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- 2021-06-21 发布
专题13+导数的概念及其运算
1．已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为( )
A. B.
C. D.
解析：∵s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝.
答案：D
2．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( )
A．2 B．0
C．－2 D．－4
答案：D
3．若曲线y＝ax在x＝0处的切线方程是xln 2＋y－1＝0则a＝( )
A. B．2
C．ln 2 D．ln
解析：由题知，y′＝axln a，y′＝ln a，又切点为(0，1)，
故切线方程为xln a－y＋1＝0，∴a＝.
答案：A
4．曲线y＝x2＋x在点(2，4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
A．1 B．2
C. D.
解析：∵y＝x2＋x，∴y′＝x＋1，
∴切线在点(2，4)处的斜率为3，
由直线的点斜式方程可得切线方程为y－4＝3(x－2)，即3x－y－2＝0.
令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝.
所以切线与坐标轴围成的三角形的面积S＝×|－2|×＝.
答案：D
5．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A．－1 B．0
C．2 D．4
答案：B
6．已知曲线y＝，则曲线的切线斜率取得最大值时的切线方程为( )
A．x＋4y－2＝0 B．x－4y＋2＝0
C．4x＋2y－1＝0 D．4x－2y－1＝0
解析：y′＝＝，因为ex>0所以ex＋≥2＝2(当且仅当ex＝，即x＝0时取等号)，则ex＋＋2≥4，故y′＝≤－(当x＝0时取等号)．当x＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为，切线的方程为y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.
答案：A
7．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的切线方程为________．
解析：∵y＝x(3ln x＋1)，
∴y′＝3ln x＋1＋x·＝3ln x＋4，∴k＝y′|x＝1＝4，
∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
答案：y＝4x－3
8．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________．
答案：
9．设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．
解析：y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－(x>0)，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－(m>0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1)．
答案：(1，1)
10．求下列函数的导数．
(1)y＝xnlg x；(2)y＝＋＋；(3)y＝loga sin x(a>0且a≠1)．
解：(1)y′＝nxn－1lg x＋xn·
＝xn－1(nlg x＋)．
(2)y′＝′＋′＋′
＝(x－1)′＋(2x－2)′＋(x－3)′
＝－x－2－4x－3－3x－4
＝－－－.
(3)令y＝logau，u＝sin x，
y′＝logae·cos x＝·logae＝.
11．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．