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- 2021-06-21 发布
湖南省湘东七校2019年高三联考文科数学试题
一、选择题
1.集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
对集合和集合进行化简，然后由集合的交集运算，得到答案.
【详解】集合，
集合
所以，
故选：C
【点睛】本题考查解二次不等式，集合的交集运算属于简单题.
2.复数满足，则（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对复数进行化简，根据复数的模长公式，得到答案.
【详解】
所以，
故选：B.
【点睛】本题考查复数的计算，求复数的模长，属于简单题.
3.已知命题，命题，则￢p是q的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
，两个集合相等，所以是的充要条件，故选C.
4.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每个人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的七分之一是较小的两份之和，则最大一份的个数为（ ）
A. 2 B. 15 C. 32 D. 46
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意得到递增等差数列中，，，从而化成基本量，进行计算，再计算出，得到答案.
【详解】根据题意，设递增等差数列，首项为，公差，
则
所以
解得
所以最大项.
故选：D.
【点睛】本题考查等差数列通项的基本量计算，求等差数列中的某一项，利用等差数列解决应用题，属于简单题.
5.函数处取得最小值，则（ ）
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 是奇函数
D. 是偶函数
【答案】B
【解析】
试题分析：因为函数在处取得最小值，所以，即，所以，即，所以，所以为偶函数，所以应选．
考点：1、三角函数的图像与性质；2、函数的奇偶性．
6.已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对函数求导，代入，得到曲线在时的切线的斜率，利用两直线垂直，得到关于的方程，求出的值，得到答案.
【详解】因为，所以，
代入得切线的斜率为，
因为切线与直线垂直，
所以，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数的几何意义求在一点的切线，根据两条直线垂直求参数的值，属于简单题.
7.在中，，，点满足，则（ ）
A. B. C. 4 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
根据，得到为中点，得到，根据向量数量积的运算公式，计算，得到答案.
【详解】因为
所以为中点
所以，
所以，
因为，，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量定理，向量的数量积运算，属于简单题.
8.已知在处取得极值，则的最小值为（ ）
A. B. C. 3 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
对求导，代入可得，得到关系，然后根据基本不等式求出的最小值，得到答案.
【详解】
因为在处取得极值，
所以，所以，即
所以
.
故选：C.
【点睛】本题考查根据函数的极值点求参数的值，基本不等式求最小值，属于简单题.
9.，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据和，得到和的值，将所求的转化为，利用两角和的余弦公式，得到答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以
.
故选：B.
【点睛】本题考查同角三角函数关系，两角和的余弦公式，属于简单题.
10.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
对进行化简，然后判断的奇偶性，判断出当时，，从而得到答案.
【详解】定义域为，
，
，
所以为偶函数，所以排除A选项，
当时，，，所以，排除B、D选项，
故选：C.
【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数的图像，属于简单题.
11.过双曲线的右焦点作一条渐近线的垂线，与左支交于点，若，则的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
由点到直线距离，求出，根据几何关系，得到，再由勾股定理求出，利用双曲线的定义，得到关系，从而求出离心率，得到答案.
【详解】设过作一条渐近线的垂线的垂足为，双曲线的左焦点为，连接
∵
∴
又∵
∵，∴
∵为中点，∴为中点，
∴∴
利用双曲线定义得
即
∴.
故选：C
【点睛】本题考查通过几何关系求双曲线的离心率，双曲线的定义，属于中档题.
12.已知函数，若关于的方程无实根，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
画出图像，然后找到图像与直线无交点的情况，利用导数的几何意义求出切线方程和切点坐标，从而得到临界状态时的值，从而得到的范围，得到答案.
【详解】方程无实根等价于函数的图像与直线无交点.
画出函数的图像，如图，
由图像知，当时，直线与曲线必有交点，
当时，设直线与曲线相切时，切点为，
由，
代入切点横坐标得切线的斜率，
所以，解得，则，
所以切线方程为得.
由图像知实数的取值范围为，
故选：D.
