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- 2021-06-21 发布
淮北一中 2017-2018 学年高二上学期期中考试
数学（理科）
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.离心率为 ，且过点 的椭圆的标准方程是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
3.在 中， （ 分别为角 的对边），则 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直
角三角形
4.执行如图所示的程序框图，如果输出 ，则输入的 （ ）
A． B． C. D．
0, >yx 211 =+
yx yx 2+
223−
2
223−
223+
2
223+
2
3 )0,2(
14
2
2
=+ yx 14
2
2
=+ yx 14
2
2 =+ yx
14 22 =+ yx 14
2
2
=+ yx 1164
22
=+ yx
ABC∆
c
caB
22cos2 += cba ,, CBA ,, ABC∆
9
4=S =n
3 4 5 6
5.如图，在 中， ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C. D．
6.由公差为 的等差数列 重新组成的数列 是（ ）
A．公差为 的等差数列 B．公差为 的等差数列
C. 公差为 的等差数列 D．非等差数列
7.抛物线 的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C. D．
8.如角 满足 ，则 （ ）
A． B． C. D．
9.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 ，线段 交抛物线 于点 ，
若 ，则 （ ）
A． B． C. D．
10.数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C. D．
11.已知椭圆 的两个焦点分别为 ，若椭圆上不存在点 ，使得
是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
12.已知函数 方程 有 个不同
ABC∆
→→→→
== BDBPACAD 3
1,3
2 →→→
+= ACABAP µλ µ
λ
3− 2− 2 3
d ,...,, 321 aaa ...,, 635241 aaaaaa +++
d d2
d3
22xy =
8
1
2
1
4
1 4
α 0cos2sin =+ αα =α2tan
3
4−
4
3
4
3−
3
4
xyC 4: 2 = F l lA∈ AF C B
→→
= FBFA =
→
|| AF
3 4 6 7
}{ na *,2cos Nnnan ∈= π
n nS =2017S
1008 1008− 1− 0
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x
21, FF P
21PFF∠
]2
2,0( )1,2
2[ )2
1,0( )1,2
1[
≥+−
<
=
0|,122
1|
0,2
)( 2 xxx
x
xf
x
)0(0)()]([ 2 ≠=+− bbxafxf 6
的实根，则 取值范围（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.命题“ ”的否定是 ．
14.在数列 中，已知其前 项和为 ，则 ．
15.设实数 满足 ，则 的最大值为 ．
16.下列命题中，假命题的序号有 ．
（1）“ ”是“函数 为偶函数”的充要条件；
（2）“直线 垂直平面 内无数条直线”是“直线 垂直平面 ”的充分条件；
（3）若 ，则 ；
（4）若 ，则 .
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
17. 已知函数 .
（1）当 时，解关于 的不等式 ；
（2）若 ，解关于 的不等式 .
18. 设数列 满足 .
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
19. 已知函数 .
（1） 的最小正周期和单调递增区间；
（2）已知 是 三边长，且 的面积 .求角 及
ba +3
)11,6[ )11,3[ )11,6( )11,3(
02, ≥∈∃ xRx
}{ na n 32 += n
nS =na
yx,
≤−+
≤−+
≥−+
0102
0142
06
yx
yx
yx
xy2
1−=a )(|1|)( 2 Rxaxxxf ∈+++=
l a l a
0=xy 0|||| =+ yx
022,: 0
2
00 ≤++∈∃ xxRxp 022,: 2 >++∈∀¬ xxRxp
1)1()( 2 ++−= xaaxxf
2=a x 0)( ≤xf
0>a x 0)( ≤xf
}{ na nanaa n 2)12(3 21 =−+++
}{ na
}12{ +n
an n
xxxxf 2cos2)62sin()62sin()( +−++= ππ
)(xf
cba ,, ABC∆ ABCCf ∆= ,2)( 7,310 == cS C
的值.
20. 已知椭圆 ，其长轴为 ，短轴为 .
（1）求椭圆 的方程及离心率.
（2）直线 经过定点 ，且与椭圆 交于 两点，求 面积的最大值.
21. 已知数列 满足 ，且 （ 且 ）.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项之和 ，求证： .
22. 已知过抛物线 的焦点 ，斜率为 的直线交抛物线于
两点，且 .
