPF 的最小值为
A． 1
4 B． 1
2 C．1 D．2
10．在(x＋y)(x－y)5 的展开式中，x3y3 的系数是
A．－10 B．0 C．10 D．20
11．直线 x－ 3y＋ 3＝0 经过椭圆x2
a2＋y2
b2＝1（a＞b＞0）的左焦点 F ，交椭圆于 A，B 两点，交 y
轴于 C 点，若 FC→＝2 CA→，则该椭圆的离心率是
A． 3－1 B． 3－1
2 C．2 2－2 D． 2－1
12．设函数 f (x)＝(ex－m－ax)(ln x－ax)，若存在实数 a 使得 f (x)＜0 恒成立，则 m 的取值范围是
A．(－∞，0] B．[0，2) C．(2，＋∞) D．(－∞，2)
a＝x MOD 4
b＝x MOD 100
c＝x MOD 400
否
是
结束
开始
输入 x
是
输出“x 是闰年”
c＝0
①
否
输出“x 是平年”
a＝ 0 且b≠ 0
M
A
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．若 x，y 满足约束条件
x－y＋2≥0，
2x－y＋1≤0，
x－2y＋2≤0，
则 z＝3x－y 的最大值为____．
14．已知 e1，e2 是夹角为 60的两个单位向量，a＝e1－e2，b＝e1－2e2，则 a·b＝___．
15．已知函数 f (x)＝sin (ωx＋ π
4)（ω＞0），若 f (x)在[0，2π]上恰有 3 个极值点，则 ω 的取值范围是
________．
16．在三棱锥 P−ABC 中，∠BAC＝60°，∠PBA＝∠PCA＝90°，PB＝PC＝ 3，点 P 到底面 ABC
的距离为 2，则三棱锥 P−ABC 的外接球的表面积为________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个
试题考生都必须作答．第(22)、(23)题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（12 分）
△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面积为 S＝ 1
6b2tan A．
（1）证明：b＝3ccos A；
（2）若 tan A＝2，a＝2 2，求 S．
18．（12 分）
某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对 A，B 两位选手，随机
调查了 20 个学生的评分，得到下面的茎叶图：
A 选手 B 选手
4 5 9
3 5 1
3 6 6 3 1
5 2 4 0 7 1 9 5 5 7 8 3 6 7 7 1 6 7
8 8 4 5 0 8 4 4 0 7 2
0 9 2 9 4 0
（1）通过茎叶图比较 A，B 两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得
出结论即可）；
（2）校方将会根据评分结果对参赛选手进行三向分流：
所得分数 低于 60 分 60 分到 79 分 不低于 80 分
分流方向 淘汰出局 复赛待选 直接晋级
记事件 C：“A 获得的分流等级高于 B”， 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生
的概率，求事件 C 发生的概率．
19．（12 分）
如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PD⊥底
面 ABCD，PD＝DC，点 E 是 PC 的中点．
（1）求证：PA∥平面 BDE；
（2）若直线 BD 与平面 PBC 所成的角为 30，求二面角 C−PB−D
的大小．
A B
C
E
D
P
20．（12 分）
已知 F 为抛物线 T：x2＝4y 的焦点，直线 l：y＝kx＋2 与 T 相交于 A，B 两点．
（1）若 k＝1，求|FA|＋|FB|的值；
（2）点 C(－3，－2)，若∠CFA＝∠CFB，求直线 l 的方程．
21．（12 分）
已知函数 f (x)＝xsin x，x∈(0，π)，f (x)为 f (x)的导数，且 g (x)＝f (x)．
证明：
（1）g (x)在(2，2π
3 )内有唯一零点 t；
（2）f (x)＜2．
（参考数据：sin 2≈0.9903，cos 2≈－0.4161，tan 2≈－2.1850， 2≈1.4142，π≈3.14．）
（二）选考题：共 10 分．请考生在第(22)，(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
记分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在极坐标系中，圆 C：ρ＝4cos θ．以极点 O 为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系 xOy，
直线 l 经过点 M (－1，－3 3)且倾斜角为 α．
（1）求圆 C 直角坐标方程和直线 l 的参数方程；
（2）已知直线 l 与圆 C 交于 A，B，满足 A 为 MB 的中点，求 α．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
设函数 f (x)＝|2x－1|＋|x＋1|．
（1）画出 y＝f (x)的图象；
（2）若 f (x)≤m|x|＋n，求 m＋n 的最小值．
x
y
O 1
1