【数学】2018届一轮复习北师大版第十章计数原理概率随机变量及其分布第四节随机事件的概率教案 9页

第四节　随机事件的概率 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别；‎ ‎2.了解两个互斥事件的概率加法公式。‎ ‎2016，全国卷Ⅱ，18,12分(随机事件的概率)‎ ‎2015，北京卷，17,13分(用频率估计概率)‎ ‎2015，陕西卷，19,12分(用频率估计概率)‎ ‎2014，福建卷，20,12分(用频率估计概率)‎ ‎　　1.多以选择题或填空题的形式直接考查互斥事件的概率及运算，而随机事件的有关概念和频率很少直接考查；‎ ‎2.互斥事件、对立事件发生的概率问题有时也会出现在解答题中，多为应用问题。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．事件 ‎(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件。‎ ‎(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件。‎ ‎(3)在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件。‎ ‎2．概率和频率 ‎(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否发生，称n次实验中事件A发生的次数nA为事件A发生的频数，称事件A发生的比例fn(A)＝为事件A发生的频率。‎ ‎(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)。‎ ‎3．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)‎ B⊇A(或A⊆B)‎ 相等关系 若B⊇A，且A⊇B，那么称事件A与事件B相等 A＝B 并事件(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)‎ A∪B(或A＋B)‎ 交事件(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ A∩B(或AB)‎ 互斥事件 若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅‎ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅且A∪B＝U ‎4．概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围：0≤P≤1。‎ ‎(2)必然事件的概率P(E)＝1。‎ ‎(3)不可能事件的概率P(F)＝0。‎ ‎(4)概率的加法公式：‎ 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。‎ ‎(5)对立事件的概率：‎ 若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)。‎ 微点提醒 ‎1．频率与概率有本质的区别，不可混为一谈。频率随着试验次数的改变而改变，概率却是一个常数。当试验次数越来越多时，频率向概率靠近。‎ ‎2．随机事件和随机试验是两个不同的概念，没有必然的联系。在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件；条件每实现一次，叫做一次试验，如果试验结果试验前无法确定，叫做随机试验。‎ ‎3．对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(必修3P121练习T4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)‎ A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中靶 ‎【解析】　射击两次的结果有：一次中靶；两次中靶；两次都不中靶，故至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎2．(必修3P‎123A组T2改编)给出下列三个命题，其中正确的命题有________个。‎ ‎①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率。‎ ‎【解析】　①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念。‎ ‎【答案】　0‎ 二、双基查验 ‎1．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为。当n很大时，P(A)与的关系是(　　)‎ A．P(A)≈　　　　　　 B．P(A)＜ C．P(A)＞ D．P(A)＝ ‎【解析】　事件A发生的概率近似等于该频率的稳定值。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎2．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是(　　)‎ A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有两个红球 ‎【解析】　A中的两个事件不互斥，B中两事件互斥且对立，C中的两个事件不互斥，D中的两个互斥而不对立。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎3．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上。则下列结果正确的是(　　)‎ A．P(M)＝　P(N)＝ B．P(M)＝　P(N)＝ C．P(M)＝　P(N)＝ D．P(M)＝　P(N)＝ ‎【解析】　由条件知事件M包含：(正、反)、(反、正)。事件N包含：(正、正)、(正、反)、(反、正)。故P(M)＝，P(N)＝。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎4．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于‎160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]的概率为0.5，那么该同学的身高超过‎175 cm的概率为________。‎ ‎【解析】　由对立事件的概率可求该同学的身高超过‎175 cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3。‎ ‎【答案】　0.3‎ ‎5．先后抛掷一枚硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是________。‎ ‎【答案】　 微考点　大课堂 考点一 ‎ 随机事件的关系 ‎　　【典例1】　(1)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：‎ ‎①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；‎ ‎②至少有一个是奇数和两个都是奇数；‎ ‎③至少有一个是奇数和两个都是偶数；‎ ‎④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。‎ 上述事件中，是对立事件的是(　　)‎ A．①　　　　　　　　 B．②④‎ C．③ D．①③‎ ‎(2)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝‎1”‎，则甲是乙的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】　(1)③‎ 中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件。故选C。‎ ‎(2)若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1。设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件。故选A。‎ ‎【答案】　(1)C　(2)A 反思归纳　利用集合方法判断互斥事件与对立事件 ‎1．由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥。‎ ‎2．事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集。‎ ‎【变式训练】　在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)‎ A．至多有一张移动卡　　　 B．