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- 2021-06-21 发布
专题讲座2 题型分类突破
一、填空题求解的6种妙招
填空题是高考题中的客观性题型，不要求书写推理或演算过程，只要求直接填写结果，具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大等特点．常用的求解方法有：直接运算推理、特值代入法、归纳类比猜想、数形结合法、构造法等．在解答问题时，由于不要求写出解答过程，只要求填写结论，所以每一个步骤都要正确，还要将结论表达得准确、完整．合情推理、优化思路、少算多思都是快速、准确地解答填空题的基本要求．
类型一 直接运算推理法
根据题意，要求填写数值、数集或数量关系，如：方程的解，不等式的解集，函数的定义域、值域、最值，几何体中的角度、体积等，多采用直接求解法，即直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、性质、定理等，经过变形、推理、计算、判断得结果，这也是解答填空题的基本方法．
已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.
64 [∵a1，a2，a5成等比数列，∴a＝a1a5，
∴(1＋d)2＝1×(4d＋1)，∴d2－2d＝0.
∵d≠0，∴d＝2.
∴S8＝8×1＋×2＝64.]
直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．
[变式训练1] (2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
[圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx－y
－2＝0的距离应不大于2，即≤2.整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤.故k的最大值为.]
类型二 特例求解法
特例求解法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从特殊到一般，优点是简便易行．当填空题提供的信息暗示答案唯一或其值为定值时，就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一般形式变为特殊形式．当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例求解法尤其有效．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a，b，c成等差数列，则＝________.
[当a＝b＝c时，a，b，c成等差数列，令A＝B＝C＝60°.
则＝＝.]
1．凡在一般情况下探求结论的填空题，都可以用特例法求解．
2．求值或比较大小关系等问题均可利用特殊值法，但要注意这种方法仅限于求值只有一种结果的填空题，对于开放性的问题或者多种答案的填空题，则不能利用这种方法．
[变式训练2] 设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·＝________.
－ [取直线AB⊥x轴这种特殊情形．
由y2＝2x，知焦点F，
取直线x＝交点A，B.
∴·＝·＝－1＝－.]
类型三 数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般比较明显，如一次函数的斜率或截距、向量的夹角、解析几何中两点间的距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形，虽然作图要花费一些时间，但只要认真将图形作完，解答过程就会简便很多．
已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有________个．
10 [如图，作出图象可知y＝f(x)与y＝|lg x|的图象共有10个交点．
]
利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．
[变式训练3] 若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
(1，＋∞) [函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象如图所示，可知a＞1时两函数图象有两个交点，0＜a＜1时两函数图象有唯一交点，故a＞1.]
类型四 构造法
在解题时，有时需要根据题目的具体情况，构造出一些新的数学形式、新的模式解题，并借助它认识和解决问题，通常称之为构造模式解法，简称构造法．构造的方向可以是函数、方程、不等式、数列、几何图形等．
在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，则三棱锥P－ABC的体积为________．
160 [如图所示，把三棱锥P－ABC补成一个长方体AEBG－FPDC，易知三棱锥P－ABC的各棱分别是长方体的面对角线，不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，则由已知有：
解得
所以VP－ABC＝VAEBG－FPDC－VP－AEB－VC－ABG－VB－PDC－VA－FPC
＝VAEBG－FPDC－4VP－AEB
＝6×8×10－4××6×8×10＝160.
故所求三棱锥P－ABC的体积为160.]
构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向．一般通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的问题．在立体几何中，补形构造是最为常用的解题技巧．通过补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解，如将三棱锥补成特殊的长方体等．
[变式训练4] 在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
2n－1 [由an＋1＝2an＋1，得
an＋1＋1＝2(an＋1)(n∈N*)．
令an＋1＝bn，则bn＋1＝2bn(n∈N*)．
又b1＝a1＋1＝2≠0，从而bn≠0，
所以数列{bn}是以b1＝2为首项，以2为公比的等比数列，
从而bn＝2·2n－1＝2n，
所以an＝2n－1.]
类型五 归纳类比猜想
归纳推理填空题的求解，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊的认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．
类比猜想是根据两个相似类型的对象进行比较，根据两个对象相似特征，由某个对象的性质通过合情推理得到另一个对象的性质，由此及彼．
观察下列等式：
①cos 2α＝2cos2α－1；
②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；
③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；
④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；
⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.
可以推测，m－n＋p＝________.
