2020九年级数学上册第1章二次函数的应用第2课时利用二次函数解决距离、利润最值问题1 9页

‎ [1.4　第2课时　利用二次函数解决距离、利润最值问题]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最大的是(　　)‎ A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒 ‎2．某民俗旅游村为解决游客的住宿需求，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则租出床位相应地减少10张．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且所获租金高，那么每张床位每天最合适的收费是(　　)‎ A．140元 B．150元 C．160元 D．180元 二、填空题 ‎3．2016·台州竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．‎ ‎4．2017·沈阳某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是________元时，才能在半月内获得最大利润.‎ ‎5．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：‎ 温度t/℃‎ ‎－4‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ 植物高度增长量l/mm ‎41‎ ‎49‎ ‎49‎ ‎46‎ ‎25‎ 科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃.‎ 9‎ 三、解答题 ‎6．2017·黄石小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律：‎ ‎①该蔬菜的销售价P(单位：元/千克)与时间x(单位：月份)满足关系：P＝9－x；‎ ‎②该蔬菜的平均成本y(单位：元/千克)与时间x(单位：月份)满足二次函数关系y＝ax2＋bx＋10.已知4月份的平均成本为2元/千克，6月份的平均成本为1元/千克．‎ ‎(1)求该二次函数的表达式；‎ ‎(2)请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润L(单位：元/千克)最大，最大平均利润是多少．(注：平均利润＝销售价－平均成本)‎ ‎7．如图K－7－1所示，甲船从A处起以15海里/时的速度向正北方向航行，这时乙船从A的正东方20海里的B处以20海里/时的速度向正西方向航行，多长时间后，两船的距离最小？最小距离是多少？‎ 图K－7－1‎ 9‎ ‎8．2017·鄂州鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个．若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元(x为偶数)，每周销售量为y个．‎ ‎(1)直接写出销售量y(个)与降价x(元)之间的函数表达式；‎ ‎(2)设商户每周获得的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？‎ ‎(3)若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？‎ ‎9．某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，经过统计得到此商品单价在第x(x 为正整数)天销售的相关信息，如下表所示：‎ 销售量n(件)‎ n＝50－x 销售单价m(元/件)‎ 9‎ 当1≤x≤20时，m＝20＋x 当21≤x≤30时，m＝10＋ ‎(1)请计算第几天该商品的单价为25元/件；‎ ‎(2)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数表达式；‎ ‎(3)这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？‎ 实际探究如图K－7－2，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c.已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.‎ ‎(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？‎ ‎(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t.已知球门的高度为‎2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为‎28 m，他能否将球直接射入球门？‎ 9‎ 图K－7－2‎ 9‎ ‎[课堂达标]‎ ‎1．[解析] B　利用抛物线的轴对称性，当x＝＝10.5时，炮弹达到最大高度，与对称轴最接近的应是第10秒，故选B.‎ ‎2．[解析] C　设每张床位提高x个20元，每天收入为y元．‎ 则y＝(100＋20x)(100－10x)＝－200x2＋1000x＋10000.‎ 当x＝－＝2.5时，y有最大值．‎ 又x为整数，当x＝2时，y＝11200；‎ 当x＝3时，y＝11200.‎ 故为使租出的床位少且所获租金高，每张床应收费100＋3×20＝160(元)．‎ ‎3．[答案] 1.6‎ ‎4．[答案] 35‎ ‎5．[答案] －1‎ ‎6．解：(1)依题意，得 解得 ‎∴该二次函数的表达式为y＝x2－3x＋10.‎ ‎(2)依题意，得平均利润L＝P－y＝9－x－(x2－3x＋10)，‎ 化简，得L＝－x2＋2x－1(1≤x≤7且x为整数)，‎ ‎∴L＝－(x－4)2＋3，‎ ‎∴当x＝4时，L的最大值为3(单位：元/千克)．‎ 答：该蔬菜在4月份的平均利润L最大，最大平均利润为3元/千克．‎ ‎7．解：设x小时后，两船相距y海里．‎ 根据题意，得y＝＝＝ 9‎ ‎，‎ 所以，当x＝时，y有最小值，为12.‎ 答：小时后，两船的距离最小，最小距离是12海里．‎ ‎8．解：(1)根据题意，得y＝160＋×20，即y＝10x＋160.‎ ‎(2)w＝(30－x)(10x＋160)＝－10(x－7)2＋5290.‎ ‎∵x为偶数，∴当x＝6或8时，w取最大值5280.‎ 当x＝6时，销售单价为80－6＝74(元/个)；当x＝8时，销售单价为80－8＝72(元/个)．‎ ‎∴当销售单价定为74元/个或72元/个时，每周销售利润最大，最大利润是5280元．‎ ‎(3)∵w＝－10(x－7)2＋5290，‎ ‎∴当w＝5200元时，－10(x－7)2＋5290＝5200.解得x1＝10，x2＝4.‎ ‎∵销售量y＝10x＋160随x的增大而增大，‎ ‎∴当x＝4时，进货成本最小．‎ 当x＝4时，销售量y＝10x＋160＝200，此时进货成本为200×50＝10000(元)．‎ 答：他至少要准备10000元进货成本．‎ ‎9．解：(1)分两种情况：‎ ‎①当1≤x≤20时，将m＝25代入m＝20＋x，解得x＝10；‎ ‎②当21≤x≤30时，将m＝25代入m＝10＋，得25＝10＋，解得x＝28.‎ 经检验，x＝28是原分式方程的根，且符合题意，‎ ‎∴x＝28.‎ 答：第10天或第28天时该商品的单价为25元/件．‎ ‎(2)分两种情况：‎ ‎①当1≤x≤20时，y＝(m－10)n＝(50－x)＝－x2＋15x＋500；‎ ‎②当21≤x≤30时，y＝(m－10)n＝(50－x)＝－420.‎ 综上所述，‎ 9‎ y＝ ‎(3)①当1≤x≤20时，y＝－x2＋15x＋500＝－(x－15)2＋.‎ ‎∵a＝－＜0，∴当x＝15时，y最大值＝；‎ ‎②当21≤x≤30时，由y＝－420，可知y随x的增大而减小，‎ ‎∴当x＝21时，y最大值＝－420＝580.‎ ‎∵580＜，‎ ‎∴第15天时获得的利润最大，最大利润为元．‎ ‎[素养提升]‎ 解：(1)由题意，得函数y＝at2＋5t＋c的图象经过点(0，0.5)，(0.8，3.5)，‎ ‎∴ 解得 ‎∴抛物线的函数表达式为y＝－t2＋5t＋.‎ ‎∵－＝－＝1.6，‎ ＝＝4.5，‎ ‎∴当t＝1.6时，y最大＝4.5.‎ 答：足球飞行的时间为1.6 s时，足球离地面最高，最大高度是4.5 m.‎ ‎(2)把x＝28代入x＝10t，得t＝2.8，‎ 9‎ ‎∴当t＝2.8时，y＝－×2.82＋5×2.8＋＝2.25<2.44.‎ ‎∴他能将球直接射入球门．‎ 9‎