（1）求该抛物线 的方程；
（2）已知抛物线上一点 ，过点 作抛物线的两条弦 和 ，且 ，
判断直线 是否过定点？并说明理由.
ba,
)0(1: 2
2
2
2
>>=+ bab
y
a
xC 4 2
C
l )2,0( C BA, OAB∆
}{ na 11 =a n
nn aa 22 1 += − 2≥n *Nn∈
}{ na
}{ na n nS 322
−> nS
n
n
)0(2: 2 >= ppxyC F 2
))(,(),,( 212211 xxyxByxA < 6|| =AB
C
)4,(tM M MD ME MEMD ⊥
DE
淮北一中 2017-2018 学年高二上学期期中考试数学（理科）
参考答案
1．D
【解析】由 得， ，因为 ，，所以
（当且仅当 时等
号成立），故选 D.
【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，
一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；
二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要
验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时
等号能否同时成立）.
2．D
【解析】当椭圆的焦点在 x 轴上，设椭圆的方程为 ，由离心率为 ，∴
∵椭圆过点（2，0），∴ ，∴a2=4，∴b2=1，
∴椭圆标准方程为
当椭圆的焦点在 y 轴上，同理易得：
故选 D.
3．A
【解析】 , ,解得 ,即角
C 为直角,则 的形状为直角三角形,故选 A.
4．B
【解析】该程序框图表示的是通项为 的前
项和，
， 输出结果为 ，
2 1 coscos 2 2 2
B B a c
c
+ += =
2 2 2
cos 2
a c b aB ac c
+ −∴ = = 2 2 2a b c+ =
ABC∆
( )( ) ( )( )
1 1 1
2 1 2 1 2 2 1 2 1na n n n n
= = − + − +
n
1 1 1 1 1 11 ...2 3 3 5 2 1 2 1nS n n
= − + − + + − − +
1 112 2 1 2 1
n
n n
= − = + +
4
9
，得 ，故选 B.
5．D
【解析】
， ， 又
， ，故选 D.
6．B
【 解 析 】 设 新 数 列 的 第 项 是 ， 则
， ， 此新数列是以 为公
差的等差数列，故选 B.
【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义、等差数列通项公式，属于难题.判定一个数列
为等差数列的常见方法是：(1) 定义法： （ 是常数），则数列 是等差数
列(2) 等差中项法： （ ），则数列 是等差数列；(3) 通项公式：
( 为常数)， 则数列 是等差数列；(4) 前 n 项和公式：
( 为常数) ， 则数列 是等差数列.本题先利用方法(1)判定出数列 是等差数列后
再进行解答的.
7．C
【解析】由 得： ，所以 ， ，即焦点到准线的距离为 ，
故选 C.
8．D
【解析】由题意可得 ，选 D.
9．B
【解析】
4
2 1 9
n
n
∴ =+ 4n =
1 4 2 5 3 6, , ...a a a a a a+ + + n nb 3n n nb a a += + =
( ) ( ) ( )1 12 1 2 2 2 1a n d n d a n d+ − + + = + + 1 2n nb b d+∴ − = ∴ 2d
1n na a d+ − = d { }na
1 +22 = +n n na a a+
*n N∈ { }na
=na pn q+ ,p q { }na 2
nS An Bn= +
,A B { }na { }na
22y x= 2 1
2x y= 12 2p = 1
4p = 1
4p =
由已知 为 的三等分，作 于 ，如图，则 ，
，故选 B.
10．D
【解析】
选 D.
11．A
【 解 析 】 设 B 为 短 轴 端 点 ， 则 ， 由 题 意 得
，选 A。
12．D
【解析】由题意可画出 y=f(x)的图像如下图，f(0)=1,f(2)=1，注意 y=1 是图像的一条渐近
线，令 t=f(x), ,由图像可知，
当 时,方程 f(x)=t 有 4 个解，当 和 时，方程 f(x)=t 有 2 个解，
当 时，方程 f(x)=t 有 1 个解，当 t=1 时，方程 f(x)=t 有 3 个解
当 t<0 时，方程 f(x)=t 有 0 个解
复 合 方 程 有 6 个 根 ， 一 定 是 4+2 ， 即 ， 的 两 个 根 分 别 在
， 令 ， 所 以
，由线性规划可求得 ，选 D.