【导学号：19592075】
962 [观察等式右边第一列系数，易看出2＝21,8＝23,32＝25,128＝27，所以m＝29＝512；
再看所有cos2α的系数，从上到下依次是2×12＝2，－2×22＝－8,2×32＝18，－2×42＝－32，
所以p＝2×52＝50.又观察①②③④式可知等式右边各项系数和为1，
所以m－1 280＋1 120＋n＋p－1＝1，得n＝－400，
故m－n＋p＝962.]
解决这类问题的关键是找准归纳对象．如m的位置在最高次幂的系数位置，因而从每一个等式中最高次幂的系数入手进行归纳；p是cos2 α的系数，所以从cos2 α的系数入手进行归纳．n却不能从cos4 α的系数入手进行归纳，因为第①
个式子中没有cos4 α，缺少归纳的特征项．
[变式训练5] 已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，
fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 014(x)＝________.
cos x－sin x [f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，
f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，
f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，
f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，
…
由此归纳，知f(x)的周期为4，即fn(x)＝fn＋4(x)．
所以f2 014(x)＝f2(x)＝cos x－sin x．]
类型六 等价转化法
等价转化是把未知解的问题转化为在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法，通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题．
设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R，若e1，e2的夹角为，则的最大值等于 ________.
2 [当x＝0时，＝0；当x≠0时，＝
＝＝＝
＝，
所以的最大值为2.]
等价转化思想方法的特点是灵活性和多样性．它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形．消元法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等，都体现了等价转化思想．
[变式训练6] 设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
15 [|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，易知M点在椭圆外，连结MF2并延长交椭圆于点P(图略)，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋＝15.]
填空题的主要特征是题目小、跨度大，知识覆盖面广，形式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力．近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口，出现了一些创新题，如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等，这些题型的出现，使解填空题的要求更高、更严了．
二、快捷解答主观题——答题模板
数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，本节结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．
“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零，强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．
模板1| 三角函数的周期性、单调性及最值问题
【例1】 (满分 14分)设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω>0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解题指导] 化简变形→f(x)＝Asin(ωx＋φ)→根据周期求ω→确定ωx＋φ的范围→求f(x)的最值
———— [规范解答示例] ————
(1)f(x)＝－sin2 ωx－sin ωxcos ωx
＝－·－sin 2ωx2分
＝cos 2ωx－sin 2ωx
＝－sin. 4分
因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又ω>0，所以＝4×，6分
因此ω＝1. 7分
(2)由(1)知f(x)＝－sin.
当π≤x≤时，≤2x－≤. 9分
所以－≤sin≤1.
因此－1≤f(x)≤. 12分
故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1. 14分,
———— [构建答题模板] ————
第一步
三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h或y＝Acos(ωx＋φ)＋h的形式．
⇓
第二步
利用性质条件确定A，ω，φ的值．
⇓
第三步
将“ωx＋φ”看作一个整体确定其范围．
⇓
第四步
⇓
结合图象及所求ωx＋φ的范围确定相关问题．
第五步
明确规范地表达结论．反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．
模板2| 三角变换与解三角形问题
【例2】 (满分 14分)在△ABC中，若acos2＋ccos2＝b.
(1)求证：a，b，c成等差数列；
(2)求角B的取值范围．
[解题指导] (1)化简变形→用余弦定理转化为边的关系→变形证明
(2)用余弦定理表示角→用均值不等式求范围→确定角的取值范围
————————— [规范解答示例] ————————
(1)证明：因为acos2＋ccos2＝a·＋c·＝b，
所以a＋c＋(acos C＋ccos A)＝3b，4分
故a＋c＋＝3b，整理得a＋c＝2b，
故a，b，c成等差数列. 8分
(2)cos B＝＝
＝≥＝， 12分
因为0＝＝.13分
所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为. 14分
———————— [构建答题模板] ———————
第一步
找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线．
⇓
第二步
写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标．
⇓
第三步
求向量：求直线的方向向量或平面的法向量．
⇓
第四步
求夹角：计算向量的夹角．
⇓
第五步
得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角．
模板4| 直线与圆锥曲线
【例4】 (满分 14分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(－a,0)，若点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且·＝4，求y0的值．
[解题指导] (1)离心率、菱形面积→关于a，b的方程→求a，b，写出椭圆方程
(2)设出直线l的方程→直线与椭圆方程联立→分情况求线段AB的垂直平分线→·用斜率k表示→解方程求k
———————— [规范解答示例] ————————
(1)由e＝＝，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，解得a＝2b. 2分
由题意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程组得a＝2，b＝1.
所以椭圆的方程为＋y2＝1. 4分
(2)由(1)知，点A的坐标是(－2,0)，且直线l的斜率必存在．设点B(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．
于是A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.
