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- 2021-06-21 发布
南安一中2017~2018学年度高三年第一次阶段考文科数学试卷
命题:吴水荣 审核:苏浩洋 2017.10.3
班级 姓名 号数 成绩
一、单选题（每题5分；共60分）
1、已知集合，，则（ ）
A、 B、 C、 D、
2、的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、若复数（）是纯虚数，则实数的值为（ ）
A、-3 B、3 C、﹣1或3 D、1或﹣3
4、已知命题p：若，则关于的方程有实根，q是p的逆命题，下面结论正确的是（ ）
A、p真q真 B、p 假q真 C、p真q假 D、p 假q假
5、若正数，满足，则的最小值为（ ）
A、24 B、25 C、28 D、30
6、已知非零向量 , 满足：，，则实数λ的值为（ ） A、1 B、 C、2 D、﹣2
7、 已知变量满足约束条件：，则目标函数的最小值为（ ）
A、﹣1 B、3 C、1 D、7
8、函数的部分图象大致为（ ）
A、 B、
C、 D、
9、已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
10、定义在R上的函数满足． 为的导函数，已知函数的图象如图所示．若两正数满足， 则的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、
11、点P是△ABC所在平面内任一点， ,则点G是△ABC的（ ） A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心
12、已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）
A、（﹣3，﹣1） B、（﹣1，1）∪（1，3）
C、（﹣3，0）∪（3，+∞） D、（﹣3，1）∪（2，+∞）
二、填空题（共4题；共20分）
13、已知命题：，则是_____ _．
14、已知e为自然对数的底数，则曲线在点（1，2e）处的切线斜率为________．
15、已知，θ∈（π，2π），则=________．
16、分别计算 ， ， ， ， ， …，并根据计算的结果，猜想的末位数字为________．
三、解答题（6题，共70分）
17、12分）已知数列的前n项和，n∈N ． （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设 ， 求数列的前2n项和．
18、（12分）已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为，且． （Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若， ，求b+c
19、（12分）已知函数，当时，的最小值为． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在△ABC中，已知，AC=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面积．
20、（12分）已知单调递增的等比数列满足：，且是的等差中项．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设 ， 求数列的前n项和 ．
21、（12分）设函数．
（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意，恒有成立，求实数m的取值范围．
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。
22（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线l的极坐标方程为 ，曲线C的极坐标方程为：，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C1 ．
（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l与曲线C1交于A，B两点，点，求的值．
23（10分）选修4-5：不等式选讲
已知．
（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式有解，求a的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1、C 解：∵集合A={x|y=lg（x﹣3）}={x|x＞3}， B={x|x≤5}，∴A∩B={x|3＜x≤5}．
2、A 解：sin（﹣ ）=sin（﹣4π+ ）=sin =sin = ，
3、B 解：复数z=（a2﹣2a﹣3）+（a2﹣1）i，（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数， 可得a2﹣2a﹣3=0并且a2﹣1≠0，解得a=3．
4、C 解：P：当m＞0时，△=1+4m≥0，解得 ，此时方程x2-x﹣m=0有实根，故p为真命题， q：p的逆命题：若x2+x﹣m=0有实根，则△=1+4m≥0，解得m≥﹣ ，q为假命题．
5、B 解：∵正数x，y满足． 则3x+4y=（3x+4y） =13+
≥13+2 =25，当且仅当x=2y=5时取等号．∴3x+4y的最小值为25．
6、D 解：由 平方得 =﹣ =﹣ ． 又由 得 ，即 ,化简得4+2λ﹣（2+λ）=0，解得λ=﹣2．
7、C 解：画出不等式组件 ，表示的可行域，由图可知， 当直线y= x﹣ ，过A点（3，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为3﹣2×1=1．
8、D 解：函数y=1+x+ ，可知：f（x）=x+ 是奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称，则函数y=1+x+ 的图象关于（0，1）对称，当x→0+ ， f（x）＞0，排除A、C，当x=π时，y=1+π，排除B．故选：D．
9、B解：由题意可得：f′（x）=3x2﹣6x． 令f′（x）＞0，则x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，则0＜x＜2，所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（2，+∞），减区间为（0，2），所以当x=0时函数有极大值f（0）=﹣k，当x=2时函数有极小值f（2）=﹣4﹣k．
因为函数f（x）存在三个不同的零点，所以f（0）＞0并且f（2）＜0，解得：﹣4＜k＜0．
所以实数a的取值范围是 （﹣4，0）．
10.C 由图像可知在单调递增，画出不等式组表示的平面区域（如图阴影部分，不包括边界）．而表示可行域内的点与连线的斜率．如图，
的取值范围是
11、D 解：∵ = （ + + ）， ∴3 = + + ；
取AB的中点D，则 + =2 ，∵3 = + + ，
∴2 + =3 ，∴2（ ﹣ ）= ﹣ ，
即2 = ；同理，取BC中点E，可得2 = ，∴G为重心．
12、B 解：∵奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0， ∴奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）=0，不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0等价于x﹣1＞0，f（x﹣1）＞0或x﹣1＜0，f（x﹣1）＜0即 或 ∴1＜x＜3或﹣1＜x＜1
∴不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是（﹣1，1）∪（1，3）
二、填空题
13、 【答案】∀x∈R，ex≥0
14、2e 解：曲线y=2ex的导数为：y′=2ex ， 曲线y=2ex在点（1，2e）处的切线斜率为：y′|x=1=2e1=2e，故答案为：2e．
15、 解：∵cosθ=﹣ ，θ∈（π，2π），∴θ为第三象限角，∴sinθ=﹣ =﹣ ， ∴ ∈（ ， ），∴sin +cos ＞0．再根据 =1+sinθ= ，可得sin +cos = ，
16、8 解：由于5n的个位数字均为5，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243， 则3n的个位数字以3，9，7，1循环经行，其个位数字分别加上5后的个位数字为8，4，2，6循环进行，因为2017=504×4+1，
故32017+52017的末位数字和31+51的个位数字相同，即为8．故答案为：8
17.