【点睛】
复合方程根的问题，一般先画出内函数的图像，分析 t=f(x),t 的不同取值根的情况，再由
此分析外函数根的情况，从而解决问题。
13．
【解析】含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题，命题“∃x∈R，2x≥0”的否定
是 .
B AF BH l⊥ H 2 4 4,3 3 3BH FK BF BH= = ∴ = =
3 4AF BF∴ = =
4 1 2 3 4 2017 14, 0 504 0n n T Ta a T S a a a a S S a+ = ∴ = = + + + = ∴ = + =
1 2 1 2F PF F BF∠ ≤ ∠
2 2 2
1 2
π 21 02 2
cF BF c a c eb
∠ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ − ⇒ < ≤
( )2 0 0t at b b− + = ≠
0 1t< < 1 2t< < 0t =
2t ≥
( )2 0 0t at b b− + = ≠
1 20 1,1 2t t< < < < ( ) ( )2 0g t t at b b= − + ≠
( )
( )
( )
0 0
{ 1 1 0 ,
2 4 2 0
g b
g a b
g a b
= >
= − + <
= − + >
3z a b= + ( )3,11z ∈
,2 0xx R∀ ∈ <
,2 0xx R∀ ∈ <
14．
【解析】当 时， ；
当 时， ，不满足上式。
故 。
答案：
点睛：数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an＝ 当 n＝1 时，a1 若适合 Sn－
Sn－1，则 n＝1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an；当 n＝1 时，a1 若不适合 Sn－Sn－1，则用分
段函数的形式表示．
15．【解析】不等式组的图象如图
由 图 象 知 ， 则 ， 当 且 仅 当
时，等号成立，经检验 在可行域内，故 的最大值为 25.
16．（2）（3）
【解析】（1）若“函数 为偶函数”，则 ，
即 ，则 ，
平方得 ，
( )
( )1
5 1{ 2 2n n
na n−
== ≥
2n ≥ ( ) ( )1 1
1 2 3 2 3 2n n n
n n na S S − −
−= − = + − + =
1n = 1 1 2 3 5a S= = + =
1
5, 1{ 2 , 2n n
na n−
== ≥
1
5, 1{ 2 , 2n n
na n−
== ≥
( ) ( )2 1f x x x a x R= + + + ∈ ( ) ( )f x f x− =
2 21 1x x a x x a+ + + = + − + + ( )1 1x a x a+ + = − +
( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 1 1 2 1 1x a x a x a x a+ + + + = − + + +
即 ，则 ，即 ，
则“ ”是“函数 为偶函数”的充要条件；正确；
（2）“直线 垂直平面 内无数条直线”则“直线 垂直平面 ”不一定成立，故（2）错
误；
（3）当 时，满足 ，但 不成立，故（3）错误；
（4）若 ： ，则 ： 正确．
故答案为：（2）（3）
17 ．（ 1 ） （ 2 ） 当 时 解 集 为 当 时 解 集 为
当 时解集为
【解析】
试题分析：（1）将 代入结合函数图像求解不等式即可；（2）解不等式要结合二次函
数图像及性质，并对两零点 大小分情况讨论
试题解析：（1）当 时得 ，解
集为
（2）∵不等式 ,
当 时，有 ，∴不等式的解集为 ；
当 时，有 ，∴不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
考点：一元二次不等式解法及分情况讨论
18．(1) (2)
【解析】试题分析： 利用数列递推关系即可得出。
,利用裂项求和方法即可得出。
解析：（1）数列{an}满足 a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．
n≥2 时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）．
10 << a 1>a
1=a
0>a
10 << a
1>a
1=a
( ) ( )2 1 2 1a x a x+ = − + ( )4 1 0a + = 1a = −
1a = − ( ) ( )2 1f x x x a x R= + + + ∈
l α l α
0, 1x y= = 0xy = 0x y+ =
p 2, 2 2 0x R x x∃ ∈ + + ≤ p¬ 2, 2 2 0x R x x∀ ∈ + + >
1[ ,2]2
{1}
2a =
1,a a
2a = ( )2 1 1 12 1 0 2 0 22 2 2x x x x x − + + ≤ ∴ − − ≤ ∴ ≤ ≤
1[ ,2]2
{1}
∴（2n﹣1）an=2．∴an= ．
当 n=1 时，a1=2，上式也成立．
∴an= ．
（2） = = ﹣ ．
∴数列{ }的前 n 项和= + +…+ =1﹣ = ．
点 睛 ： 求 数 列 的 通 项 时 ， 可 以 运 用 ， 本 题 的 条 件