【点睛】本题考查函数与方程，利用导数求函数的切线，属于中档题.
二、填空题
13.已知与之间的一组数据如下表所示：
0
1
2
3
1
3
当变化时，回归直线必经过定点________．
【答案】
【解析】
【分析】
求出和，得到样本中心，根据回归直线必过样本中心，得到答案.
【详解】，，
所以样本中心为，
因回归直线必过样本中心，
所以可得回归直线必经过定点.
故答案为：
【点睛】本题考查线性回归方程过定点，属于简单题.
14.若，满足约束条件，则的最大值等于________．
【答案】2
【解析】
【分析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，目标函数化为斜截式，得到直线在轴上的截距的最小值，从而求出的最大值，得到答案.
【详解】根据约束条件画出可行域，如图所示，
设，化为斜截式，
则直线在轴上的截距的最小值，即的最小值，就是的最大值，
所以可得当直线经过点时，在轴的截距最小
此时，所以，
故答案为：.
【点睛】本题考查线性规划求最值，属于简单题.
15.已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为，则该球的表面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据两个正四棱锥有公共底面，可得棱锥高之和即为球的直径，结合底面边长为，则底面截球所得圆的半径为，结合勾股定理求出球半径可得球的面积．
【详解】因为两个正四棱锥有公共底面且两个正四棱锥的体积之比为，
所以两个棱锥的高之比也为，
设两个棱锥的高分别为，，球的半径为，
则，即，
所以球心到公共底面的距离是，
又因为底面长为，
所以
解得，
所以得到，
所以该球的表面积.
故答案为：.
【点睛】本题给出两个正四棱锥有公共的底面，求外接球表面积，考查了正四棱锥的性质和球内接多面体等知识点，属于中档题．
16.如图在中，，，为边上一点（不包括端点）．若，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先得到，由正弦定理得，得到，将转化为，根据的范围，得到答案.
【详解】因为，
所以为等边三角形，
所以，
所以在中，由正弦定理得，
即，得
∴
，
∵
∴.
故答案为：.
【点睛】本题考查正弦定理解三角形，正弦定理求三角形边长范围，正弦型函数的图像与性质，属于中档题.
三、解答题
17.某媒体为调查喜爱娱乐节目是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图：
（1）根据该等高条形图，完成下列列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关？
（2）从男性观众中按喜欢节目与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查．从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的概率．
附：
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
．
【答案】（1）列联表见解析，能在犯错误概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关；（2）．
【解析】
试题分析：（1）根据等高条形图算出所需数据可得完成列联表，由列联表，利用公式可得的观测值，与邻界值比较从而可得结果；
（2）利用列举法，确定基本事件的个数，即利用古典概型概率公式可求出恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的概率.
试题解析：（1）由题意得列联表如表：
喜欢节目
不喜欢节目
总计
男性观众
24
6
30
女性观众
15
15
30
总计
39
21
60
假设：喜欢娱乐节目与观众性别无关，
则的观测值，
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关．
（2）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目的人数为，不喜欢节目的人数为．
被抽取的喜欢娱乐节目的4名分别记为，，，；不喜欢节目的1名记为．
则从5名中任选2人的所有可能的结果为：，，，，，，，，，共有10种，
其中恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的有，，，共4种，
所以所抽取的观众中恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的观众的概率是．
18.如图所示，四棱锥的底面是梯形，且，平面，是中点，．
（1）求证：；
（2）若，，求三棱锥的高．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连结，，可得为平行四边形，从而得到，根据平面，得到，从而得到.（2）设点为的中点，连结，证明为正三角形，推出，求出，再证明，从而得到平面，然后得到三棱锥的高.
【详解】（1）证明：取的中点，连结，，如图所示．
因为点是中点，
所以且．
又因为且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以．
所以．
（2）解：设点为的中点，连结，如图所示，
因为，，
由（1）知，，
又因为，所以，
所以，
所以为正三角形，
所以，且．
因为平面，，
所以平面．
因为平面，
所以，
又因为，所以平面．
所以三棱锥的高为．
【点睛】本题考查线面垂直的性质与判定，求三棱锥的高，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题.