解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=1， 当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1= ﹣ =n，
∴数列{an}的通项公式是an=n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=2n+（﹣1）nn，记数列{bn}的前2n项和为T2n ， 则
T2n=（21+22+…+22n）+（﹣1+2﹣3+4﹣…+2n）
= +n=22n+1+n﹣2．
∴数列{bn}的前2n项和为22n+1+n﹣2
18. 解：（Ⅰ）△ABC中，∵ ， ∴sinAcosB+ sinBsinA=sinC，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
∴sinAcosB+ sinBsinA=sinAcosB+cosAsinB
整理得 sinA=cosA，即tanA= ，∴A= ．
（Ⅱ）AB•AC•cosA=| • |=3，∴bc• =3，即bc=2 ，
∵a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=b2+c2﹣2•2 • ，
∴b2+c2=1+6=7，
∴b+c= = =2+
19. 解：解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+ ）+m =4cosx（sinxcos +cosxsin ）+m
= sin2x+2cos2x+m= sin2x+cos2x+1+m=2sin（2x+ ）+m+1．
∵x∈[0， ]，2x+ ∈[ ， ]，可得：2sin（2x+ ）min=﹣1，
∴f（x）=﹣1=﹣1+m+1，解得：m=﹣1．
（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：f（x）=2sin（2x+ ），∴2sin（2C+ ）=1，
∵C∈（0，π），可得：2C+ ∈（ ， ），∴2C+ = ，解得：C= ，
如图，设BD=BC=x，则AB=5﹣x，
∵在△ACB中，由余弦定理可得：cosC= = ，解得x= ，
∴cosA= = ，可得：sinA= = ，
∴S△ACD= AC•AD•sinA= = ．
20. 解：（I）设等比数列{an}的首项为a1 ， 公比为q ∵a3+2是a2 ， a4的等差中项
∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8
∴a2+a4=20∴ ∴ 或 ∵数列{an}单调递增∴an=2n
（II）∵an=2n∴
∴
21. 解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞） 当a=1时，f（x）=x﹣lnx，则f′（x）=
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；
∴x=1时，函数f（x）取得极小值为1；
（Ⅱ）f′（x）=
当 ，即a=2时， ，f（x）在（0，+∞）上是减函数；
当 ，即a＞2时，令f′（x）＜0，得 或x＞1；令f′（x）＞0，得
当 ，即1＜a＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＞ ；令f′（x）＞0，得
综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；
当a＞2时，f（x）在（0， ）和（1，+∞）上单调递减，在（ ，1）上单调递增；
当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和（ ，+∞）上单调递减，在（1， ）上单调递增；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（3，4）时，f（x）在[1，2]上单调递减
∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值
∴
∴对任意a∈（3，4），恒有 ∴m＞
构造函数 ，则
∵a∈（3，4），∴ ∴函数 在（3，4）上单调增
∴g（a）∈（0， ） ∴m≥ ．
22. 解：（I）曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ=cosθ，即ρ2sin2θ=ρcosθ，化为直角坐标方程：y2=x． 将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C1：
y2=2（x﹣1）．
（II）直线l的极坐标方程为 ，展开可得： ρ（cosθ+sinθ）﹣2=0，可得直角坐标方程：x+y﹣2=0．
可得参数方程： （t为参数）．
代入曲线C1的直角坐标方程可得：t2+2 t﹣4=0． 解得t1+t2=﹣2 ，t1•t2=﹣4．．
∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|= = = ．
23. 解：（Ⅰ）f（x）=|x+1|+|x﹣1|＜4 ⇔ 或 或 ，
解得：﹣2＜x≤﹣1或﹣1＜x≤1或1＜x＜2，
故不等式的解集为（﹣2，2）；
（Ⅱ）∵f（x）=|x+1|+|x﹣1|≥|（x+1）﹣（x﹣1）|=2，
∴f（x）min=2，当且仅当（x+1）（x﹣1）≤0时取等号，
而不等式f（x）﹣|a﹣1|＜0有解⇔|a﹣1|＞f（x）min=2，
又|a﹣1|＞2⇔a﹣1＜﹣2或a﹣1＞2
故a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）