左 边 可 以 看 成 和 的 形 式 ， 遇 到
,的形式时，利用裂项求和方法即可得出结果。
19．(1)π，函数 f（x）的递增区间是[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z；(2) a=8，b=5 或
a=5，b=8．
【解析】试题分析： 解析式利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的余弦函数公
式化简，整理为一个角的正弦函数，找出 的值代入周期公式即可求出 的最小正周期，
利用正弦函数的单调性即可求出 的单调递增区间。
由 ，根据第一问确定出的解析式求出 的度数，利用三角形面积公式列出关
系式，将 值代入求出 的值，利用余弦定理列出关系式，将 代入求出 的
值，联立即可求出 的值。
解析：（Ⅰ）f（x）=sin2xcos +cos2xsin +sin2xcos ﹣cos2xsin +cos2x+1=
sin2x+cos2x+1=2sin（2x+ ）+1，
∵ω=2，∴T= =π；
令﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，得到﹣ +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，
则函数 f（x）的递增区间是[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）由 f（C）=2，得到 2sin（2C+ ）+1=2，即 sin（2C+ ）= ，
3
π
6
π
( ) ( )1 f x
ω ( )f x
( )f x
( )2 ( ) 2f c = C
sinC ab cosC a b+
,a b
∴2C+ = 或 2C+ = ，
解得：C=0（舍去）或 C= ，
∵S=10 ，
∴ absinC= ab=10 ，即 ab=40①，
由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即 49=a2+b2﹣ab，
将 ab=40 代入得：a2+b2=89②，
联立①②解得：a=8，b=5 或 a=5，b=8．
20．（1） ，离心率： ．（2）1
【解析】试题分析：（1）根据条件可得 ， 即得椭圆 的方程，及离心率．（2）
先设直线方程为： ，与椭圆联立方程组，利用韦达定理，结合弦长公式求得底边
边长 ，再根据点到直线距离得高，根据三角形面积公式表示 面积，最后根据基本
不等式求最大值
试题解析：解：（Ⅰ） ， ， ，
∴椭圆 的方程为： ，离心率： ．
（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为 ，则直线方程为： ，
由 ，得 ，
，
由 得： ，
设 ， ，则
， ，
，
又∵原点 到直线的距离 ，
∴
．
当且仅当 ，即 时，等号成立，
此时 面积的最大值为 ．
点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题
的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者
多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
21．(1) an= ；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由 ,可得 ，即 ，可得出
{ }为等差数列.最终可求出{an}的通项公式.(2)采用错位相减法求出 ,再变形即可求证.
（1）∵an=2an﹣1+2n（≥2，且 n∈N）∴ ∴
∴数列{ }是以 为首项，1 为公差的等差数列；
∴an= ；
（2）∵Sn=
∴2Sn=
两式相减可得﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣ =（3﹣2n）•2n﹣3
∴Sn=（2n﹣3）•2n+3＞（2n﹣3）•2n ∴ ．
点睛：在求解数列的通项公式时要注意变形及整体思想的使用，将一般数列转化为等差或等
比数列，从而求出数列通项公式。应用错位相减法求解数列的前 n 项和两式相减时要注意前
后符号的变化.
22.（1） （2）
【解析】试题分析：（1）利用点斜式设直线直线 的方程,与抛物线联立方程组,结合韦
达定理与弦长公式求 ,再根据 解得 .（2）先设直线 方程 ,
与抛物线联立方程组,结合韦达定理化简 ，得 或 ,代入
12 2n
n na a −= + 1
1 12 2
n n
n n
a a −
−= + 1
1 12 2
n n
n n
a a −
−− =
2
n
n
a
nS
1
1 12 2
n n
n n
a a −
−= + 1
1 12 2
n n
n n
a a −
−− =
2
n
n
a 1
2
( )1 112 2 2
n
n
a n n= + − = −
1 22
nn −
1 21 3 12 2 22 2 2
nn + +…+ −
2 3 11 3 12 2 22 2 2
nn + + +…+ −
11 22
nn + −
2 3nS nn
> −
2 4y x= ( )8, 4−
AB
AB 6AB = 2p = DE x my t= +
MD ME⊥ 4 8t m= + 4 4t m= − +
方程可得直线 过定点
试题解析：（1）拋物线的焦点 ，∴直线 的方程为: .