由根与系数的关系，得－2x1＝，所以x1＝，从而y1＝.
所以B为，因此线段AB的中点M为. 8分
以下分两种情况：
①当k＝0时，点B的坐标是(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，
于是＝(－2，－y0)，＝(2，－y0)．由·＝4，得y0＝±2. 10分
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y－＝－.
令x＝0，解得y0＝－.由＝(－2，－y0)，＝(x1，y1－y0)， 12分
·＝－2x1－y0(y1－y0)＝＋·＝＝4，
整理，得7k2＝2.所以k＝±，代入得y0＝±.
综上，y0＝±2或y0＝±. 14分
—————— [构建答题模板] ———————
第一步
由离心率，得a＝2b.
⇓
第二步
根据菱形的面积求a，b，确定椭圆方程．
⇓
第三步
设直线l的方程，联立椭圆方程，用k表示点B的坐标．
⇓
第四步
求出线段AB的中点M的坐标．
⇓
第五步
当k＝0时，求y0.
⇓
第六步
当k≠0时，用k表示线段AB的垂直平分线，并用k表示y0.
⇓
第七步
根据·＝4，求出k值，从而求出y0的值．
模板5| 应用问题
【例5】 (满分 14分)(2016·南京模拟)某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和
n个道路交叉口，其中n与x满足n＝ax＋5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍．
(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；
(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20%，且k≥3.问：P能否大于，说明理由．
[解题指导] (1)题设信息y与x的函数关系
(2)建立P的函数表达式―→求P的上界―→对P是否大于作出判断
—————————— [规范解答示例] ———————
(1)依题意得 y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*. 4分
(2)依题意x＝0.2a. 6分
所以P＝＝＝＝ 8分
≤＝≤＝＜.13分
即P不可能大于. 14分
——————— [构建答题模板] ———————
第一步
依据题设信息建模．
⇓
第二步
借助数学知识解模．
⇓
第三步
依据模型对实际问题作出数据(或理论指导)．
⇓
第四步
下结论．
模板6| 函数的单调性、最值、极值问题
【例6】 (满分 16分)已知函数f(x)＝aln x＋＋x(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直，求实数a的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)当a∈(－∞，0)时，记函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)≤e2.
[解题指导] (1)f′(1)＝－2→求a.(2)讨论f′(x)>0或f′(x)<0→f(x)的单调区间．(3)求f(x)的最小值g(a)的函数表达式→求g(a)在(－∞，0)上的最大值→g(a)≤e2.
———————— [规范解答示例] ————————
(1)f(x)的定义域为{x|x>0}．f′(x)＝－＋1(x>0)．
根据题意，有f′(1)＝－2，所以2a2－a－3＝0，解得a＝－1或a＝. 4分
(2)f′(x)＝－＋1＝＝(x>0). 6分
①当a>0时，因为x>0，由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0，解得x>a；
由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0，解得00，由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0，
解得x>－2a；由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0，解得00(k＝1,2，…，2 004)，即An是递增数列. 14分
综上可知，E数列An是递增数列的充要条件是an＝2 016. 16分
——————— [构建答题模板] ———————
第一步
依据E数列定义，分别求a2，a4，a5，进而写出一个E数列A5(不唯一)．
⇓
第二步
由An的单调性，去绝对值，利用等差数列求an.
⇓
第三步
利用不等式的性质，判定|ak＋1－ak|＝1>0.
⇓
第四步
根据充要条件的意义，得证结论．
⇓
第五步
反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．
模板9| 离散型随机变量的概率分布
【例9】 (满分 10分)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)．
(1)求在1次游戏中，
①摸出3个白球的概率；②获奖的概率．
(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．
[解题指导] (1)摸出三个白球的情形→利用相互独立事件概率求解→
获奖的情形→求获奖概率
(2)分析获奖次数X的所有取值→求概率→列分布列→求E(X)
—————————— [规范解答示例] ———————
(1)①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)，
则P(A3)＝·＝. 2分
②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3，
又P(A2)＝·＋·＝，且A2，A3互斥，4分
所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝. 5分
(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝2＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝2＝.
所以X的分布列是
X
0
1
2
P
8分
X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 10分
——————— [构建答题模板] ———————
第一步
求摸出3个白球的概率．
⇓
第二步
求在1次游戏中获奖的概率．
⇓
第三步
求在2次游戏中获奖次数X的分布列．
⇓
第四步
求X的数学期望．
⇓
第五步
反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范．如本题可重点查看随机变量的所有可能值是否正确；根据分布列性质检查概率是否正确．