恰有一张移动卡 C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡 ‎【解析】　至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A。‎ ‎【答案】　A 考点二 ‎ 随机事件的概率 ‎【典例2】　某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：‎ 出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 频数 ‎60‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；‎ ‎(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”。求P(B)的估计值；‎ ‎(3)求续保人本年度平均保费的估计值。‎ ‎【解析】　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2。‎ 由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为 ＝0.55，‎ 故P(A)的估计值为0.55。‎ ‎(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4。‎ 由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，‎ 故P(B)的估计值为0.3。‎ ‎(3)由所给数据得 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 频率 ‎0.30‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ 调查的200名续保人的平均保费为 ‎0．‎85a×0.30＋a×0.25＋‎1.25a×0.15＋‎1.5a×0.15＋‎1.75a×0.10＋‎2a×0.05＝1.192 ‎5a。‎ 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 ‎5a。‎ ‎【答案】　(1)0.55　(2)0.3　(3)1.192 ‎‎5a 反思归纳　1.概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值。‎ ‎2．随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率。‎ ‎【变式训练】　随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：‎ 日期 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 日期 ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 天气 阴 晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨 阴 阴 日期 ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ 天气 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 ‎(1)在4月份任选一天，估计西安市在该天不下雨的概率；‎ ‎(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率。‎ ‎【解析】　(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为＝。‎ ‎(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)。这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为。‎ 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为。‎ ‎【答案】　(1)　(2) 考点三 ‎ 互斥事件与对立事件的概率 ‎【典例3】　某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示。‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数(人)‎ x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%。‎ ‎(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；‎ ‎(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率。(将频率视为概率)‎ ‎【解析】　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，‎ 所以x＝15，y＝20。‎ 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 ＝1.9(分钟)。‎ ‎(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝。‎ P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝。‎ 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为。‎ ‎【答案】　(1)x＝15，y＝20,1.9分钟　(2) 反思归纳　求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解。当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法。‎ ‎【变式训练】　国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：‎ 命中环数 ‎10环 ‎9环 ‎8环 ‎7环 概率 ‎0.32‎ ‎0.28‎ ‎0.18‎ ‎0.12‎ 求该射击队员射击一次：‎ ‎(1)射中9环或10环的概率；‎ ‎(2)命中不足8环的概率。‎ ‎【解析】　记事件“射击一次，命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak彼此互斥。‎ ‎(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60。‎ ‎(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，则表示事件“射击一次，命中不足8环”。‎ 又B＝A8∪A9∪A10，由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)‎ ‎＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78。‎ 故P()＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22。‎ 因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22。‎ ‎【答案】　(1)0.60　(2)0.22‎ 微考场　新提升 ‎1．(2017·太原模拟)某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是(　　)‎ A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析　记a、b分别为甲、乙摸出球的编号，由题意得，所有的基本事件共有36个，满足a≠b的基本事件共有30个，∴所求概率为＝。故选C。‎ 答案　C ‎2．(2016·兰州诊断)从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成的两位数有12、13、21、23、31、32，共6个，其中大于30的有31、32，共2个，故所求概率为＝。故选B。‎ 答案　B ‎3．(2016·云南模拟)从2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P＝。故选C。‎ 答案　C ‎4．从20名男生、10名女生中任选3名参加体能测试，则选到的3名学生中既有男生又有女生的概率为________。‎ 解析　选到的同学中有男生1名、女生2名的选法有CC种，选到的学生中有男生2名、女生1名的选法有CC种，则选到的3名学生中既有男生又有女生的概率为P＝＝ 答案　 ‎5．一枚硬币连掷5次，则至少一次正面向上的概率为________。‎ 解析　因为一枚硬币连掷5次，没有正面向上的概率为，所以至少一次正面向上的概率为1－＝。‎ 答案