联立方程组 ，消元得: ，
∴ .
∴
解得 .
∴抛物线 的方程为： .
（2）由（1）可得点 ，可得直线 的斜率不为 0，
设直线 的方程为： ，
联立 ，得 ，
则 ①.
设 ，则 .
∵
即 ，得： ，
∴ ，即 或 ，
DE DE ( )8, 4−
,02
pF
AB 2 2
py x = −
2 2
{
2 2
y px
py x
=
= −
2
2 2 04
px px− + =
2
1 2 1 22 , 4
px x p x x+ = =
( )2 2 2
1 2 1 21 2 4 3 4 6AB x x x x p p= + + − = ⋅ − =
2p =
C 2 4y x=
( )4,4M DE
DE x my t= +
2{ 4
x my t
y x
= +
=
2 4 4 0y my t− − =
216 16 0m t∆ = + >
( ) ( )1 1 2 2, , ,D x y E x y 1 2 1 24 , 4y y m y y t+ = = −
( ) ( )1 1 2 24, 4 4, 4MD ME x y x y⋅ = − − ⋅ − −
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 24 16 4 16x x x x y y y y= − + + + − + +
( )2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 24 16 4 164 4 4 4
y y y y y y y y
= ⋅ − + + + − + +
( ) ( ) ( )
2
21 2
1 2 1 2 1 23 4 3216
y y y y y y y y= − + + − + +
2 216 12 32 16 0t m t m= − − + − =
2 212 32 16 16t t m m− + = + ( ) ( )2 26 4 2 1t m− = +
( )6 2 2 1t m− = ± + 4 8t m= + 4 4t m= − +
代人①式检验均满足 ，
∴直线 的方程为： 或 .
∴直线过定点 （定点 不满足题意，故舍去）.
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多
少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值
问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推
理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
0∆ >
DE ( )4 8 4 8x my m m y= + + = + + ( )4 4x m y= − +
( )8, 4− ( )4,4
淮北一中 2017-2018 学年高二上学期期中考试数学（理科）
参考答案
1．D
【解析】由 得， ，因为 ，，所以
（当且仅当 时等
号成立），故选 D.
【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，
一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；
二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要
验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时
等号能否同时成立）.
2．D
【解析】当椭圆的焦点在 x 轴上，设椭圆的方程为 ，由离心率为 ，∴
∵椭圆过点（2，0），∴ ，∴a2=4，∴b2=1，
∴椭圆标准方程为
当椭圆的焦点在 y 轴上，同理易得：
故选 D.
3．A
【解析】 , ,解得 ,即角
C 为直角,则 的形状为直角三角形,故选 A.
4．B
【解析】该程序框图表示的是通项为 的前
项和，
， 输出结果为 ，
2 1 coscos 2 2 2
B B a c
c
+ += =
2 2 2
cos 2
a c b aB ac c
+ −∴ = = 2 2 2a b c+ =
ABC∆
( )( ) ( )( )
1 1 1
2 1 2 1 2 2 1 2 1na n n n n
= = − + − +
n
1 1 1 1 1 11 ...2 3 3 5 2 1 2 1nS n n
= − + − + + − − +
1 112 2 1 2 1
n
n n
= − = + +
4
9
，得 ，故选 B.
5．D
【解析】
， ， 又
， ，故选 D.
6．B
【 解 析 】 设 新 数 列 的 第 项 是 ， 则
， ， 此新数列是以 为公
差的等差数列，故选 B.
【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义、等差数列通项公式，属于难题.判定一个数列
为等差数列的常见方法是：(1) 定义法： （ 是常数），则数列 是等差数
列(2) 等差中项法： （ ），则数列 是等差数列；(3) 通项公式：
( 为常数)， 则数列 是等差数列；(4) 前 n 项和公式：
( 为常数) ， 则数列 是等差数列.本题先利用方法(1)判定出数列 是等差数列后
再进行解答的.