19.已知数列的前项和为，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，设数列的前项和为，求.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】
（1）由将条件中的式子转化为，从而得到，从而得到是等差数列；（2）由（1）得到的通项，利用分组求和的方法，求出其前项的和，得到答案.
【详解】解：（1）证明：因为当时，，
所以．
所以，
因为，所以，所以，
所以．
所以是以为首项，以1为公差的等差数列．
（2）由（1）可得，所以.
∴
∴
【点睛】本小题主要考查与的关系、等差数列的判定、分组求和的方法，考查运算求解能力，属于中档题.
20.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，，
为椭圆上两点，圆.
（1）若轴，且满足直线与圆相切，求圆的方程；
（2）若圆的半径为2，点，满足，求直线被圆截得弦长的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】
（1）根据题意先计算出点坐标，然后得到直线的方程，根据直线与圆相切，得到半径的大小，从而得到所求圆的方程；（2）先计算斜率不存在时，被圆截得弦长，斜率存在时设为，与椭圆联立，得到和，代入到得到的关系，表示出直线被圆截得的弦长，代入的关系，从而得到弦长的最大值.
【详解】解：（1）因为椭圆的方程为，
所以，，
因为轴，所以，
根据对称性，可取，
则直线的方程为，即.
因为直线与圆相切，得，
所以圆的方程为 .
（2）圆的半径为2，可得圆的方程为.
①当轴时，，所以，
得，
此时得直线被圆截得的弦长为.
②当与轴不垂直时，设直线的方程为，
，，
首先由，得，
即，所以（*）.
联立，消去得，
在时，，
代入（*）式，得，
由于圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为，
故当时，有最大值为.
综上，因为，
所以直线被圆截得的弦长的最大值为.
【点睛】本题考查根据直线与圆相切求圆的方程，直线与椭圆的交点，弦长公式，对计算能力要求较高，属于难题.
21.已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1) 若，在上单调递增；若，在上单调递增，在上单调递减;(2)
【解析】
【分析】
（1）的定义域为，， 对实数分情况讨论，得出单调性；（2） ，令，所以 令， ，再分情况讨论，求出实数的取值范围．
【详解】（1）的定义域为，，
若，则恒成立，∴在上单调递增；
若，则由，
当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减．
综上可知：若，在上单调递增；
若，在上单调递增，在上单调递减．
（2），
令，，
，令，
①若，，在上单调递增，
，
∴在上单调递增,，
从而不符合题意．
②若，当，，
∴在上单调递增，
从而，
∴在上单调递增,，
从而不符合题意．
③若，在上恒成立，
∴在上单调递减，，
∴在上单调递减,，
综上所述，a的取值范围是．
【点睛】本题主要考查函数单调性的求法，满足条件的实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，解题时应注意导数性质的合理利用．
22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出的极坐标方程；
（2）设曲线经伸缩变换后得到曲线，曲线分别与和交于，两点，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据公式求出消去参数，得到的普通方程，再把代入，得到的极坐标方程；（2）根据伸缩变换得到的方程，从而得到，再得到，从而求出的长.
【详解】解：（1）将消去参数，化为普通方程为，
即，
将代入，得，
所以的极坐标方程为．
（2）因为，所以得到，
将代入得，
所以的方程为．
的极坐标方程为，所以．
又，所以．
【点睛】本题考查极坐标方程和参数方程，伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.
23.已知不等式的解集为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设关于的方程（）有解，求实数的值．
【答案】（I）；（II）或．
【解析】
【详解】（Ⅰ）由|得，
或，
解得x>2，依题意m=2.
（Ⅱ）因为
，
当且仅当（x-t）（x+）≤0时，等号成立
又因为关于的方程（）有解，
所以，可得，
当且仅当|t|=时，等号成立，
∴只有|t|=，即t=±1
考点：不等式