7．C
【解析】由 得： ，所以 ， ，即焦点到准线的距离为 ，
故选 C.
8．D
【解析】由题意可得 ，选 D.
9．B
【解析】
4
2 1 9
n
n
∴ =+ 4n =
1 4 2 5 3 6, , ...a a a a a a+ + + n nb 3n n nb a a += + =
( ) ( ) ( )1 12 1 2 2 2 1a n d n d a n d+ − + + = + + 1 2n nb b d+∴ − = ∴ 2d
1n na a d+ − = d { }na
1 +22 = +n n na a a+
*n N∈ { }na
=na pn q+ ,p q { }na 2
nS An Bn= +
,A B { }na { }na
22y x= 2 1
2x y= 12 2p = 1
4p = 1
4p =
由已知 为 的三等分，作 于 ，如图，则 ，
，故选 B.
10．D
【解析】
选 D.
11．A
【 解 析 】 设 B 为 短 轴 端 点 ， 则 ， 由 题 意 得
，选 A。
12．D
【解析】由题意可画出 y=f(x)的图像如下图，f(0)=1,f(2)=1，注意 y=1 是图像的一条渐近
线，令 t=f(x), ,由图像可知，
当 时,方程 f(x)=t 有 4 个解，当 和 时，方程 f(x)=t 有 2 个解，
当 时，方程 f(x)=t 有 1 个解，当 t=1 时，方程 f(x)=t 有 3 个解
当 t<0 时，方程 f(x)=t 有 0 个解
复 合 方 程 有 6 个 根 ， 一 定 是 4+2 ， 即 ， 的 两 个 根 分 别 在
， 令 ， 所 以
，由线性规划可求得 ，选 D.
【点睛】
复合方程根的问题，一般先画出内函数的图像，分析 t=f(x),t 的不同取值根的情况，再由
此分析外函数根的情况，从而解决问题。
13．
【解析】含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题，命题“∃x∈R，2x≥0”的否定
是 .
B AF BH l⊥ H 2 4 4,3 3 3BH FK BF BH= = ∴ = =
3 4AF BF∴ = =
4 1 2 3 4 2017 14, 0 504 0n n T Ta a T S a a a a S S a+ = ∴ = = + + + = ∴ = + =
1 2 1 2F PF F BF∠ ≤ ∠
2 2 2
1 2
π 21 02 2
cF BF c a c eb
∠ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ − ⇒ < ≤
( )2 0 0t at b b− + = ≠
0 1t< < 1 2t< < 0t =
2t ≥
( )2 0 0t at b b− + = ≠
1 20 1,1 2t t< < < < ( ) ( )2 0g t t at b b= − + ≠
( )
( )
( )
0 0
{ 1 1 0 ,
2 4 2 0
g b
g a b
g a b
= >
= − + <
= − + >
3z a b= + ( )3,11z ∈
,2 0xx R∀ ∈ <
,2 0xx R∀ ∈ <
14．
【解析】当 时， ；
当 时， ，不满足上式。
故 。
答案：
点睛：数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an＝ 当 n＝1 时，a1 若适合 Sn－
Sn－1，则 n＝1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an；当 n＝1 时，a1 若不适合 Sn－Sn－1，则用分
段函数的形式表示．
15．【解析】不等式组的图象如图
由 图 象 知 ， 则 ， 当 且 仅 当
时，等号成立，经检验 在可行域内，故 的最大值为 25.
16．（2）（3）
【解析】（1）若“函数 为偶函数”，则 ，
即 ，则 ，
平方得 ，
( )
( )1
5 1{ 2 2n n
na n−
== ≥
2n ≥ ( ) ( )1 1
1 2 3 2 3 2n n n
n n na S S − −
−= − = + − + =
1n = 1 1 2 3 5a S= = + =
1
5, 1{ 2 , 2n n
na n−
== ≥
1
5, 1{ 2 , 2n n
na n−
== ≥
( ) ( )2 1f x x x a x R= + + + ∈ ( ) ( )f x f x− =
2 21 1x x a x x a+ + + = + − + + ( )1 1x a x a+ + = − +
( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 1 1 2 1 1x a x a x a x a+ + + + = − + + +
即 ，则 ，即 ，
则“ ”是“函数 为偶函数”的充要条件；正确；
（2）“直线 垂直平面 内无数条直线”则“直线 垂直平面 ”不一定成立，故（2）错
误；
（3）当 时，满足 ，但 不成立，故（3）错误；
（4）若 ： ，则 ： 正确．
故答案为：（2）（3）
17 ．（ 1 ） （ 2 ） 当 时 解 集 为 当 时 解 集 为
当 时解集为
【解析】
试题分析：（1）将 代入结合函数图像求解不等式即可；（2）解不等式要结合二次函
数图像及性质，并对两零点 大小分情况讨论
试题解析：（1）当 时得 ，解
集为
（2）∵不等式 ,
当 时，有 ，∴不等式的解集为 ；
当 时，有 ，∴不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
考点：一元二次不等式解法及分情况讨论
18．(1) (2)
【解析】试题分析： 利用数列递推关系即可得出。
,利用裂项求和方法即可得出。
解析：（1）数列{an}满足 a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．
n≥2 时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）．
10 << a 1>a
1=a
0>a
10 << a
1>a
1=a
( ) ( )2 1 2 1a x a x+ = − + ( )4 1 0a + = 1a = −
1a = − ( ) ( )2 1f x x x a x R= + + + ∈
l α l α
0, 1x y= = 0xy = 0x y+ =
p 2, 2 2 0x R x x∃ ∈ + + ≤ p¬ 2, 2 2 0x R x x∀ ∈ + + >
1[ ,2]2
{1}
2a =
1,a a
2a = ( )2 1 1 12 1 0 2 0 22 2 2x x x x x − + + ≤ ∴ − − ≤ ∴ ≤ ≤
1[ ,2]2
{1}
∴（2n﹣1）an=2．∴an= ．
当 n=1 时，a1=2，上式也成立．
∴an= ．
（2） = = ﹣ ．
∴数列{ }的前 n 项和= + +…+ =1﹣ = ．
点 睛 ： 求 数 列 的 通 项 时 ， 可 以 运 用 ， 本 题 的 条 件
左 边 可 以 看 成 和 的 形 式 ， 遇 到
,的形式时，利用裂项求和方法即可得出结果。
19．(1)π，函数 f（x）的递增区间是[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z；(2) a=8，b=5 或
a=5，b=8．
【解析】试题分析： 解析式利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的余弦函数公
式化简，整理为一个角的正弦函数，找出 的值代入周期公式即可求出 的最小正周期，
利用正弦函数的单调性即可求出 的单调递增区间。
由 ，根据第一问确定出的解析式求出 的度数，利用三角形面积公式列出关
系式，将 值代入求出 的值，利用余弦定理列出关系式，将 代入求出 的
值，联立即可求出 的值。
解析：（Ⅰ）f（x）=sin2xcos +cos2xsin +sin2xcos ﹣cos2xsin +cos2x+1=
sin2x+cos2x+1=2sin（2x+ ）+1，
∵ω=2，∴T= =π；
令﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，得到﹣ +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，
则函数 f（x）的递增区间是[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）由 f（C）=2，得到 2sin（2C+ ）+1=2，即 sin（2C+ ）= ，
3
π
6
π
( ) ( )1 f x
ω ( )f x
( )f x
( )2 ( ) 2f c = C
sinC ab cosC a b+
,a b
∴2C+ = 或 2C+ = ，
解得：C=0（舍去）或 C= ，
∵S=10 ，
∴ absinC= ab=10 ，即 ab=40①，
由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即 49=a2+b2﹣ab，
将 ab=40 代入得：a2+b2=89②，
联立①②解得：a=8，b=5 或 a=5，b=8．
20．（1） ，离心率： ．（2）1
【解析】试题分析：（1）根据条件可得 ， 即得椭圆 的方程，及离心率．（2）
先设直线方程为： ，与椭圆联立方程组，利用韦达定理，结合弦长公式求得底边
边长 ，再根据点到直线距离得高，根据三角形面积公式表示 面积，最后根据基本
不等式求最大值
试题解析：解：（Ⅰ） ， ， ，
∴椭圆 的方程为： ，离心率： ．
（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为 ，则直线方程为： ，
由 ，得 ，
，
由 得： ，
设 ， ，则
， ，
，
又∵原点 到直线的距离 ，
∴
．
当且仅当 ，即 时，等号成立，
此时 面积的最大值为 ．
点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题
的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者
多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
21．(1) an= ；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由 ,可得 ，即 ，可得出
{ }为等差数列.最终可求出{an}的通项公式.(2)采用错位相减法求出 ,再变形即可求证.
（1）∵an=2an﹣1+2n（≥2，且 n∈N）∴ ∴
∴数列{ }是以 为首项，1 为公差的等差数列；
∴an= ；
（2）∵Sn=
∴2Sn=
两式相减可得﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣ =（3﹣2n）•2n﹣3
∴Sn=（2n﹣3）•2n+3＞（2n﹣3）•2n ∴ ．
点睛：在求解数列的通项公式时要注意变形及整体思想的使用，将一般数列转化为等差或等
比数列，从而求出数列通项公式。应用错位相减法求解数列的前 n 项和两式相减时要注意前
后符号的变化.
22.（1） （2）
【解析】试题分析：（1）利用点斜式设直线直线 的方程,与抛物线联立方程组,结合韦
达定理与弦长公式求 ,再根据 解得 .（2）先设直线 方程 ,
与抛物线联立方程组,结合韦达定理化简 ，得 或 ,代入
12 2n
n na a −= + 1
1 12 2
n n
n n
a a −
−= + 1
1 12 2
n n
n n
a a −
−− =
2
n
n
a
nS
1
1 12 2
n n
n n
a a −
−= + 1
1 12 2
n n
n n
a a −
−− =
2
n
n
a 1
2
( )1 112 2 2
n
n
a n n= + − = −
1 22
nn −
1 21 3 12 2 22 2 2
nn + +…+ −
2 3 11 3 12 2 22 2 2
nn + + +…+ −
11 22
nn + −
2 3nS nn
> −
2 4y x= ( )8, 4−
AB
AB 6AB = 2p = DE x my t= +
MD ME⊥ 4 8t m= + 4 4t m= − +
方程可得直线 过定点
试题解析：（1）拋物线的焦点 ，∴直线 的方程为: .
联立方程组 ，消元得: ，
∴ .
∴
解得 .
∴抛物线 的方程为： .
（2）由（1）可得点 ，可得直线 的斜率不为 0，
设直线 的方程为： ，
联立 ，得 ，
则 ①.
设 ，则 .
∵
即 ，得： ，
∴ ，即 或 ，
DE DE ( )8, 4−
,02
pF
AB 2 2
py x = −
2 2
{
2 2
y px
py x
=
= −
2
2 2 04
px px− + =
2
1 2 1 22 , 4
px x p x x+ = =
( )2 2 2
1 2 1 21 2 4 3 4 6AB x x x x p p= + + − = ⋅ − =
2p =
C 2 4y x=
( )4,4M DE
DE x my t= +
2{ 4
x my t
y x
= +
=
2 4 4 0y my t− − =
216 16 0m t∆ = + >
( ) ( )1 1 2 2, , ,D x y E x y 1 2 1 24 , 4y y m y y t+ = = −
( ) ( )1 1 2 24, 4 4, 4MD ME x y x y⋅ = − − ⋅ − −
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 24 16 4 16x x x x y y y y= − + + + − + +
( )2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 24 16 4 164 4 4 4
y y y y y y y y
= ⋅ − + + + − + +
( ) ( ) ( )
2
21 2
1 2 1 2 1 23 4 3216
y y y y y y y y= − + + − + +
2 216 12 32 16 0t m t m= − − + − =
2 212 32 16 16t t m m− + = + ( ) ( )2 26 4 2 1t m− = +
( )6 2 2 1t m− = ± + 4 8t m= + 4 4t m= − +
代人①式检验均满足 ，
∴直线 的方程为： 或 .
∴直线过定点 （定点 不满足题意，故舍去）.
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多
少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值
问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推
理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
0∆ >
DE ( )4 8 4 8x my m m y= + + = + + ( )4 4x m y= − +
( )8, 4− ( )4,4